【高考数学 题型方法解密】专题02 不等式的性质解法与均值定理6类常考题型(原卷及答案)-高考数学常考点 重难点复习攻略（新高考专用）

专题02不等式的性质解法与均值定理6类常考题型

目录

一常规题型方法.......................................................1

题型一不等式的性质......................................................1

题型二一元二次不等式....................................................3

题型三其他不等式........................................................5

题型四由均值定理求积与和的最值..........................................6

题型五均值不等式化“1”法...............................................7

题型六均值不等式构造法..................................................9

二针对性巩固练习....................................................10

练习一不等式的性质.....................................................10

练习二一元二次不等式...................................................11

练习三其他不等式.......................................................12

练习四由均值定理求积与和的最值.........................................12

练习五均值不等式化“1”法..............................................13

练习六均值不等式构造法.................................................13

常规题型方法

题型一不等式的性质

【典例分析】

典例1-1.（2022•北京市陈经纶中学高一期中）若实数a,b,ceR且则下列

不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.ac>bcC.D.a-c>b-c

b

典例12（2022•北京•首师大附中昌平学校高一期中）下列命题是真命题的是（）

A.若a>Z?>0,则B.若a>b,则

C.若〃<人<0,贝D.若。<8<0,贝

典例1-3.（北京市房山区2022-2023学年高一上学期期中学业水平调研数学试题）

己知=〃+l,〃=a+2〃，则和〃的大小关系为（）

A.m>nB.机>〃C.m<nD.m<n

典例14（2022・重庆・西南大学附中高一期中）己知-lvxv2,0<y<6,则2x-y的

取值范围是（）

A.—2<2.r—j?<10B.—8<2r—y<4

C.-8<2x-y<6D.-4<2x-y<8

【方法技巧总结】

1.不等式的性质有：对称性、传递性、可加性（同向可加性，异向可减性）、可积性

（同向正数可乘性，异向正数可除性）、平方法则、开方法则、倒数法则。

2.技巧：性质的应用要注意正负，如果不方便用性质可以在满足条件的前提下进行

代数验证，进而排除选项。

3.比较大小可用作差法或作商法

【变式训练】

1.（北京市房山区2022-2023学年高一上学期期中学业水平调研数学试题）若,

则下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b2B.a-\<bC.a+\>bD.2a>b

2.（2022•河南南阳.高一期中）下列命题为真命题的是（）.

门什11

A.若a>〃，则a4c>b4cB•右右>花,贝ija<6

C.若。<同，贝D.若同<〃，贝

3.（新疆兵团地州学校2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题）已知

rz=2x2+3x+7,b=x2-x+2,则（）

A.a=bB.a>bC.a<bD.a<b

4.（2022•山东•滨州高新高级中学有限公司高一阶段练习）已知lva<4,2<h<8

则加+。的取值范围是（）

A.1<2<z+Z?<4B.2<2a+b<SC.4<2。+〃<16D.4<2a+b<S

题型二一元二次不等式

【典例分析】

典例2-1.(2022.福建省泉州市培元中学高一阶段练习)若不等式以的解

集为{x|2vxv5},则不等式ex?+/求+々>0的()

,11

A.Ui--<x<-B.<X或

C.•D.俨或

、J4JJ乙

典例2-2.(2022•山西.普城市第一中学校高一阶段练习)已知集合

/\={xIx2-3x-4<0},/?={xIx2-(2m+2)x+nr+2m>0},AlB=R,则实数〃z的取值

范围是()

A./77>1B.m>2C.—1<tn<2D.-1<m<2

典例2-3.(2023・全国•高三专题练习)己知方程V+(m_2)x+5-〃?=0有两个不相等

的实数根，且两个实数根都大于2,则实数机的取值范围是()

A.Q5,T)J(4,y)B.(-5,-HO)

C.(-5,-4)D.(T-2)U(4,E)

典例2-4.(2022•北京市第五十中学高一阶段练习)对于任意实数盯不等式

(2-〃?)/一2(〃?-2)、+4>。恒成立，则小的取值范围是()

