巴拿赫空间理论

巴拿赫空间理论(Banachspace)是1920年由波兰数学家巴拿赫(S.Banach)一手创立的，数学分析中常

巴拿赫空间

用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可

看成通常向量空间的无穷维推广。

编辑本段线性空间

巴拿赫空间(Banachspace)是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。数学

分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材、从外尔斯特拉斯，K.(T.W.)

以来，人们久已十分关心闭区间［a,b］上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯

科利就得到［a,b］上一族连续函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论

中。巴拿赫空间

1909年里斯，F.(F.)给出［0,1］上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重

要的空间，那就是由所有在［0，1］上次可勒贝格求和的函数构成的空间(l<p<；8)。在1910〜1917

年，人们研究它的种种初等性质；其上连续线性泛函的表示，则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把

弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间，并且引进全连巴拿赫空间

续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的、生动的素材，巴拿赫，S.与维纳，

N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念，并且在不到10年的时间内便发展成一部本身

相当完美而又有着多方面应用的理论。

编辑本段Banach空间

完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。星用波兰数学家巴拿赫(StefanBanach)的名字命名的。巴

拿赫空间

巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析

基础的三个定理，哈恩-巴拿赫延拓定理，巴拿赫-斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。这些定理

概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。

编辑本段无穷空间

巴拿赫空间是一种赋有长度的线性空间，大多数都是无力空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。

同时也是泛函分析研究的基本对象之一。巴拿赫空间

里斯。F在1909年就给出了F0：1』上连续线性泛函的表达式。所以，连续线性泛函的表示是巴拿赫空

间的一种初等性质。

编辑本段正文

一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫

空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从K.(T.W.)外尔斯特拉斯以来，人们久己十分关心闭区

间上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到【。，b］±~

族连续巴拿赫空间

函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。1909年E(F.)里斯给出C

【0,1】上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间，那就是由所

有在［0,1］上p次可勒贝格求和的函数构成的Lp空间(l<p<8)。在1910〜1917年，人们研究它的种种

初等性质：其上连续线性泛函的表示，则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗宙德霍姆枳分方程理

论推广到这种空间，并且引进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的、

生动的素材，S.巴拿赫与N.维纳相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念，并且在不到10

年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。定义对于实(或复)数域K

编辑本段定义

空间X,若有从X到R的函数IIxll使得:①IIxII20,IIxll=0必须且只须x=0,②对aWK,有IIaxII

=JIIxII,③IIx+yIIIIxII+IIyII,则称X为线性赋范空间，而称IIXII为范数。显然，范数这概念是Rn

中向量长度概念的推广。如同有理数系可完备化为实数系，任何线性赋范空间也可按照距离d(x,y)=IIx-yII

作为度量空间而完备化。完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。例如，设。为紧豪斯多夫空间，令C(Q)

