2024年高考数学终极押题密卷1（全国甲卷理科）含答案

2024年高考数学终极押题密卷1(全国甲卷理科)

一.选择题(共12小题)

I.已知集合人={正-4]<0,x=Z}>B={x[-贝lj4C8=()

A.[-1,4]B.[0,4)C.{0,1,2,3,4}D.{0}1,2,3}

2.已知i为虚数单位，若复数z=4-〃?2-(/w-2)i为纯虚数,则实数()

A.0B.2C.-2D.4

22

3.“1V〃?V3”是“方程」+工-=1表示椭圆”的()

m-l3-m

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知等比数列{“〃}的前〃项和为S”,满足41=1,54=353+1,则。3=()

A.AB.-1C.9D.27

84

5.若函数/(.r)=cos(n.r+(p)的图象关于直线乂二■对称，下列选项中，()不是/(x)的零点.

2

A.-1B.」C.0D.2

2

lg(-x+1)»x<0

6.已知函数f(x)={\'存在刈使得/(M)V0,则实数〃的取值范围是()

xJ-ax,x>0

A.(-8,-i]B.(…，0)C.[0,+8)D.(0,+8)

7.已知函数/(x)=f+2/〃x的图象在A(xi,/(xi)),B(X2，/(X2))两个不同点处的切线相互平行，

则X1+X2的取值可以为()

A.AB.IC.2D.卫

43

8.佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习

俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的。ABCQ由六个正三角形

构成.将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中，棱A8与

C。所在直线的位置关系为()

BC

图1图2

A.平行B.相交

C.异面且垂直D.异面且不垂直

9.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜时间内随机到达，试求这两艘船中至

少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（）

B

A嘘-ic磊D喘

10.过双曲线C：《-工。=1（">0,b>0）的左焦点/作圆，+『=『的切线，切点为A,直线7与c

a2b2

的渐近线在第一象限交于点B,若祚=3记,则C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.3

II.已知正方体A5co-A/ICIDI的棱长为2,P为。。I的中点，过A,B,。三点作平面。，则该正方体

的外接球被平面a截得的截面圆的面积为（）

C.3TT

B・喈D・胃

12.已知x>0,ex+lny=I,给出下列不等式:

©x+//zy<0；

②，+y>2；

@//tr+ev<0：

®x+y>1,

其中一定成立的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二,填空题（共4小题）

13.已知非零向量之，6满足|aI=2lbI，且（；4）e:0,则；与E的夹角为

14.若（X+5）2°23=〃0+49+。”2+—+4202篁2°23,7=40+41+42+…+42023,则7被5除所得的余数为

15.若函数f（x）=|sin（<DX+2L）|（a）>l）在区间E，下■E上单调递减，则实数⑴的取值范围

34

是.

16.已知/（x）是定义域为R的函数/（x）的导函数，曲线/（X-1）关于（1,0）对称，且满足/（%）

-/（6-x）=3-x,则/（2022）4/（2028）=；/（-2025）=.

三.解答题（共7小题）

17.已知数列｛%）的前〃项和为和,ai=2,a〃+]=S〃+2.

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；

（2）设b=--------------------记数列｛加｝的前〃项和为力”证明T<3.

口1。82@/1吟22n4

18.4月15日是全民国家安全教育日.以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.只有人人

参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础.作为知识群体的青年学生，是强国富民的

中间力最，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团随机抽取了600名学生，发放调查

问卷600份（答卷卷面满分100分）.回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份.有

效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间.同时

根据560份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中〃?的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数x和平均数〃（同一组数据

用该组中点值代替）.

（2）如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根据上述

数据，完成下面2X2列联表，并判断能否有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关.

高敏感低敏感总计

男生80

女生80

总计560

附：独立性检验临界值表

P（心心）0.10.050.010.0050.001

K22.7063.8416.6357.87910.828

公式：祚（a+b）熏匕（b+d）'其中a

频率

19.如图，在直三棱柱ABC-AiBCi中，4Ci=8iCi=3,A1B1=4调，。为人”力的中点。(1)证明:

81c〃平面4C1Q.