A.{m\-2<m<2}B.<//:<2}

C.｛词fii<-2nJJin>2)D.{加〃?〈一2或加22}

【方法技巧总结】

1.一元二次不等式口诀：小于取中间，大于取两边，但前提是X平方前的系数为整

数，另外也可以画二次函数图像来解一元二次不等式。

2.含参的一元二次不等式要注意讨论的方向，一般先讨论开口方向，然后十字相乘，

再对含参的根进行大小比较，最后在不同情况下下结论。

3.一元二次方程根的分布：有五种不同模型，以根的判别式、对称轴、端点值的

正负三方面求参数的范围。

【变式训练】

1.(2022•山西・太原五中高一阶段练习)不等式(x+0)［(a-l)x+(l-叨>。的解集为

(^-1)U(3,-BX)),贝IJ不等式/+加一2〃<0的解集为()

<11A,(1>

A.(-2,5)B.C.(-2,1)D.

IZ。\,乙)

2.(2022・北京•和平街第一中学高一阶段练习)若集合A={x|V-5x+6<0},

B={x|x2-4tir+3a2<0},且A=则实数。的取值范围是()

A.\<a<2B.\<a<2C.\<a<3D.l<^z<3

3.(2023・全国•高三专题练习)关于x的方程£+(a-2)x+2〃Ll=()恰有一根在区间

(04)内，则实数〃7的取值范围是()

A•层］B.(圜C.［别D.］圜邛-2向

4.(2022•广东•高一期中)已知函数/(6=/一4+4。，&(\)二1/一2。卜+4。-4,若对

于任意xe(l,y),均有/3>晨力恒成立，则实数”的取值范围是()

A.(f,3)B.(-3,1)C.(T3)D.(-3,-H»)

题型三其他不等式

【典例分析】

典例3-1.(2022•江西省丰城中学高一期中)若“言<0”是“卜-〃|<2"的充分而不必

要条件，则实数〃的取，直范围是()

A.1<a<3B.1<^/<3C.-\<a<3D.-\<a<3

典例3-2.(2022•江苏・盐城中学高三阶段练习)已知集合A={M(x-l)(x-2)(x-3)«0},

B={y\2>+y>6]f则A[8=()

A.(2,3]B.(^o,l]kj[2,3]C.[2,3]D.(2收)

典例3-3.(2021•山东・德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习)设集合

x

A={xW<2<S],B={x|log3(x-l)<l},则Af)B=()

A.[0,3]B.[1,3]C.(1,3]D.[0,4]

【方法技巧总结】

1.其他不等式有：分式不等式、绝对值不等式、高阶不等式、根式不等式、指数不

等式、对数不等式等。

2.技巧：分式不等式可同乘分母的平方来去分母，且需注意最后结果要考虑分母不

为零；绝对值不等式和根式不等式都是同时平方；高阶不等式用穿针引线法，注意

“奇穿偶不穿”；指对不等式需化同底，然后结合函数的单调性。

【变式训练】

1.(2022•河南.高一阶段练习)若4=t..；<1B=k->-L则13=(

)

x2

4

A.-X0<x<-B.^0<x<->

33

C.{x|0<x<2}D.*x--<x<2•

2.(2022.安徽省亳州市第一中学高三阶段练习)不等式/一叙-7>1的解集为()

x-1

A.(-1,6)B.(-1,1)51，6)

C.[-l,l)u[6,+co)D.(-lj)u(6,+cc)

3.(2022・全国•高三专题练习(文))已知集合2={.疝<而1<2},0=310821>1},

则()

A.(1,2)B.(2,4)C.(2,5)D.(1,5)

题型四由均值定理求积与和的最值

【典例分析】

典例41.(2022・广东深圳•高三阶段练习)已知x>0,)>0,若x+)，+个=3,则到的

最大值为()

A.1B.V2C.2D.2正

典例4-2.（2022•安徽•芜湖一中高一阶段练习）已知x>（）,）>。，且x+2y+冷，-6=。,

则x+2y的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

典例4-3.（2022•江苏省灌南高级中学高三阶段练习）下列命题中正确的是（）

A.当x>l时，XH—N2B.当xvO时，XH—W—2

xx

C.当Ovxvl时，五+如2D.当x>l时，五+加之2近

典例4-4.（2020・宁夏・石嘴山市第三中学高三阶段练习（文））若x>4,则函数

A.有最大值10B.有最小值10

C.有最大值6D.有最小值6

【方法技巧总结】

1.技巧：均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等”。一正：各项必须为正;