表示◎上一切实(或复)值连续函数的全体，则c(C)关于范数成为一个巴拿赫空间。再如，设(C,1)是正测度

空间，令Lp(Q,u)表示巴拿赫空间

Q上一切p(p21)次可求和函数的全体，则Lp(Q,u)关于范数成为一个巴拿赫空间。特别取C={1,2,3,…},

u(n)=l(当n=l、2、3、…)则相应的Lp(C,u)成为满足条件的数列的全体，而相应的范数为。一般记这

个特殊的Lp(Q,u)为Ip。还如，设(Q,B,口)是正测度空间，对Q上可测的函数/⑴,如果有正数a,使

于Q几乎处处有I/I⑴IWa,则称/⑴为本性有界的函数，而记上述诸a之下确界为。令表

示。上之本性有界函数的全体，则L8(Q)关于范数成为一个巴拿赫空间。特别对。={1,2,3,…}而以

(n)=l(n=l,2,3,…)则相应的l_8(Q)即有界数列的全体,而相应的范数为。一般记这个特殊的2(。)为m。

若，则称强收敛于x,简写作。基作为完全就范直交函数系的推广，设是巴拿赫空间X中的序列,如果对巴

拿赫空间

每个xGX都恰有一数列，使，则称为X的基，而称X为有基的空间。凡有基的空间一定是可分的，对于

许多可分空间，人们具体地构造出它们的基。但是，是否每个可分的巴拿赫空间都有基的问题，直到1973

年才由P.恩夫洛举出反例。确有可分而没有基的巴拿赫空间。对偶空间设/(x)是从实(

编辑本段对偶空间

/上赋范线性空间X巴拿赫空间

到/上的线性函数。若/(x)还是连续的，则称/(x)为连续线性泛函。一切如此的/(x)按范数构成的巴拿赫空间,

便称为X的对偶空间(或共规空间)并记作X*(或X卜)。在许多数学分支中都会遇到对偶空间，例如矩

量问题、偏微分方程理论等。一些物理系统的状态也常与适当空间上的线性泛函联系在一起。至于泛函

分析本身，对偶空间也是极为重要的概念。通过X*,能更好地理解X。里斯表现定理设。是紧豪斯多夫

编辑本段里斯表现定理

的C(Q)上的连续线性泛函/(x),便恰有。上的一个复正则波莱尔测度U使⑴并且II/II=U在。上的

全变差|口|。许多人把这结果称作里斯表现定理。它是发展近代算了•谱论的重要工具，还有着其他多方

面的应巴拿赫空间

用。这定理也可推广至局部紧豪斯多夫空间。许多测度来源于此定理。设Q上所有复的正则波莱尔测度

为m(Q),对每个u£m(Q),由⑴式定义的/(x)是C(Q)上的连续线性泛函,定义IIuII=全变差|U|,

则C(Q产保范同构于m(Q)。例如，于正测度u,有Lp(Q,H)(l<p<8)上每个连续线性泛函〃x)皆可表为⑵

式中z(t)£Lq(Q,u),而,并且。另一方面，由⑵式右端定义的泛函在【Lp(Q,u)】*中，总之【Lp(Q,u)】*保

范同构于Lq(。3)。再如，于3-有限的正测度〜有L1(Q,口)上的连续线性泛函/(x)可表为(3)式中z⑴

£|_8(Q,口),并且另一方面，由⑶定义的泛函在111(。)】*中°总之,【Ll(。，u)】*保范同构于L8(Q,口)。

由于古典巴拿赫空间

分析发展的要求，也因为巴拿赫空间理论本身的需要，于是人们研究X与X*之间的关系，这便是对偶理论。

这理论的主要工具是哈恩―巴拿赫扩张定理:设M是线性赋范空间X的闭线性子空间,则①对M上的连续

线性泛函g(x),恒有f(x)£X*使/(x)=g(x),当x£M,又II/II=IIgII();②对X中任给的xOWO,恒有f(x)WX*使

/(xO)=IIxOIIJI/II=1,③对任意，恒有/(x)£X*当x£M使得加)=0,/"0)=1拼且II/II=l/d,这里。设

/(x)£X*,一般称点集H={x£X;/(x)=常数C}为X中的闭超平面。设M是X的子空间,xO£X,则称点集xO+M

为X中的线性簇。这样,哈恩―巴拿赫定理便有如下的几何解释：若X中的线性簇m与非空的开凸集K

不相交，则有闭超平面H使而。自反空间对巴拿赫空间X有对

编辑本段自反空间

*，而X*的对偶空间则记作X**,任给xO£X，通过(当x*£X*)便确定一个，并且。这表明存在映射

T把X保范地嵌入到X**中。一般X**。如果T(X)=X**,则称X为自反空间。典型的自反空间是Lp[Ozl]

(l<p<8),但L1巴拿赫空间

[0,1]与C[0,1】都不自反。弱收敛无穷维巴拿赫空间的单位球是不可能按范数拓扑为紧的，因此许

多有限维空间的命题都不能推广到一般巴拿赫空间。针对这一点，人们引进弱收敛的概念。对X中与xO.

