8.4.1因式分解提公因式法（课件）七年级数学下册课件（沪科版）

因式分解

——提公因式法知识回顾(a+b)2=a2+2ab+b2①(a-b)2=a2-2ab+b2②①

完全平方公式

两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.②

平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差.拓展提高②

利用平方差公式计算的关键是：确定公式中的a和b怎样确定

a与

b：符号相同的项看作a，符号相反的项看作b.确定a和b后套用公式即可.叫做

，创设情境在小学，我们学过整数的因数分解，例如6

=30

=2类似地，在整式中，也可以把例如，a2+2ab+b2=a2-2ab+b2=a2-b2=na+nb+nc=(a+b)2(a-b)2(a+b)(a-b)n(a+b+c)像这样，也叫做把这个多项式分解因式.化成一个多项式的形式.几个因式乘积2×3，×3×5因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式，对应练习1、下列式子从左到右的变形是因式分解吗？请说明理由.①8xy3=2xy·4y2②x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1)不是不是知识拓展

①

因式分解的对象是多项式，将一个单项式拆成几个单项式的乘积的形式不能称为因式分解.②

因式分解的结果是将多项式化为几个整式的积的形式.③x2-2xy+y2=(x-y)2是

积中几个相同的因式的积要写成幂的形式.对应练习1a2④a2+2+=(a+)21a不是1、下列式子从左到右的变形是因式分解吗？请说明理由.⑤ax2-4a=a(x2-4)不是⑥(x+5)(x-5)=x2-25不是

③

因式分解必须彻底，要把一个多项式分解到每一个因式都不能分解为止.知识拓展

①

因式分解的对象是多项式，将一个单项式拆成几个单项式的乘积的形式不能称为因式分解.②

因式分解的结果是将多项式化为几个整式的积的形式.

积中几个相同的因式的积要写成幂的形式.对应练习2、判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc(2)(a-7)2=a2-14a+49(3)(x+3)(x-3)=x2-9(5)ma+mb+mc=m(a+b+c)(6)a2-14a+49=(a-7)2(7)x2-9=(x+3)(x-3)整式乘法因式分解思考：因式分解与整式乘法有何关系?因式分解与整式乘法互为逆运算.整式乘法一个多项式因式分解几个整式的积x2-1(x+1)(x-1)探究新知问题1

如何对一个多项式分解因式呢？把下列式子分解因式.ma+mb+mc

多项式的各项中都含有的相同的因式，叫做各项的公因式.ma+mb+mc解：公因式提公因式法

这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积m(a+b+c).如果把这个公因式提到括号外面，=m(a+b+c)这种因式分解的方法叫做

提公因式法

.如何确定一个多项式的公因式？

公因式的系数应取各项系数的最大公因数；确定公因式的方法：当各项系数都是整数时，

①

定系数：公因式中的字母应取各项都含有的相同的字母；②

定字母：

确定一个多项式的公因式，要对其数字因数、字母和字母的指数分别进行考虑：取相同字母的最低次数.③

定指数：问题2指出下列多项式的公因式.3x2–6x3y定系数3定字母x

定指数2所以公因式是

3x2.对应练习指出下列多项式的公因式.(1)3a2y-3ay+6y(2)4xy3-8x3y2(3)a(x-y)3+b(x-y)2+(x-y)3(4)-4a3b2+12a2b-4ab当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；确定公因式的方法：①

定系数：公因式中的字母应取各项都含有的相同的字母；②

定字母：取相同字母的最低次数.③

定指数：3y4xy2(x-y)2-4ab④

看整体：如果多项式中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开.例1

把下列各式分解因式：

把公因式提到括号外面，各项余下的式子保持原来的和差形式.

然后把多项式的每一项写成公因式与另一个因式相乘的形式，()解:原式==4mm-2n(1)4m2-8mn(2)

4a2bc-12a3b2解:原式=（)=4a2bc-3ab①

找出公因式.用提公因式法分解因式的步骤：②

提公因式.4m·m-4m·2n4a2b·c-4a2b·3ab

注意另一个因式可由原多项式的相应项除以公因式得到.例1

把下列各式分解因式：←不能漏掉

(3)8a3b2-12ab3c+ab=ab(8a2b-12b2c+1)解:原式=

当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1，切不可把“1”漏掉。ab·8a2b-·12b2cab+ab·1知识拓展例1

把下列各式分解因式：

(4)-4a3b2+12a2b-4ab解:原式=

当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“-”，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都要改变符号.知识拓展-(4a3b2-12a2b+4ab)=-()4ab·a2b-·3a4ab+4ab·1=-4ab()a2b-3a+1例2

把下列各式分解因式：(1)2x(b+c)-3y(b+c)当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；确定公因式的方法：①

定系数：公因式中的字母应取各项都含有的相同的字母；②

定字母：取相同字母的最低次数.③

定指数：④

看整体：如果多项式中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开.解：原式=(b+c)(

)2x-3y例2

把下列各式分解因式：(2)

3n(x-2)+(2-x)解：原式=(

)=(x-2)

3n(x-2)-(x-2)3n-1巩固练习(2)

-27a2b3+36a3b2+9a2b1、把下列各式分解因式：(1)

9a4x2-18a3x3-36a2x4巩固练习(3)

3a(a-2b)+6b(2b-a)(4)

6(x-y)3-3y(y-x)2

1、把下列各式分解因式：巩固练习(6)xn+2xn-1-4xn-21、把下列各式分解因式：(5)(a＋b)(a-b)-a-b巩固练习(2)56.2×1999-432×199.92、用简便方法计算：(1)

2019+20192-2019×2020巩固练习变式练习：

ab=，a+b=，求多项式a3b+2a2b2+ab3的值.83453、已知a+b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值.巩固练习4、已知x2+3x-2=0，求代数式2x3+6x2-4x的值.巩固练习5、试说明817-279-913

能被45整除.本节课你有什么收获？一、因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆运算.整式乘法一个多项式因式分解几个整式的积二、公因式多项式的各项中都含有的相同的因式，叫做各项的公因式.确定公因式的方法：①

定系数

②

定字母

③

定指数

④

看整体

三、提公因式法

一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.用