二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定；三等：必须验

证等号成立的条件。

2.相关拓展推式：

（1）行弓之审之两2；（2）a2+b2>2ab

ab

（3）a+—>2（a>0）（4）+22（a,〃司号）

【变式训练】

1.（2022・四川成都•高二期中（理））若正实数满足“+4〃=2,则而的最大值为

2.（2017.湖南•武冈市教育科学研究所高二学业考试）已知点6y）在直线x+）」2=。

上运动，则2、+2,的最小值是（）

3.（2022・宁夏・石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））下列函数中，最小值为2的

是（）

y=-+x(x<0)B.y=—+l(x>1)

x

/-4

y=y/xA—『—2(x>0)D.)'=+Jf+2

4.（2020•云南•昭通市昭阳区第一中学高一阶段练习）函数9=47+为＞0）的最小

值是（

题型五均值不等式化“1”法

【典例分析】

Q1

典例5-1.（2022•浙江宁波・高一期中）已知正数尤y满足一+—=2,则x+2y的最小

值为（）

A.7B.14C.18D.9

典例5-2.（2022•重庆•高三阶段练习）已知，且2log,m=log,-，则lo,2+log3

ngww

最小值为（）

A.2+V2B.3+V2C.2+2&D.3+2x/2

典例5-3.（2022•北京市第五十七中学高一阶段练习）设正实数小、〃满足〃升〃=2,

则下列说法不正确的是（）

A.工+2的最小值为办2亚B.我的最大值为:

mn222

C.+G的最小值为2D.小+小的坡小值为2

典例44（2022・四川俏阳市阳安中学高三阶段练习（文））若两个正实数3y满

416

足工+尸4,且不等式,+7>〃/-3利+5恒成立，则实数〃?的取值范围为（）

A.B.卜冲〃<1或〃?>4}

C.{/n|-l<QH<4|D.{机W<0或〃?>3}

【方法技巧总结】

1.方法流程：首先，条件化“1”，然后，把其与问题相乘，再将其括号展开变为四

项，最后直接使用均值定理求出最值。

2.注意：需再读题时观察条件和问题，是否满足“两分子，两分母分别相加”的形

式，也需注意变量范围和取等情况。

【变式训练】

]4

1.（2022•江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知Q，e（0,+oo）,>-+-=2,贝!x+y

