《1.1 直线的斜率和倾斜角》(含答案)学案

高中数学精编资源2/2§1.1.1直线的斜率和倾斜角（1）目标要求1、理解并掌握直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．2、理解并掌握直线的斜率．3、理解并掌握直线的斜率的求法．4、理解并掌握斜率公式的简单应用.学科素养目标本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．重点难点重点：直线的斜率的求法；难点：斜率公式的简单应用．教学过程基础知识点1.直线的斜率对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,则直线l的斜率为:k=

y2-如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在.2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系当直线与x轴不垂直时,k=tanαα≠π【思考】斜率的正负与倾斜角范围有什么联系?提示:当k=tanα<0时,倾斜角α是钝角;当k=tanα>0时,倾斜角α是锐角;当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是()A.当直线确定后，k值与直线上两点的顺序有关，斜率是定值.B.当直线与x轴平行或重合时，斜率为0.C.当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．D.斜率是直线倾斜程度的数量化，是一比值．【答案】选BCD提示:A×.当直线确定后，k值与直线上两点的顺序无关.B√.当直线与x轴平行或重合时，斜率为0.C√.有一个面是多边形,其余各面都是有公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体才叫棱锥.D√.斜率是直线倾斜程度的数量化，是一比值．故选BCD.题2.（多选）下列四个命题错误的是()A.下图中标的α都不是对应直线的倾斜角.B.任一直线都有倾斜角,都存在斜率.C.倾斜角为135°的直线的斜率为1.D.若直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tanα.【答案】BCD【解析】A.√.x轴的正向与直线向上的方向之间所成的角是直线的倾斜角,所以图中的四个α都不是对应直线的倾斜角.B.×.倾斜角为90°的直线不存在斜率.C.×.倾斜角为135°的直线的斜率为-1.D.×.倾斜角α不等于90°时,它的斜率才是k=tanα.题3.如图所示,直线l与y轴的夹角为45°,则l的倾斜角为()A.45° B.135° C.0° D.无法计算【解析】选B.根据倾斜角的定义知,l的倾斜角为135°.题4.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是()A.5 B.8 C.132 D【解析】选C.由斜率公式可得8-解得m=132题5.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为 ()A.33 B.3 C.1 D.【解析】选A.由题意可知直线l的斜率k=tan30°=33类型一直线的倾斜角、斜率的概念(数学抽象)【题组训练】题6.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°【解析】1.选D.因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.题7.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()A.α B.180°-αC.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α【解析】选D.如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α.题8.已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标为 ()A.(2,0)或(0,-4) B.(2,0)或(0,-8)C.(2,0) D.(0,-8)【解析】选B.设B(x,0)或(0,y),因为kAB=43-x或kAB=4-y3,所以43-x【解题策略】1.求直线的倾斜角的方法及两点注意事项(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)两点注意事项:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.2.解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围),利用定义式k=tanα(α≠90°)解决.(2)由两点坐标求斜率,运用两点斜率公式k=y2-y1x2-(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合求解.【补偿训练】题9.已知直线l经过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是（） ()A.(-1,0]B.[0,1]C.[1,2] D.[0,2]【解析】选D.由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时,满足题意,所以直线l的斜率满足0≤k≤2.类型二直线的倾斜角、斜率的计算(数学运算)题10.若A(1,0),B(-3,m),直线AB的斜率为-12,则m=A.-8 B.-2 C.2 D.8【解析】选C.A(1,0),B(-3,m),直线AB的斜率为-12,所以-12=m-0题11.若直线过点C(1,3),D(4,3+3),则此直线的倾斜角为.

【解析】线过点C(1,3),D(4,3+3),则直线的斜率k=3+3-34-答案:π题12.已知点M(0,b)与点N(-3,1)连成直线的倾斜角为120°,求b的值.【解析】k=b-10+3=tan【解题策略】利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的;(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.(3)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.【课堂跟踪训练】题13.直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为()A.23 B.32 C.-23 【解析】选C.斜率k=0-23题14.若直线经过两点A(m,2),B32m,2A.2 B.1 C.34 D.【解析】选A.经过两点A(m,2),B32m,2m-1的直线的斜率为k=2m题15.(多选)若三点A(0，2)，B(2，5)，C(3，b)能作为三角形的三个顶点，则实数b的值可能是()A.2B.eq\f(13,2)C.3D.5【答案】ACD【解析】若三点，，共线，则，，解得．三点，，能作为一个三角形的顶点，三点，，不共线，．故答案为：．【点评】本题考查了三点共线问题、组成三角形的条件，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．题16.已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求直线AB,BC,AC的斜率.【解析】已知点的坐标,可代入过两点的直线的斜率公式求斜率,但应先验证两点的横坐标是否相等.kAB=1-11-(-1)因为B,C两点的横坐标相等,所以直线BC的斜率不存在.类型三直线的倾斜角、斜率的应用(数学运算,逻辑推理)角度1求斜率的范围

【典例】题17.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围;(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.【思路导引】作图,让直线与线段有公共点,可得倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,进一步获得斜率的取值范围.【解析】如图所示,由题意可知kPA=4-0-3-1(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.角度2三点共线问题

【典例】题18.若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k=.

【思路导引】利用AB和AC的斜率相等.【解析】因为A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,所以kAB=kAC,kAB=3-(-3)4-2=3,k所以3=k+33,即答案:6【解题策略】1.求直线斜率的取值范围时,通常先结合图形找出倾斜角的范围,再得到斜率的范围.2.利用斜率可解决点共线问题,点A,B,C共线⇔kAB=kAC或kAB与kAC都不存在.3.y2【题组训练】题19.若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于 ()A.2 B.3 C.9 D.-9【解析】选D.因为三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,所以kAC=kAB,即11-18-3题20.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).若点D在线段BC上(包括端点)移动,则直线AD的斜率的变化范围是.

【解析】如图所示.当点D由B运动到C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,又kAB=3-23-(-4)=17,所以直线AD的斜率的变化范围是17答案:1题21.已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角?(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角?(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗?【解析】(1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0,即k=2m+5-1m即当m>-2时,直线MN的倾斜角为锐角.(2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0,即k=2m+5-1m+3即当m<-2时,直线MN的倾斜角为钝角.(3)当直线MN垂直于x轴时,直线的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,此方程无解,故直线MN的倾斜角不可能为直角.【课后巩固习题】题22.已知一条直线过点(3,-2)与点(-1,-2),则这条直线的倾斜角θ是()A.0° B.45° C.60° D.90°【解析】选A.因为k=04=0,所以θ题23.若过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y等于()A.-32 B.32 C.-1 【解析】选C.kAB=y+34-2=所以y=-1.题24.已知直线AB与直线AC