若于任何X*ex*都有，则称弱收敛于X0,记作。埃伯莱因-什穆利扬定理巴拿赫空间X是自反的；

必须且只须X中任何按范数有界的点列都含有弱收敛的了•序列。利用自反空间的这个拓扑性质，便能

证明如下的结果：设J(x)是自反空间X之有界凸闭集C上弱下¥连续的有界泛函，则J(x)在C上达到最小

值。应该指出，正是为着使得一些重要的命题得以成立，人代才引进种种类型的巴拿树空间，自反空间

就是一个鲜巴拿赫空间

明的例子。再如与上述极值问题的惟一性有关，有所谓球状空间；与拉东-尼科迪姆定理相关，则有一致

凸空间等等。人们曾经长久地停留在序列弱收敛上。其实即使对于12上的弱拓扑，只用序列弱收敛也

是不行的。J.冯•诺伊曼首先看到这一点，并且在1930年就使用弱邻域概念。X上使得一切x*£X*都

连续的最弱的拓扑称为X上的弱拓扑。全体，其中，£>0,n=l,2,…构成X在0点的一个弱邻域基。X*

上使得一切,xWX都连续的最弱的拓扑称为X*上的弱*拓扑。全体淇中，£>0,n=l,2,…构成X*在O

点的一个弱*邻域基。线性算子设T是从实(或复)域

编辑本段线性算子

性空间X中线性流形M到F上的线性空间Y的映射，如果则称T是线性算子,M为T的定义域，记作

特别当而为数域时，便称为上的线性泛函。设、都是赋范线性空间

D|T)0M=XYFTXXY,x0£D(T),

若对D(T)中任何收敛于X0的序列都有Tx巴拿赫空间

n-*TxO,则称T在x0处连续。设D(T)=X,则线性算子T在X上每点都连续必须且只须T是有界的，即。

这时还称为T的范数,记作IITII。设X与Y都是数域F上的线性空间,A与B都是从X到Y的线性算子，

对A与B可定义如下的运算:(A+B)x=Ax+Bx,(aA)x=a(Ax),当x£X,a£F又定义(AB)x=A(Bx),x£X,当A与

B都是从X到X的线性算子时。若线性算子T是单射的,则将它的逆映射记作T-1,而lx=x则称为单位算

子或恒等算子。设H为度量空间，，对x0£E,若有小球，贝]称X0在E的内部。若点集S的闭包壁之

武部是空的，则称S在H中无处稠密。若度最空间H中的点集，而每个Sn皆在H中无处稠密，则称E为

H中第一纲的点集。H中非第一纲的点集叫做第二纲的。显然全体有理数在实轴上便是第一纲的。可以

这样相：第一纲的点集是比较稀蔚的。贝尔纲定理完备的度量空间必定是•第二纲的。这是区间套定理

的发展和提高，在证明许多存在定理时是很有用处的。在勒贝格关于奇异积分与。・特普利茨关于正则求

和法以及哈恩关于插值理论等方面的研究之后，巴拿赫与H.斯坦豪斯在1927年给出共鸣定理。共鸣巴

拿赫空间

定理又称一致有界原理。设X是巴拿赫空间，Y是线性赋范空间，是一族从X到Y的有界线性算子。如果

当x£X,则。这是有着多方面应用的重要定理，是纲定理的直接推论。和纲推理密切相关，还有极著名

的开映射定理。开映射定理设X与Y都是巴拿赫空间，若T是从X到Y的有界线性算子，且TX=Y，则T

变X的开集为Y中的开集。这在有限维空间是平凡的，但在无限维空间却是极为深刻有力的工具。它有

下列重要推论。巴拿赫逆算子定理设X与Y都是巴拿赫空间，若T是从X到Y的有界线性算子,且丁是

一对一的，又TX=Y,则T-1连续。开映射定理还有一个关于闭算子的重要推论。设y-Tx是线性的，若从恒

有xOWD(T)且，则称T为闭算子。闭算子在应用上是非常重要的概念。表面上，闭性与连续性很相似，其

实差异不小，因为连续性是从较少的假设xn-x0到更多的结论且。一般称XXY中之G(T)={<x,Tx>；x£

DIT)}为T的图像。易见T是闭算子,则G(T)按范数II<x,y>II=||xll+||yII是闭的点集。闭图像定理设

X与Y都是巴拿赫空间，若T是从X到Y的线性算子，则T是有界的必须且只须G(T)是闭的。共挽算子设

X与Y都是巴拿赫空间。若线性算子T的定义域D(T)在X中稠密，而T的值都在Y中，如果对有x*£X*

使当x£D(T)时，y*(Tx)=x*(x)则x*由y*惟一确定，记作TH*=x*,一般称T卜为T的共粗算子或对偶算子。

特别当T是从X到Y的有界线性算子时，则T|■也是有界的，且IIT卜II=IITII。显然，共腕算子是转置矩

阵的推广，所以它自然地在研究方程Tx=y时起着重要的作用。设A为巴拿赫空间X上的线性算子，称

N[A)={x;Ax=0}为A的零空间,R(A)={y;y=Ax,x£D(A)}为A的值域。从线性方程组的解，已经看到A与A卜之值

域与零空间的密切关系，后来在弗雷德霍姆理论中又再次看到这点。对点集，所谓M在X*中的零化子

即而于点集，则G在X中之零化子即。设A为巴拿赫空间上有界线性算子，则，〃。若又设X自反，

则。闭值域定理设X与Y是巴拿赫空间，而T是从X到丫的闭线性算子，且，则下列命题等价：①

R任)在Y中是闭的，②R(T卜)在X*中是闭的，③@。参考书目S.Banach,Th6oriedesOperationsLin6aires,