最小值为（）

97

A.9B.-C.7D.-

22

2.（2022•福建省长汀县第一中学高一阶段练习）若〃>0,b>0,且。+6=加力，那

么〃+2匕的最小值是（）

A.6B.3+20C.2A/2D.|«>/2

3.（2022•江苏・常州市北郊高级中学高二开学考试）设正实数小y满足2x+），=l,

则（）

1?I

A.盯的最大值是:B.l+,的最小值是8

c.4/+y2的最小值为:D.岳+4的最小值为2

4.（2022・新疆,兵团第一师高级中学高一阶段练习）己知工>0,。>0且>4%-孙=0,

若工+），>〃?2+8〃?恒成立，则实数用的取值范围是（）

A.{W|-9<7??<1|B."帅〃3}C.'D.卜冲心1}

题型六均值不等式构造法

【典例分析】

33

典例6-1.（2022•黑龙江齐齐哈尔・高一期中）设-），均为正实数，且大+不

4"T"人4"iV=1,

则x+>'+4的最小值为（）

A.12B.20C.13D.10

典例6-2.（2021•天津•高一期末）若%〉0,>>-2,且x+），=l,则口+工；的最小

xy+2

值为（）

13

A.8B.3C.2D.—

典例6-3.（2022・全国•高一课时练习）已知正数4、V满足（x-2）（），-1）=2,若不等

式x+2），>”恒成立，则实数，”的取值范围是（）

A.（8,-KO）B.（4,+oo）C.（一8,8）D.（Y,4）

【方法技巧总结】

1.构造法是利用配凑的方法将条件或问题进行转化，使得整道题可以使用直接法或

是化“1”法来进行求解。

2.均值定理方法的选择顺序为：直接法.化“1”法、构造法、其他方法（同一变量

法，三角换元等）。

【变式训练】

1.（2022•黑龙江•双鸭山一中高一阶段练习）己知正实数满足」7+±=1,则

a+bb+\

。+25的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

14

2.（2022•湖北・广水市第二高级中学高一期中）已知正数4、了满足x+y=l,求一一

x1+y

的最小值是（）

149

A.—B.9C.-D.4

32

3.（2022・山东・梁山县第一中学高一阶段练习）若正数。满足（。-1）3-1）=1,则

4a+c的最小值为（）

A.8B.9C.10D.12

针对性巩E3练习

练习一不等式的性质

1.（2022・北京•大峪中学高一期中）如果那么下列不等式一定成立的是（）

A.同>|〃|B.>Z?'C.B.D.a2<b'

2.（2022•福建省福州延安中学高一阶段练习）若〃、b、。为实数，则下列命题正确

的是（）

A.若a>b,贝B.若4<。<0,则/>出>>力2

C.若a<b,则一D.若〃V/?V0,则一>—

abab

3.（2022・云南・高一阶段练习）已知f=/+W+2,$=2/+阳+1,则（）

A.2<t<sB.2<t<sC.t>s>\D.t>s>\

4.（2022・陕西•咸阳市高新一中高一期中）若lvav4,—2〈0v4,则2〃一人的取值范围

是（）

A.（-2,4）B.（-2,10）C.（0,4）D.（0,10）

练习二一元二次不等式

5.（2022•山西大附中高一阶段练习）己知关于x的不等式〃?工>〃的解集是"打<2},

则关于x的不等式（g+〃8-3）>0的解集是（）

A.{.山<2或工>3}B.卜|24<3}

C.{x|xv-2或x>3}D.{X|-2<¥<3）

6.（2022・广东・佛山市南海区艺术高级中学高一阶段练习）已知集合

4={x|ar2-（«+l）A-+l<0},^={X|X2-3A--4<（）},且A14=A,则实数a的取值范围

是（）

A.tz<-B.0<a<-C.a>—D.或々>1

4444

7.（2022.全国•高一课时练习）要使关于x的方程卜+。-2=0的一根比1大

且另一根比1小，则实数〃的取值范围是（）

A.{a\-\<a<2\B.{a|-2<a<l）

C.{a\a<-2]D.{*>1}

8.（2023・全国•高三专题练习）若不等式〃7+2机L4<2X、4、对任意X者防戈立，则实

数M的取值范围是（）

A.（一2,2）B.（2,+=o）C.（-2,2]D.1-2,2]

练习三其他不等式

9.（2022・辽宁・大连市第二十高级中学高一阶段练习）命题p：|x+2|〉2,命题

,则F是力成立的（）.

3-x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2022•江西・赣州市第一中学高二阶段练习（文））不等式丁+2—3Ko的解集为

x+1

（）

A.{x|xN3或一1WxWl}B.{x|x>3ng-l<x<l}

C.{x|xW-3或一1WxWl}D.一3或一1<xWl}

11.（2021•河南南阳•高三期末）已知集合4={率"<1},集合8={却叫（-1）<1},

贝IjAuB二（）

A.（-10）B.（-8,1）C.（一双0）D.（^o,-l）

练习四由均值定理求积与和的最值

12.（2022♦广东・广州南洋英文学校高一期中）已知x>0,）>0,且满足x+6.v=6,则

外有（）

33

A.最大值5B.最小值另C.最大值1D.最小值1

13.（2022・湖南•株洲二中高一阶段练习）已知x>0,y>0,且x+y+盯-3=0,则

（）

A.冷，的取值范围是口⑼B.x+），的取值范围是[2,3]