(2)若以A3］为直径的球的表面积为48m求二面角C-AD-。的余弦值.

B,

20.双曲线C：号-%=1(«>o,b>0)上一点D(6,近)到左、右焦点的距离之差为6.

azbz

(1)求。的方程；

(2)已知A(-3,0),13(3,0),过点(5,0)的直线/与C交于M,N(异于A,B)两点，直线

MA与NB交于点P,试问点P到直线x=-2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明

理由.

21.己知函数/(x)=axe'c-1(a>0),

(I)讨论函数/(x)的零点个数；

(II)若V'(X)|>4+x/〃x恒成立，求函数/(K)的零点询的取值范围.

22.曲线。的参数方程为卜二l-c^e(。为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x+Jjy-1=0.以原点

y=sin9

。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线Ci的极坐标方程和C2的极坐标方程；

［哼■，V3］时'

(2)若直线/：y=履与曲线O,C2的交点分别为4,8(A,B异于原点)，当斜率k£

求|Q1|+=L^的取值范围.

lOBI

23.设函数/（X）=\2x-2|+|x+2|.

(1)解不等式fa)W6・x；

(2)令f3的最小值为T；正数a,4c满足4+b+c=7；证明:

a

2024年菁优高考数学终极押题密卷1（全国甲卷理科）

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

I.已知集合xEZ},8={M-lWxV4},则AC8=（）

A.[-1,4jB.[0,4）C.{0,1,2,3,4}D.{0,I,2,3）

【考点】交集及其运算.

【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算.

【答案】D

【分析】求出集合A,利用交集定义能求出AA8.

【解答】解：•・・集合4={4^-4入£0,xeZ}={.v|0<x<4,.vGZ}={0,1,2,3,4},

li={x\-IU},

则AG8={0,1,2,3）.

故选：D.

【点评】本题考查集合的运算,考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.已知i为虚数单位，若复数z=4-〃P-（〃广2），为纯虚数，则实数,〃=（）

A.0B.2C.-2D.4

【考点】纯虚数；复数的运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合纯复数的概念，即可求解.

【解答】解：・・・z=4-毋-为纯虚数，

r2

A.4-m=0,解得片.2.

「（m-2）卉0

故选：C.

【点评】本题主要考查纯虚数的概念，属于基础题.

22

3.“1V〃?V3”是“方程二+上一=|表示椭圆”的（）

m-l3-m

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】椭圆的性质；充分条件与必要条件.

【专题】简易逻辑.

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

22

【解答】解：若方程工-+工-=1表示椭圆，

m-l3-m

mT〉Om〉1

则满足，3-m>0，即<3’

nrl卉3-mm#2

即lVmV3且加了2,此时lVmV3成立,即必要性成立,

2222

当加=2时，满足IV机V3,但此时方程」+工-=1等价为三_4二］为圆，不是椭圆，不满足条

m-l3-m11

件.即充分性不成立

22

故是“方程二+工-=1表示椭圆”的必要不充分条件，

m-l3-m

故选：B.

【点评】本题主要考杳充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键.

4.已知等比数列｛“”｝的前〃项和为S〃，满足41=1,54=353+L则43=()

A.AB.AC.9D.27

84

【考点】等比数列的前n项和.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综介法；等差数列与等比数列；数学运算.

【答案】C

【分析】根据题意，设等比数列｛〃〃｝的公比为q,分析可得1+4+/+炉=3(i+q+/)+1,变形可得q的

值，进而计算可得答案.

【解答】解：根据题意，设等比数列｛〃“｝的公比为％

若ai=l,S4=3S3+I，

贝|J有I+[+/+/=3（1+夕+/）+1,

变形可得4(1+妙才)=3(1+如才)，

而1+如才#0,则4=3,

故a3=a\q1=\X9=9.

故选：C.