MonografjeMathematyczne,Warsaw„Linear,IntroductiontofunctionalAnalysis,JohnWiley&Sons,NewYork,

1979.

测的。对于每个勒贝格可测集儿入（力）20。如果［与8是勒贝格可测的，且力

是4的子集，那么人（力）WX（4）。（由2,3及4可得。）可数多个是勒贝格可

测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。（由2,3可得）。如果力是一个开集或闭集,

且是R（甚至Borel集，见度量空间,待补）的子集，那么A是勒贝格可测的。如果

力是一个勒贝格可测集，并有X（4=0（空集）,则A的任何一个子集也是空集。如

果力是勒贝格可测的，x是R中的一个元素，A关于x的平移（还义为4+x={〃+

也是勒贝格可测的，并且测度等于A.如果力是勒贝格可测的，6>0,

贝J/I关于小四扩张（定义为）也是勒贝格可测的，其测度为。更广泛地说，设7是

一个线性变换,力是一个R的勒贝格可测子集，则7"）也是勒贝格可测的，其测度

为。如果力是A的勒贝格可测子集，F是一个小到R上的连续单射函数,则f（A}

也是勒贝格可测的。

简要地说，斤的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的。代数，且

A是其上唯一的完备的、平移不变的、满足的测度。

勒贝格测度是。有限测度。

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零测集

主条目：零测集

R的子集是零测集，如果对于每一个£>0,它都可以用可数个，个区间的乘积

来覆盖，其总体积最多为所有坦整堡都是零测集。

如果R的子集的豪斯多夫维数小于〃，那么它就是关于〃维勒贝格测度的零测集。

在这里，豪斯多夫维数是相对于R上的欧几里得度量（或任何与其等价的利普希茨度

量）。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于〃，但具有正的〃维勒贝格测度。一个

例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0,但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个给定的集合力是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的

集合区与力只相差一个零测集，然后证明8可以月开集或闭集的可数交集和并集生

成。

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勒贝格测度的结构

勒贝格测度的现代结构，基于外测度，是卡拉特奥多里发明的。

固定。中的盒子是形如的集合，其中。这个盒子的体积定义为

对于任何R的子集力，我们可以定义它的外测度入U）：

是可数个盒子的集合，它的并集覆盖了然后定义集合力为勒贝格可测的，如果对

于所有集合，都有：

这些勒贝格可测的集合形成了一个。代数。勒贝格测度定义为X（J）二入（力）对

于任何勒贝格可测的集合人

根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果力是的任何测度

为正数的子集，那么/便有勒贝格不可测的子集。

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与其他测度的关系

在所定义的集合上，博雷尔测度与勒贝格测度是一致的；然而，仍然有更多勒贝

格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。

哈尔测度可以定义在任何局部紧鞋上，是勒贝珞测度的一个推广(带有加法的R

是一个局部紧群)。

豪斯多夫测度(参见豪斯多夫维数)是勒贝格测度的一个推广，对于测量R的维

数比〃低的子集是很有用的，例如R³内的曲线或曲面，以及分形集合。不能把

豪斯多夫测度与豪斯多夫维数的概念混淆。

可以证明，在无穷维空间不存在勒贝格测度的类似物。

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历史

勒贝格在1901年描述勒他的测度,随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是

作为他在作为年的博士论文的一部分发表的。

定义：设f(x)是££Lq(mE<-)上的有界函数，则称f(x)eL(E)，如果对

任意£>0,必然存在E的分划D,使

I

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■4Q--K一，•・/«••—于，•力》«・■,上”••