C.x+4），的最小值是3D,x+2丁的最小值是4&一3

14.（2022・重庆市长寿中学校高三期中）下列函数中，最小值为4的是（）

4I

A.y=x+—B.y=x+---+4（x>-2）

xx+2

,4,

C.y=cosx+———D.y=x~+2x+4

cos-x

15.（2022♦吉林•东北师大附中高一阶段练习）），=匕上&〉o）的最小值为（）

x

A.1B.2C.3D.4

练习五均值不等式化“1”法

16.（黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2022-2023学年高一上学期期中数学试题）己

14

知正实数盯》满足一+—=1,则x+v的最小值为（）

xy

A.6B.7C.8D.9

17.（2019•山东省青岛第六十八中学高一期中）已知正数x,y满足x+2y-2.p=0,

那么2x+y的最小值是（）

9

A.1B.2-C.9D.2

18.（2022•江苏•南京外国语学校高一阶段练习）已知。>0,力>0,且则

ab

下列不等式不正确的（）

A.ab>\6B.2a+b>6+4>/2

C.a—b<0D.-7+—

14

19.（2022•天津益中学校高一期中）已知x>0,y>0fi-+-=1,若x+y>病+8m恒

成立，则实数〃7的取值范围是（）

A.p|x>1-B.{x|x<-3}）C.{x\x>l}D.{x|-9<x<l}

练习六均值定理的其他方法

20.（2022•重庆市万州第二高级中学高一阶段练习）已知x>0,y>（）,若x+y=2,

则4+2的最小值是（）

2x+1y

977

9C-

A.B.5-5-D.3

21.（2022・江苏省横林高级中学高一阶段练习）已知对任意."'£（0,y），且％+2>=3,

叱士+占恒成立，则，的取值范围是（）

x+22y+l

112

A./<4B./—C.1-~D.t4二

233

22.（2023・全国•高三专题练习）已知0c<g,则函数kMl-2.r）的最大值是（）

A.BD.

2-7ci9

专题02不等式的性质解法与均值定理6类常考题型

目录

一常规题型方法.......................................................1

题型一不等式的性质......................................................1

题型二一元二次不等式....................................................4

题型三其他不等式........................................................9

题型四由均值定理求积与和的最值.........................................12

题型五均值不等式化“1”法..............................................16

题型六均值不等式构造法.................................................20

二针对性巩固练习....................................................24

练习一不等式的性质.....................................................24

练习二一兀二次小等式...................................................25

练习三其他不等式.......................................................27

练习四由均值定理求积与和的最值.........................................28

练习五均值不等式化“1”法..............................................31

练习六均值不等式构造法.................................................33

常规题型方法

题型一不等式的性质

【典例分析】

典例1-1.（2022•北京市陈经纶中学高一期中）若实数小b,cwR且入则下列

不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.ac>hcC.y>ID.a-c>b-c

b

【答案】D

【分析】利用不等关系与不等式的性质，逐项分析即可求解.（解决此题的关键是熟

记不等式的性质）

【详解】由题意可得，实数。也ceR且。>匕，

若a=l力=-1,则/=护,故A错误;

若〃=|,人=_1,。=一］,则acv从，故B错误；

若。=1,。=-1,则/<1,故C错误；

b

已知4>力，CGR,则-c恒成立，故D正确；

故选：D.

典例12（2022•北京・首师大附中昌平学校高一期中）下列命题是真命题的是（）

A.若a>b>0,则加2>反2B.若。>匕,则

C.若a<b<0,贝U/v/D.若a<b<0,贝

【答案】D

【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：当c=0时，«c2=bc2,是假命题，故错误；

对B:、'1a-1,〃一一1时，满足但/=/,是假命题，故铝i吴:

2

对C：当a=-2,）=-l时，满足"b<o,但/=4,〃=1,a>b\

是假命题，故错误；

对D：若a<b<0,根据不等式的性质，-a>-b,是真命题.

故选：D.

典例1-3.（北京市房山区2022-2023学年高一上学期期中学业水平调研数学试题）

己知〃+〃2+[,〃=〃+2〃,则m和n的大小关系为（）

A.m>nB.机>〃C.nt<nD.机<〃

【答案】A

【分析】作差比较可得.

【详解】因为〃，一〃=〃+〃'+1—。-=-2/?+1={b-\Y>0,

所以加之〃.