【点评】本题考杳等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题.

5.若函数f(x)=cos(TLV+Q)的图象关于直线■对称，下列选项中，()不是/(x)的零点.

A.-1B.」C.0D.2

2

【考点】余弦函数的图象.

【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【答案】B

【分析】结合余弦函数的对称性先求出夕，然后结合函数零点的概念检验各选项即可判断.

【解答】解：若函数/(x)=cos(nx+(p)的图象关于直线x,对称，

则S2L+(p=Kr,kwz,

2

所以年=正『一」；-'/(X)=cos(TU+Z兀3；),

当x=-1时，/(-1)=cos(k兀一£)=0,即-1是函数f(x)的零点；

2

当犬=1■时，f(—)=cosA-rt关0,即[■不是函数/(x)的零点；

222

当x=o时，f(0)=cosa冗一改L)=o,即o是函数/(工)的零点；

2

当x=2时，/(2)=0,即2是函数/(%)的零点.

故选:B.

【点评】本题主要考查了三角函数对称性的应用，还考杳了函数零点的判断，属于基础题.

Tg(-x+l)»x<0

6.已知国数f(x)=，存在X0使得了(加)<0，则实数。的取值范围是()

xJ-ax,x>0

A.(-8,-i]B.(・8,0)C.[0,+8)D.(0,+8)

【考点】分段函数的应用.

【专题】计算题：转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】先由对数函数的性质算出了⑴在区间(-8,0]上的最小值大于等于0,然后根据〃的正负

讨论/(x)在(0,+8)上的最小值，且这个最小值为负数，由此列式算出实数。的取值范围.

【解答】解：当xWO时，/G)=lg(-X+1),在(-8,0]上是减函数，/(X)2/(0)=0.

当x>0时,f(x)=/-av,求导数得f(x)=3：-a,

若〃W0,则/(x)=3』・。20恒成立，/(x)在(0,+-)上是增函数，

可得/(x)>/(0)=0,此时不存在xo使得/(xo)<0；

若。>0,则/(%)=0的根为xy舍负)，

在(0,患)上/(x)为负数，在(患，+8)上/(x)为正数,

所以/(x)在(0,后)上是减函数，在"巨，+8)上是增函数，

可得1/《X)]〃”〃=/(

因为得照〈。恒成立，所以。>0时/(X)在(0,+8)上的最小值小于0,

满足条件“存在xo使得/,(xo)VO”.

综上所述，67>0,即实数。的取值范围是(0,+8).

故选：D.

【点评】本题主要考查对数函数的单调性、分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性与最值等知识,

属于中档题.

7.已知函数f(x)=x2+2/m-的图象在A(XI,f(.ri)),3(X2<f(X2))两个不同点处的切线相互平行，

则幻+K的取值可以为()

A.AB.1C.2D.卫

43

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】对应思想：定义法；导数的概念及应用；数学运算.

【答案】。

【分析】求出函数的导函数，依题意可得2X[2=2XO--，再由内>°、X2>0、内并)2，即可得到

14丫-

X1A-2=1,最后由基本不等式求出M+X2的范围，即可判断.

【解答】解：由/(x)=7+21九r,得f，(x)=2x+—»

则f‘（xi）=2xi--，f‘（X2）=2X2--,

x1x9

依题意可得2X[+?=2x^+2,且XI>0、X2>0、X1WX2,

：.x\x2=\

fMX1+X2>2^X1X2=2,

经验证，当XI、X2分别取3、hi,x,+Xc」©满足题意.

3123

故选：。.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是中档题.

8.佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习

俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的UA8C。由六个正三角形

构成.将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中，棱A5与

CO所在直线的位置关系为（）

AW9

图1图2

A.平行B.相交

C.异面且垂直D.异面且不垂直

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象.

【答案】B

【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断

AB,CO的位置关系.

【解答】解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体

它们共一个底面，

且A8与CO相交，且A,C两点重合，

故选：B.

【点评】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间怛象能力，属于基础题.