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定理1

S(D,f)-s(D,f)二23imEi<e,

这里S(D,f)及s(D,f)分别是f(x)关于分划D的大和及小和，aimEi是

Ei上的振幅。

它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函

数定义域进行划分。

对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：

假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类

的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋

取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想。（参见：周性伟，实变函数教学

的点滴体会，《高等理科教学》，2000.1）

即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在

每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类。

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积分介绍

积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中

发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度（Y值）乘

以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概

念（黎曼积分）。

次♦nux**：♦，上a,〈词

•A••«••.-z

金

EaiW?0

,叫L—

定理2

勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，

可以将小区间的高度（Y值）乘以对应的所有小区间的长度的和（测度），然后加起来。

又比如现有硬币：25,25,10,5,10,1,5,250用黎曼积分来求和：

25+25+10+5+10+1+5+25=106o用勒贝格积分来求和:25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一

样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴［0,1］闭区间上定义函数：

Y=l,当X是无理数；

Y=0,当X是有理数。

求该函数覆盖的面积。

黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。

用勒贝格积分来求和：1*1+0*0;lo

［0,1］闭区间的长度（测度）是1；有限点集的长度（测度）是0；无限可数点集（如，

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证明1

有理数）的长度（测度）是0,而［0,1］闭区间的长度（测度）二有理数集的长度+无理

数集的长度。

所以，［0,1］闭区间的无理数集的长度（测度）是I。这就解释了上述计算结果。

由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。

很多数学概念和思想就是从貌似相同的概念和思想中推导出来。这启发我们在做

研究时应从不同角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概念和理论。

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背景知识

黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。

19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积

分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分（简称R-S积分）等。只要相应的函数性质良好，用这些积

分来计算曲边形面积、物体

♦2。•八<・<!•・上

证明2

重心、物理学上的功、能等，是很方便的。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常

地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，

两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续

性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。通常只有在很强的假设下

才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,

它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，乂能在积分与极限交换顺序的条件上

有较大的改善。1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人

们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分

(简称1-S积分)。20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简

称测度论。

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勒贝格

(1875〜1941)Lebesgue,HenriLon

法国数学家。1875年6月28日生于博韦，1941年7月26日卒于巴黎。1894〜1897

年在巴黎高等师范学校学习。1902年在巴黎大学获得博士学位，从1902年起先后在

雷恩大学、普瓦蒂埃大学、巴黎大学文理学院任教。1922年任法兰西学院教授，同年

被选为巴黎科学院院士。

勒贝格的主要贡献是测度和积分理论。他采用无穷个区间来覆盖点集，使许

多特殊的点集的测度有了定义。在定义积分时他也采取划分值域而不是划分定义域的

办法，使积分归结为测度，从而使黎曼积分的局限性得到突破，进一步发展了积分理论。

他的理论为20世纪的许多数学分支如泛函分析、概率论、抽象积分论、抽象调和分

析等奠定了基础。利用勒贝格积分理论，他对三角级数论也作出基本的改进。另外，

他在维数论方面也有贡献。晚年他对初等几何学及数学史进行了研究。他的论文收集

在《勒贝格全集

第六章度量空间和线性赋范空间

第1次课

教学内容(或课题)：§6.1度量空间的进一步例子

目的要求：在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、

序列空间、有界函数空间、可测函数空间等.

教学过程：

一复习第二章度量空间的概念

设X是个集合，若对于Vx,〉£X,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，且满足1°

d(x9y)>0,d(x,y)=0ox=y;2°d(xyy)<d(xtz)+d(y,z)对Vx,y9zeX都成立，则称(X,

d)为度量空间或距离空间，X中的元素称为点，条件2°称为三点不等式.

欧氏空间R"对R"中任意两点X二房,々，…，Z)和丁=(m，为，…，)'〃)，规定距离为

2

d(x,y)二才(为一-

\/1=!/

ch㈤空间表闭区间口力]上实值(或复值;连续函数的全体.对C[a，U中任意两

点X,y,定义J(x,y)=maxl.r(f)-.

a<t<b'*1

-空间记/2二彳=卜仁<8,.设X=kJL，y={”}：j/2,定义d(x,y)二

*=1,

£(…)干.

ki=l)

二度量空间的进一步例子

例1设X是任意非空集合，对丁F,)yX,令

当x*)”

当大=y

容易验证1°d(x,>J)>0,d(x,y)=0=x=y;2°d(x,y)<d(x,z)+d(y,z)对Vx,y,zeX都

成立.称(X,d)为离散的度量空间.由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使

它成为度量空间.