故选：A

典例1-4.（2022・重庆・西南大学附中高一期中）已知-lvxv2,0<y<6,则2x-y的

取值范围是（）

A.-2<2,r->'<10B.-8<2r-y<4

C.-8<2x-y<6D.-4<2x-y<8

【答案】B

【分析】先求21的范围，再求2x-y的范围.

【详解】因为一lvxv2,所以-2V2x4,

而0<y<6,所以-8<21-丁<4.

故选：B

【方法技巧总结】

L不等式的性质有：对称性、传递性、可加性（同向可加性，异向可减性）、可积性

（同向正数可乘性，异向正数可除性）、平方法则、开方法则、倒数法则。

2.技巧：性质的应用要注意正负，如果不方便用性质可以在满足条件的前提下进行

代数验证，进而排除选项。

3.比较大小可用作差法或作商法

【变式训练】

1.（北京市房山区2022-2023学年高一上学期期中学业水平调研数学试题）若,

则下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b~B.a-\<bC.a+\>bD.2a>b

【答案】C

【分析】采用列举法可直接求解

【详解】对A,1>-2,但『<2,故A错误；

对B,4>1,但故B错误；

对C,a>b=>a+\>h+\>b,故C正确；

对2,但-2=-2,故D错误.

故选：C

2.（2022.河南南阳.高一期中）下列命题为真命题的是（）.

c411

A.若a>b,贝aj?>b\[cB•右不,不，贝ijavl

C.若。<回，贝D.若同〈〃，则a?〉"

【答案】B

【分析】取特殊值可判断AC,作差法可判断B,由不等式的性质可判断D.

【详解】对于A,当c=0时，a&=b无，故A错误;

对于B,因为—^>0,所以6-。,得a<6，故B正确；

对于C,取a=l,〃=-2即可判断C错误；

对于D,因为同<〃，所以/<〃，故D错误.

故选：B

3.(新疆兵团地州学校2022・2023学年高一上学期期中联考数学试题)已知

a=2x2+3x+7,b=x2-x+2»贝U()

A.a=bB.a>bC.a<bD.a<b

【答案】B

【分析】作差法比较两数的大小.

【详解】因为。一力=2工*+3x+7-(.r2-x+2)=x2+4.r+5=(x+2)'+1>0,

所以a>b.

故选：B

4(2022•山东•滨州高新高级中学有限公司高一阶段练习)已知lva<4,2<〃<8,

则加+〃的取值范围是()

A.l<2a+b<4B.2<2a+b<SC.4<2a+b<\6D.4<2a+匕<8

【答案】C

【分析】根据不等式的性质可得2<2a<8,再利用不等式性质即可得答案.

【详解】由1<a<4可得2<2a<8,而2vbv8,

故4<2a+Z?<16,

故选：C

题型二一元二次不等式

【典例分析】

典例2-1.(2022.福建省泉州市培元中学高一阶段练习)若不等式以的解

集为{x|2vxv5},则不等式ex?+/求+々>0的()

,111c1I1T厂

A.AI——<x<——B.sxlx<——或——>

2525

,11f,1»I

C.Ul-<X<-^D.-

J4X'J乙/

【答案】c

【分析】依题意可得X=2、x=5为方程ad+尿+c=0的两根且。<0,利用韦达定理得

到〃二一7々、c=\0a,则不等式cW+/zv+〃>0化为10/-7x+1<0，解得即可.

【详解】解：因为小等式/+瓜+。>0的解集为{川2—<5},

所以x=2、x=5为方程加+云+c=0的两根且a<0，

2+5=--

a

所以所以Z?=—7。、o=10a,

2x5=-

a

J听以不等式ex?+〃>0，tl|J1Oar2—lax+<»>0,L'P1Ox2—7.r+1<0>

BP（2x-l）（5x-l）<0,解得W，

JJ

即不等式52+"+〃>0的解集为'

故选：C

典例2-2.（2022•山西•晋城市第一中学校高一阶段练习）已知集合

A={.r|x2-3.r-4<0},B={xIV-（2〃?+2）x+>+2〃〉0},AlJB=R,则实数〃？的取值

范围是（）

A.///>1B.m>2C.-\<m<2D.-l<//7<2

【答案】C

【分析】先解一元二次不等式求出集合A8,再由AB=R,列不等式组可求得结

果.