9.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜时间内随机到达，试求这两艘船中至

少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是()

11

A.J-B.巨C.-D.

161616

【考点】几何概型；简单线性规划.

【专题】计算题.

【答案】八

【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠

泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率.

【解答】解：设甲到达的时刻为x,乙到达的时刻为)，则所有的基本事件构成的区域

_~,(0<x<24

n0-{(X，y)l10<y<241

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域

0<x<24、

A={(x,y)|<0<y<24

Ix-y|<6

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率P(A)=邈=1・18X1JL

S。24X2416

故选：A.

x-y=6

【点评】本题考查利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率.

10.过双曲线C：=1(c>0,/?>())的左焦点F作圆/+/=/的切线，切点为A,直线以与C

a2b2

的渐近线在第一象限交于点若丽则C的离心率为()

A.V2B.V3C.2D.3

【考点】双曲线的性质.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】B

【分析】先利用已知条件得出/4。尸=。，再利用诱导公式与正切的二倍角公式得到〃，〃之间的关系,

再求离心率.

【解答】解：根据题意，作出如图所示的图形,

设渐近线。8的倾斜角为a,则tana=上，

a

在RtZXOA尸中，\OA\=a,10H=。，，HF|=b,

・・.tanNA0F=上，故

a

又就=3记，^\AB\=2b,则在RtZ\OA8中，tanNAO8=2L

a

XVtanZAOB=tan(n-2a)=-2tan：,

l-tan2a

2X—

即&=———y,整理得庐=2d,

a1/

a

故选：B.

【点评】本题考查双曲线中的渐近线、离心率等几何性质，还涉及直线与圆的位置关系，考查学生综合

运用知识的能力和运算能力，属于中档题.

H.已知正方体A3co-A/ICIDI的棱长为2,。为。Qi的中点，过A,B,。三点作平面a,则该正方体

的外接球被平面a截得的截面圆的面积为（)

A.B.c.3nD.

555

【考点】球的体积和表面积；球内接多面体.

【专题】计算题；整体思想；综合法；球；数学运算.

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出球心0到平面a的距离，再利用球的截面小圆性质求出截面圆半径即可.

【解答】解：正方体AbCO-Ai61co的外接球球心是6£>i的中点O,

而BD]Oa=B,则点0到平面a的距离h等于点Di到平面a的距离的一半,

又平面a过线段。。的中点P,因此点Di与点。到平面a的距禽相等，

由AB_L平面ADDiAi,ABua,得a_L平面ADDIAI,

在平面ADD\A\内过。作DELAP于E,

而an平面AOQi4=AP,于是。£：_La,

义研Mz2十F二爬,从而舄_DE卷X型卷■端■‘

乂球。的半径R】BDi=«，

222

则正方体的外接球被平面a截得的截面圆半径一有r=R-h=3-A^

55

所以正方体的外接球被平面a截得的截面圆的面积s=nr2j42L.

5

故选：。.

【点评】本题考查了正方体外接球截面圆面积的计算，属于中档题.

12.已知x>(),ex+lny=1,给出下列不等式:

®x+/ny<0：

®ex+y>2；

@bvc+ey<Ox

®x+y>1,

其中一定成立的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】C

【分析】由/+/〃)，=1可得x=/〃(1-Iny),分别构造F(y)=ln[y(1-Iny)],g(y)=1-Iny+yWh

(y)=/«(1-Iny)+)，，通过求导，求出单调性和最值可判断①@④；取特值可判断②.