例2序列空间S

令s表示实数列(或复数列)的全体，对v.E=k乙，y=W3，令^y)=t-r

*=i2

k：一"L.显然右边的级数总是收敛的.易知4(羽y)ZO,且d(x,)，)=Oo%=)，.即

1+1与一九I

d(x,y)满足条件1°.

\a+t\\a\+\b\

对X/a,Z?eC,先证

l+|a+"1+|41+网

实因令/(/)=」一(0<r<+oo),则因为广⑺=不%>o,所以函数/(，)=士在

'1+r

[0,行)上单调递增.又因为|a+4W4+|4,所以有

…<同+例=同.网工同।网.

1+1+41+时+网1+\a\+\b\1+\a\+网-1+1+\b\

再令z={zj：=[,a=xk-zk,=.，则a+h=xk-yk.由上述已证的不等式,

得

•V区一z/+忤一”|

1+1.一川―l+l--z/l+\zk-yk[

由此推得2。c/(x.y)4d(x.z)+d(y,z)对Vx.y.z£S都成立.故S按d(x.y)成一度量空间.

例3有界函数空间夙人)

设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值(或复值)函数的全体.定

义d(x,y)=sudM/)-y(".显然d(x,y)之0,且d(x,y)=0二Vr£A成立/(/)=)«),即

IGA

d(x,y)满足条件1°.又VfcA,有必)—)，("<k«)—z(”+|z(f)-M)«sup|Mz)-z("+

sup|z(。-刈

所以sup|削-刈Wsup|W)-z("+sup|z(。-即d(x,y)满足条件2°.特别当

teAreAteA

A=[a,同时,5(A)=

例4可测函数空间M(X)

设M(X)为X上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体，〃?为Lebesgue测度，若小(X)

<00,对任意两个可测函数及g(f),由于故不等式左边为x上可积

函数.令

次加)4端驾J加.

若把M(x)中两个几乎处处相等的函数视为历(X)中同一个元素，则d(/,g)N0且d(/,g)=0

<=>f=g,即d(fg)满足条件1°.其次(参考例2)

dg月用邛淅4f±z±+±z±L=r±z±6/w+

f"「"打〃="(/,/?)+"(/?,g),对W，gj7£M(X)都成立.即d(f,g)满足条件2°.故

“1+3gl

M(X)按上述距离d(/,g)成为度量空间.

作业P205.2.4.

作业提示2.与例2处理方法类似.

4.利用‘一当xNO时的递增性.

1+x

第2次课

教学内容（或课题）：§6.2（1）度量空间中的极限

目的要求：掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、

闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义.

教学过程：

设（X,d）为度量空间，d是距离，定义

8（/,^）={xeX|d（x,%（））＜£

为X。的以£为半径的开球，亦称为凡的£邻域.

例1设（X/）是离散的度量空间，d是距离，则

'1X,当£>1

仿§2.2-§2.3,设E是度量空间（X,d）中的一个子集，与是X中一点若存在.％的某一

邻域U（/）,s.t.U（/）uE,则称与为E的内点.若与是CE的内点，则称与为E的外

点.若DUG。）内既有E的点又有非E的点，则称与为E的边界点.若VU（x0）内都含有无

穷多个属于E的点，则称人为E的聚点.E的全体聚点所成集合称为E的导集，记为E'.E

UE'称为E的闭包，记为若石的每一点都是上的内点，则称石为开集.若EuE,则

称后为闭集.

例2在欧氏空间川中，记A为全体有理数点的集合，B为全体无理数点的集合.则集合A及

8均无内点，均无外点；Vxw川既是4又是区的界点，既是A又是5的聚点；*既是A又

是3的导集，既是A又是3的闭包；A、8既非开集又非闭集.若如同例1,将集合川离

散化，则VxwA都是A的内点，X7ye8都是8的内点，因此A、8在离散空间中均为开集;

A>5均无界点；A之外点集合为B,B之外点集合为A;A>3均无聚点，因此4=中，

"=中，An4,BnB',故A、8均为闭集.

