《第十节 函数模型及其应用》 教案

第十节函数模型及其应用适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点几类不同增长的函数模型的特点用已知函数模型解决实际问题建立函数模型解决实际问题教学目标1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.教学重点了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用教学难点建立函数模型刻画现实问题中数据的处理

教学过程一、课堂导入有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气

二、复习预习方程的根与函数零点有什么关系，函数零点的如何判断？用二分法求函数零点时需要注意些什么？涵数与方程的关系

三、知识讲解考点1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)

考点2三种函数模型性质比较y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性单调递增函数单调递增函数单调递增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同[探究]1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．

四、例题精析【例题1】【题干】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A．① B．①②C．①③ D．①②③

【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的eq\f(1,2)，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.

【例题2】【题干】某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系式是p＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋20，0<t<25，t∈N，,－t＋100，25≤t≤30，t∈N*，))且该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式是Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N)．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？

【解析】设日销售金额为y(元)，则y＝p·Q，即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋800，0<t<25，t∈N，,t2－140t＋4000，25≤t≤30，t∈N，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t－102＋900，0<t<25，t∈N，①,t－702－900，25≤t≤30，t∈N.②))由①知，当t＝10时，ymax＝900；由②知，当t＝25时，ymax＝1125.由1125>900，知ymax＝1125，即在第25天日销售额最大，为1125元.

【例题3】【题干】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．

【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(14.4x，0≤x≤\f(4,5)，,20.4x－4.8，\f(4,5)<x≤\f(4,3)，,24x－9.6，x>\f(4,3).))(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))时，y≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))<26.4；当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(4,3)))时，y≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))<26.4；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．

【例题4】【题干】(2011·山东高考)(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为eq\f(80π,3)立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.

【解析】(1)设容器的容积为V，由题意知V＝eq\f(4πr3,3)＋πr2l，又V＝eq\f(80π,3)，⇨(1分)所以eq\f(4πr3,3)＋πr2l＝eq\f(80π,3)，解得l＝eq\f(80,3r2)－eq\f(4r,3)，⇨(2分)由于l≥2r，因此0<r≤2.⇨(3分)，所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(80,3r2)－\f(4r,3)))＝eq\f(160π,3r)－eq\f(8πr2,3)，两端两个半球的表面积之和为4πr2，所以建造费用y＝eq\f(160π,r)－8πr2＋4πcr2，定义域为(0,2]．⇨(4分)(2)由(1)，得y′＝－eq\f(160π,r2)－16πr＋8πcr＝eq\f(8πc－2,r2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r3－\f(20,c－2)))，0<r≤2，⇨(5分)由于c>3，所以c－2>0.当r3－eq\f(20,c－2)＝0时，r＝eq\r(3,\f(20,c－2)).令eq\r(3,\f(20,c－2))＝m，则m>0.所以y′＝eq\f(8πc－2,r2)(r－m)(r2＋rm＋m2)．⇨(7分)①当0<m<2，即c>eq\f(9,2)时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．⇨(9分)②当m≥2，即3<c≤eq\f(9,2)时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．⇨(11分)综上，当3<c≤eq\f(9,2)时，建造费用最小时r＝2；当c>eq\f(9,2)时，建造费最小时r＝eq\r(3,\f(20,c－2)).⇨(12分)

五、课堂运用【基础】1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()

解析：选C由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选C.

2．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.1046)()A．90万m2 B．87万m2C．85万m2 D．80万m2

解析：选B由题意eq\f(500×1＋1%10×7－500×6,10)≈86.6(万m2)≈87(万m2)．

3．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，将三角形APM的面积y看作路程x的函数，则其函数图象大致是()

解析：选A当0≤x≤1时，y＝eq\f(1,2)·x·1＝eq\f(1,2)x；当1<x≤2时，y＝1－eq\f(1,2)(x－1)－eq\f(1,4)(2－x)－eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)；当2<x≤2.5时，y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－x))×1＝eq\f(5,4)－eq\f(1,2)x.则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，0≤x≤1，,－\f(1,4)x＋\f(3,4)，1<x≤2，,－\f(1,2)x＋\f(5,4)，2<x≤2.5.))根据函数可以画出其大致图象，故选A.

【巩固】4.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．

解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在eq\f(H,2)附近时，体积变化较快；h小于eq\f(H,2)时，增加越来越快；h大于eq\f(H,2)时，增加越来越慢．答案：②

5．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．

解析：由题意知付款432元，实际标价为432×eq\f(10,9)＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.6

【拔高】6．A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？

解：(1)x的取值范围为[10,90]．(2)y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．(3)由y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))2＋eq\f(50000,3)，得x＝eq\f(100,3)时，ymin＝eq\f(50000,3)，即核电站建在距A城eq\f(100,3)km处，能使供电总费用y最少．

7．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．

解：(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012eq\f(120,100)≈15.3故大约16年后该县的人口总数将达到120万．

8．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

解：(1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12，∴s＝eq\f(1,2)×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝eq\f(1,2)·t·3t＝eq\f(3,2)t2；当10<t≤20时，s＝eq\f(1,2)×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20<t≤35时，s＝eq\f(1,2)×10×30＋10×30＋(t－20)×30－eq\f(1,2)×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.综上可知，s＝eq\b\lc\{\r