【解答】解：由AO,ex+lny=1,可得:lny=1-

因为x>0,所以/>1,所以1-/V0,所以4Y0,解得：OVyVl,

由加y=l可得:lnex=ln(I-Iny},所以x=/〃(1-Iny),

对于命题①，x+lny=ln(1-Iny)+lny=ln[y(1-Iny)],

(1-lny)+y(-)

(y)=ln[y(1-lny)],F，(y)=-----r——.>0>

y(1-lny)y((1-lny)

所以尸(y)在(0,1)上单调递增，因为"(y)<F(1)=0,

所以x+/〃yVO,故命题①正确：

对于命题②，由于+加y=l可得:ex=\-Iny,

所以g(y)=lTny+y，g'(y)二1+1]<0,

yy

所以g(y)在(0,1)上单调递减，

所以g(y)>g(I)=2,所以"+)，>2,故命题②正确；

对于命题③，由〃+/“y=l,取％=1,所以>=6「曳(0,1),

所以//Lx+ev=e>>0,所以③错误；

对于命题④，因为工=仍(1-Iny),所以x+y=/〃(1-biy)+y,0<y<1»

1

n

令h(y)=ln(1-lnyh'(y)=，+1=^+1=1K

令f(5)=1+ylny-y,f(y)=bty<0,

所以/(y)=l+)0〃y-y在(0,1)上单调递减，

f(>')>/(l)=0,所以/?'(y)<0,所以“(y)在(0,1)上单调递减，

所以，(y)>h(1)=1,所以x+y>l,故命题④正确.

故选：C.

【点评】本题考查了导数的综合应用，属于难题.

二.填空题(共4小题)

13.已知非零向量7,百菌足laI=2lbI，且d)•羡0,则彳与E的夹角为■—・

O

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；数学运算.

【答案】2L.

3

【分析】将(a-b)-b=C»转化为向"cose-Ib||bl=0,再根据|aI=2lbI求解即可.

【解答】解：因为(；£)£=0，所以之・芯42=°，叩lZElcos6-Eir5=0，

又因为|ZI=2lbI，所以值fScos。・而亩=2亩/cose•曲=0,

解得cose=』，贝

23

故答案为：2L.

3

【点评】本题主要考查向量的数量积，属于基础题.

14.若(4+5)2°23=ao+mX+〃2X2+…+42023-T=ao+dI+(12+--+G2023»则7被5除所得的余数为]

【考点】二项式定理.

【专题】对应思想；分析法；排列组合；数学运算.

【答案】1.

【分析】采用赋值法求出7,结合二项展开式计算即可.

【解答】解：(x+5)2023=ao+a\x+a2^+,•,+W2O23X2023,7=1+42+…+“2023,

令x=l,则7=(1+5)2°23=「°51+...+02023.52023,

b20230b20230

上式中的2024项，只有第1项不能被5整除，

则丁被5除所得的余数即1被5除所得的余数，即1.

故答案为：1.

【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

15.若函数/(r)=|sin(<nr+2L)|(小>1)在区间E，至m]上单调递减，则实数小的取值范围是」，

)

【考点】正弦函数的图象.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】由题意求得3<2,区间［7T,旦冗］内的x值满足E+?Lwsr+三WKI+TT,kEz,求得

4236

G)<—(H—),kEz,再给女取值，进一步确定3的范围.

53

【解答】解：•・•函数f(%)=|sin(€ox+—)|(a)>0)在［m且LIT］上单调递减，

34

工旦£--工=工.空，J23W4,即O)W2.

4443

Vu)>0,根据函数y=|sinx|的周期为ir,减区间为［E+工■，也+ir］,kEz,

2

由题意可得区间［n,$冗］内的工值满足Xm+?Lw3x+'-WXr+iT,kGz,

423

即3・n+-^-2E+-^-,且3・5兀kEz.

3243

解得x+_lw3w2a+2),仁.

653

求得：当攵=0时，」■这3/一殳，不符合题意；当攵=1时，［Wo)w2；当％=2时，工3W3W22,不

61563615

符合题意.

综上可得，1

63

故答案为：［［，§］.

63

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的单调递减区间是解决本题的关键，综合性较

强，属于中档题.

16.已知/(x)是定义域为R的函数/1)的导函数，曲线/(x-I)关于(I,0)对称，且满足/CO

-/(6-x)=3-X,贝ij/(2022)4/(2028)=-2025；f(-2025)

2

【考点】抽象函数及其应用；导数的运算.