设W•是（X,d）中点列，若天£X，s.t.

lim"（匕力=0

贝J称｛4｝二是收敛点列，x是点列卜“｝2的极限.

收敛点列的极限是唯一的.实因若设乙既牧敛于］又收敛则因为

0<d(x,y)<<(x,x”)+d(y,x“)—>。(w—>oo),而有J(A,y)=0.所以x=y.

附注(*)式换个表达方式：liind(x*,x)=d(limx“,x).即当点列极限存在时，距离运

n—^-cn-Ko/

算与极限运算可以换序.更一般地有

距离d(x,)，)是X和)，的连续函数.

证明d(x,y)<d(x,/)+[(/,)，o)+d(yo,)，)=d(x,y)-d(xo，)，o)wd(x,xo)+

加0,y)；

"(%,%)4"(工0，X)+d(x,y)+d(y,)，o)=>八%,%)-4(占)，)

Wd(x,Xo)+d()，o，)，).所以〃(")-d(x()，)'o)l<”(乂玉))+"(凡，y)

例3(尸205.1)设(X.d)为一度量空间，令

8(%,£)二卜工6X,"(五,Xo)<e},S(X0,£)={.%£X,J(x,x0)<^}.问8(X(),£)二s(x(),£)?

答在R"空间中，必有瓯㈤二s(%,£).在离散度量空间(x,d)中，当“1时，

8(XO，£)={X()},S(X(),E)=X,此时5(XO，£)HS(Xo，e).毕.

设M是度量空间(X,d)中的点集，定义.

S(M)=supd(x,y)

x.yeM

为点集M的直径.若5(M)-sup4(人,))<8,则称M为(x,d)中的有界集(等价丁固定人，

x.yeM

VXGM,8为某正数，则为有界集).

(X,4)中的收敛点列卜“}北是有界集.实因，设㈣)％=

%,则数列{"(X〃,/)}收敛于0,故三叫)>0,s.t.V〃cN有d(xfl,x0)<Mo.所以X/〃,〃zeN,

有d(x，/)+

d(x()»xin)—2Mo•

(X,d)中的闭集可以用点列极限来定义：M为闭集oM中任何收敛点列的极限都

在M中，即若〃=1,2,…，xn—>x,则XEM.

具体空间中点列收敛的具体意义：

1.欧氏空间*(=(斓),4)「・,斓))，〃7=1,2「.，为R〃中的点列，X二

力（）切，6=J（X",一3）2十（E"）一”2）2十…十（E'"）一4J.

(内,人2,…,4)ER"，

%->X(〃?->co)<=>对每个有龙仪一芍（根.8）.

2.C[a,b]设卜，J：uCja,",xeC[a,b],则d(怎,x)=max|%“(£)-%("fO

(〃—>cc)o{x"}：=]在[a,U一致收敛于x(f).

3.序列空间S设％=（记叫野），…/叫…），m=12…，及广化…）

分别是s中的点列及点，则心”,大）=之何可—（）（m-8）OX,”依坐标收敛

£2\+田）_4

于x.实因，若对每个Z有以-短（〃zf8）,则因£二收敛，所以mmwN,

s.t

t=i2

91F

因为对每个攵=1,2,…,〃2-1,存在N&SN,s.t.当心M时能-4<|.令

k=m22

£

m-11因")-A』m-\1

2苦.所以当

N=max{M，M,…,Ng},当〃〉N时，成立27r「「'<

1+f

〃>N时，成立二f1-।：（）~1：（）-^—7<—+£二£,所以乙-X

1+能_"£01+/一弱22

(〃—>00)

n)

^z、b1|d-<,|

反之，若X”fx(〃一>8),即c/(x〃,x)=ZTI-f0(〃.8).又因为DAEN,

121+同-4I

有fIV2"d(x〃,x),所以当〃->8时，1：I-»0所以Ve>0，3A^GN,

1+暧-短|1+暧-短|

s.t.当〃〉N时，成立"二二]〈工.所以即）一短|<£.所以DAwN,有理

1+田）-短|1+£11

(〃一>8).

