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南陵县高中数学“校际交流课”活动2024年9月27日2.2基本不等式
1．了解基本不等式的代数、几何背景．2．掌握积定和最小、和定积最大．3．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．思考：(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
再来明确一下我们需要解决的问题：
初中的时候我们会用二次函数求最大值、最小值.接下来，我们将学习一种新方法求最值.重要不等式:
通常把上式写作：
重要不等式→基本不等式
几何平均值算术平均值
基本不等式（均值不等式）:代数意义：两正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.思考：我们是否还可以用其他方法证明基本不等式？
证明：要证
只要证
只要证
只要证，上式显然成立，所以原不等式成立．该证明方法称为分析法
综合法思考：如图，AB是圆的直径，C是
AB上任一点，AC=a，CB=b，过点
C作垂直于
AB的弦
DE，连接
AD，BD，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？如图，可证△ACD∽△DCB，则CD=
，半径为
，圆的半径大于或等于CD，用不等式表示为
，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立．几何意义：半径长不小于半弦长.下面我们来解决这两个问题：
解：(1)，当且仅当
时，等号成立．(2)由当且仅当
时，等号成立．更一般地，若已知x，y都是正数，则:(1)如果积xy等于定值P，那么当
时，和
有最小值
；(2)如果和
等于定值S，那么当
时，积xy有最大值.解：(1)，当且仅当
时，等号成立．(2)由当且仅当
时，等号成立．利用基本不等式求最值时，需满足:
例1.已知
，求
的最小值.解：因为
，
，所以当且仅当
，即
，
时，等号成立，因此所求最小值为2.一正二定三相等1.已知
，求
的最大值.解：因为
，所以
，所以当且仅当
，即
，
时，等号成立，因此所求最大值为-2.例2.已知
，求
的最小值.配凑法题型一.配凑积为定值题型二.配凑和为定值例3.已知
，求
的最大值.题型三：两正数和与它们倒数和之间关系例4.已知
，
，且
，求
的最小值.1的代换题型三：两正数和与它们倒数和之间关系例5.已知
，
，且
，求
的最小值.1.基本不等式及其变形.2.用基本不等式求简单的最大值、最小值问题.题型二.配凑和为定值例5.已知
，
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