【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【答案】-2025：-A.

2

【分析】构造函数g(x)=/(x)+A,根据已知条件判断g(x)的奇偶性和周期性，从而求得g(2022)

2

+g(2028),进而求出/(2022)+f(2028),再结合g'(x)的周期性，从而求出/(-2025).

【解答】解:因为曲线/（X-1）关于（1,0）对称,

所以曲线/（x）关于坐标原点O对称，即函数/（X）为奇函数.

又因为.r€R,所以/(0)=0,/(0)-f(6)=3,所以/(6)=-3.

因为/⑴=3r,整理得f(x)奇寸(6-x)得

g(0)=0,且g(x)=g(6-x).

又g(6-x)=~g(x-6),

所以g(x)=-g(x-6)=g(x-12),

所以函数g(x)的图象关于直线x=3对称，且12为函数g(x)的一个周期，

所以g(2022)+g(2028)=g(168X12+6)+g(169X12+0)=g(6)+g(0)=f

2028

则f(2022)+f(2028)-g(2022)笔幺-»g(2028)=-2025-

因为g(x)=g(6-x)=-g(x-6),所以/(x)=~g'(6-x)=-g'(x-6),

所以g'(3)=-g'(3)=-g'(-3),所以屋(3)=-屋(3)=-g,(-3)=0.

又g(%)=g(x・12),所以屋(x)=g'(x-12),

所以函数g'(x)也是以12为周期的周期函数.

因为f(x)=g(X)-所以f，(X)二g'(X)］，

所以/(2025)=/(2025)-1.=^(169X12-3)-y=gz(-3)-y=-^-

乙乙乙乙

因为/(幻+fC-x)=0,所以/(x)-f(-X)=0,UP/(-x)=f(x),

所以f’(-2025)=fy(2025)=1•

故答案为：-2025；一2.

【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、导数的应用，推理论证能力、运算求解能力，逻辑推理、

数学运算，属难题.

三,解答题（共7小题）

17,已知数歹ij｛a”的前〃项和为S“，m=2,a“+i=S”+2.

（1）求数列｛“〃｝的通项公式；

（2）设b=------------------------------，记数列｛加｝的前〃项和为刀”证明T<3.

n1n2n4

【考点】数列的求和；数列递推式.

【专题】计算题：整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.

【答案】（I）

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用数列的递推式得到如+1=2z，根据等比数列的通项公式即可求解；

（2）利用裂项相消求和即可求解.

【解答】解:（1）・・・a“+i=S〃+2,

:.当时，Cln=Sn-1+2,

两式相减，得小+1-an=an,即an+\=2dn,

又・・Z1=2,

.•.a2=Si+2=2+2=4,满足上式，

即数列是首项为2,公比为2的等比数列，

所以@广2&

证明：（2）Vb=---------------------------------=----------------------------方

nnn

logza/log2a/2log22-log92^

=--3―r-』（———），

n（n+2）2nn+2

Tf,=b\+b2+-+bn

293，（24，n-1n+1，nn+2”

_1（］+l11X

22n+1n+2

_31z1,1、二3

42n+1n+2〉4

【点评】本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题.

18.4月15日是全民国家安全教育日.以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.只有人人

参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础.作为知识群体的青年学生，是强国富民的

中间力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团随机抽取了600名学生，发放调查

问卷600份（答卷卷面满分100分）.回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份.有

效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间.同时

根据560份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数x和平均数〃（同一组数据

用该组中点值代替）.

（2）如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根据上述

数据，完成下面2X2列联表，并判断能否有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关.

高敏感低敏感总计

男生80

女生80

总计560

附：独立性检验临界值表

P（片》九））0.10.050.010.0050.0()1

K22.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-bc)2

公式：K2=-其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【考点】独立性检验；频率分布直方图.

【专题】应用题：数形结合；数学模型法；概率与统计：数据分析.