4.可测函数空间"（X）设{/}"uM（X）,/cM（X）,则因d（/“"）二

[qd*严，有L^f=/〃=/.实因，若/；=/，则WT>。，有

-力之o]）f0（〃一>co）.De>0（不妨设£v2m（X））,取Overv，则

—/n(X)<-.今对这样取定的£及。，因，nf,故MNEN,s.t.当〃>N时，成立

1+(T2

“xh-GbDvf.所以内643网信湍加

制芯力产“雁"尔/1+高的音+会£.所以d(£J)f°

(〃f8).所以力T于(〃->8).

反之，若/“―/(〃->8),即"(/“J)-。(〃78).对Vb>0,由于

言M*/,T"Dv£34需端加4取J)•所以

11111/71(x1/；,-/|>cr])=O,即/；=>/.

以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之

后，都可以统一在度量空间的极限概念之中.

作业P205.5.

作业提示均匀收敛即一致收敛.证明大意如同“序列空间S”，并利用

上匚金叱㈣

m…邛布国口嚅/⑺一川中

第3次课

教学内容(或课题)：§6.2(2)度量空间中的稠密集可分空间

目的要求：掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念.

教学过程：

Th设B是度量空间X的一个子集，则集合O=X,ye8,d(x,)；)<£,｝是个

开集，且BuO.

证明设V/w。，则三方£8,s.t.d(xo，)，o)<£.所以与wU(y0,£)uO.

Vxe(/(x0,J),其中0cb〈£-4/,)，0)，则小，)")<(£-"(/，肾〉+4/，)，。)：1•所以

U(Xo»)uU(y(),£)uO.所以Vx()是。之内点.所以。是开集.

又证以5中每一点为心作半径£的邻域，所有这些邻域的并集就是集合0.

每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故。为开集.

至于/uO是很显然的.证毕.

例如8=0=\\u[——n

附注当£-0时，得到是8之闭包未必是8.y

l〃J二1〃k)

=但0任3.

\k+\k)Ik(k+1)M2+1)J

P205.6.设8u[a/],证明度量空间C[a,b]中的集｛/当fG8时,/(/)=()｝为C[a.h]

中的闭集，而集

A=｛f|当fe5时,/("<«｝("0)为开集o6为闭集.

证明设｛//)｝久u》当七8时,〃)=()｝且在电“中〃。一%).则当X8时，

对有*):0.令〃-8,得/£8时,/(0=0.所以/(f)w｛/当reBB寸J«)=o｝.

所以｛/|当/G8时J(f)=O｝是闭集.

“U”设3为闭集，儿(1)£A，则仿("va(当"B).因在8连续,所以:("

<max<a取£：Oveva-?到施卜则对W(r)wU(/),£),有

g)-%(心阴W")—/(”<£,所以|f(“<£("+£•所以当/£斗/(”引.)+£

〈嗯X1yo(4+(〃-嗯x£(4)=a

所以U(/O，£)U4.所以4为开集.

“=>”设A为开集.设*“｝；：=1u8,%-，o且八)任儿取点/⑺：/(r)eA=

｛/]当feB时v。｝,则|同”)<。,令〃—为得，|/(八J<。.因为f°任8,故只有/仇)=。.

不妨设/"o)=a(/”o)二-〃时同法可证之).因为A为开集，所以三%>0,s.t.U(/,£o)u

4七当ZeB时皿小｝，

VaOcecq,因为[(/'(/)+£，/«))=£<%,所以点/(，)+££U(/,%)uA.因为

lim/(rj=/(r),所以对上述e>0且£<%,存在"GB,s.t.|/(r)-f(tA<c，所以/(r)

n->cooN0

一£</(&)♦所以/(｝)+£>/(%)=〃.

但由方框，应有|/(xJ+W<a,与/(5)+£>/(，o)=a相互矛盾.这就证明了BnB'.故B

为闭集.证毕.

Defl设X是度量空间，N和M是X的两个子集，令”表示用的闭包，若NLM,

则称集〃在集N中稠密，当N=X时，称M为X的一个稠密子集.若X有一个可列的稠

密子集，则称X是可分空间.

例1〃维欧氏空间R”是可分空间.事实上，座标为有理数的点的全体是R"的可列稠密子

集.

设M是闭区间口,同全体有理数集合，N是口,“全体无理数集合.在叱中，因为Mu

H,Nu而，所以N在〃中