【答案】（1）m=0.020；中位数是62；平均数是60.2.

（2）有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关.

【分析】（1）由频率和为1列方程求出m的值，再根据中位数和平均数在频率分布直方图中的计算方

法，求解即可.

（2）根据题意填写列联表，计算对照临界值即可得出结论.

【解答】解：（1）由频率和为1,得（0.003+0.006X2+0.00^0.012X2+0.016X2+m）X10=L解得〃?

=0.020：

因为(0.003+0.006+0.009+().012+0.()16)X10=0.46,0.46+0.020X10=0.66,

所以中位数在［60,70)内，设中位数是r,则(x-60)X0.020+046=05,解得x=62,所以中位数是

62；

计算平均数n=15X0.03+25X0.06+35X0.09+45X0.12+55X0.16+65X0.20+75X0.16+85X0.12+95X

0.06=60.2.

（2）根据题意填写列联表如下:

高敏感低敏感总计

男生80160240

女生80240320

总计1604(X)560

计算小辿3*竺31=4.667A3.841，

240X320X160X400

所以有95%的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关.

【点评】本题考查了频率分布直方图与列联表和独立性检验的应用问题，是中档题.

19.如图，在直三棱柱A8C・AiBCi中，AiCi=BiCi=3,人遇「女历，。为的中点.（1）证明:

31c〃平面A。。.

（2）若以人以为直径的球的表面积为48m求二面角C-A。-CI的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行.

【专题】数形结合：向量法：综合法：立体几何：逻辑推理：数学运算.

【答案】（1）证明过程见解答；（2）逗.

19

【分析】（1）由线面平行的判断定理即可证明；

（2）由题设条件和球的表面积公式计算可求得AAi=4,建立空间直角坐标系，由向量法即可求解.

【解答】解：（1）证明：连接AC交人Ci于点E,则E为4c的中点，

因为。为A181的中点，所以DE〃与C,

又因为。Eu平面ACi。，BiCC平面A。。,

所以AC〃平面ACiQ；

22

(2)因为AIG=BICI,。为Ai照的中点，所以用，-0-C[1)=y13-(2^2)=1-

/岛产：2=伽,

因为以A81为直径的球的表面积为48n,所以47rx解得AAi=4,

以D为坐标原点，前［的方向为y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(0,0,0),C^O,1,0),A(-2V2,0,4),C(0,1,4)-

设平面A。。的法向量为孟=(x,y,z),DC^=(0.1,0),DA=(-2V2,0,4)»

mpDC=y=0

则西，mlDA»所以，1

mpDA=-2V2x+4z=0

令z=l，得短(也0,1)■

设平面AC。的法向量为［=(1,/,z),DC=(0,1,4)，

mL—►―—.匚「,、1n•DC=yz+4zz=0

则nlDC,nlD肘所以{-----r,

{n*DA=-2v2x+4z'=0

令，=1,t#n=(V2,-4,1)-

m♦n_3_____V57

因为cos〈m，|m|Ini=V3XV19=19

由图可知，二面角C-A。-G为锐二面角,

【点评】本题考查线面平行的证明和二面角的求法，属于中档题.

20.双曲线C：与一、=](〃>0,b>0)上一点D(6,到左、右焦点的距离之差为6.

1

a2b,2

(1)求C的方程；

(2)己知A(-3,0),B(3,0),过点(5,0)的直线/与C交于M,N(异于A,两点，直线

MA与NB交于点P,试问点P到直线x=-2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明

理由.

【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的性质.

【专题】综合题；对应思想；综合法：圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)2__2=

9》

(2)是定值，定值为里.

5

【分析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出。和力的值，进而可得C的方程；

(2)对直线/是否垂直于x轴进行讨论，设出直线/的方程和M,N两点的坐标，将直线,的方程与双

>

曲线方程联立，利用韦达定理得到¥[+¥2=^*，y1y2=^-推出直线AM和8N的方程，将两

直线方程联立，解得点P在定直线上