【详解】4={Nx2-3x-4<0}={.r|-l<x<4),

8={NX2-(2/w+2)x+m~+2"?>0}={x|x<m或x>m+2),

因为AR=R,

所以/解得一lvm<2,

[m+2<4

故选：C

典例2-3.(2023・全国•高三专题练习)已知方程f+(〃.2)%+5-〃?=0有两个不相等

的实数根，且两个实数根都大于2,则实数"?的取值范围是()

A.(-5,-4)J(4,y)B.(-5,+00)

C.(-5,-4)D.(-4,-2).(4,-HDO)

【答案】C

A>0

【分析】令/(力=寸+5-2)x+5-加，根据二次方程根的分布可得式子号>2,

〃2)>0

计算即可.

【详解】令/(x)=f+(〃?-2)x+5

(/〃-2)"-4x(5-〃1)>0ra>4或m<-4

1—m.

由题可知：，---->2=><m<-2=>m<-2

2

4+-2)x2+5-切>0m>-5

贝I」一5<,即〃?e(一5,-4)

故选：C

典例2-4.(2022•北京市第五十中学高一阶段练习)对于任意实数“，不等式

(2-〃?)/一2(6-2卜+4>0恒成立，则〃，的取值范围是()

A.{m\-2<m<2}B.{/n|-2</n<2}

C.{6I〃？<一2或〃？>2}D.””加〈一2或m22}

【答案】B

[2—m>0

【分析】分类讨论当机=2时和八人两种情况，即可求解.

【详解】当2-〃=0,即机=2时，4>0恒成立，满足题意.

2-m>0

当2-〃件0时，贝I」有A八2，解得：-2V〃?<2

A=4(m-2)-4?(a<0n)?

综上，实数m的取值范围是-2<m42

故选：B

【方法技巧总结】

L一元二次不等式口诀：小于取中间，大于取两边，但前提是x平方前的系数为整

数，另外也可以画二次函数图像来解一元二次不等式。

2.含参的一元二次不等式要注意讨论的方向，一般先讨论开口方向，然后十字相乘，

再对含参的根进行大小比较，最后在不同情况下下结论。

3.一元二次方程根的分布：有五种不同模型，以根的判别式、对称轴、端点值的

正负三方面求参数的范围。

【变式训练】

1.(2022•山西太原五中高一阶段练习)不等式(x+〃)[(a-l)x+(l-〃)]>。的解集为

(—,-1)口(3,心)，则不等式/+法一2〃<0的解集为()

A.(-2,5)B.b;,gC.(-2,1)D.

【答案】A

【分析】根据不等式的解集可得对应方程的解，结合根与系数关系可得a与b的值,

进而解不等式.

【详解】由不等式(x+£)[(a-g+(1-明>0的解集为(―)53，”)，

可知方程(x+b)[(a-l)x+(l-b)]=0有2个不同的实根,X=T,巧=3,

-b=-I-b=3

。=5

即人一或力-1了解得•

-------=3-------="1b=-3"

a-\a-\

所以x?•^-bx-2a=xi-3x-10=(x-5)(x+2)<0,

解得-2<x<5,

故选：A.

2.(2022・北京•和平街第一中学高一阶段练习)若集合4=卜|/_5%+6<0},

22

B={x\x-4ax+3a<0},且4=8,则实数。的取值范围是()

A.\<a<2B.]<a<2C.1<a<3D.1<«<3

【答案】B

【分析】首先解一元二次不等式求出集合月，再分。<0、。=0、〃>0三种情况分别

求出集合6,根据得到不等式组，即可求出参数。的取值范围.

【详解】解：由/-5%+6<0,即(义-2)(人-3)<0,解得2Vx<3,

所以A=W5x+6v0}={x|2vxv3},

又8={%|炉—4ax+3a2vO}={x|(x-3a)(x-a)v0},

因为

当。<0时A=k|(x-3a)(x-a)vO}={x|3avx<a},显然不满足题意,

当。=0时B=(x-3a)(x-a)<0}=0,也不符合题意，

当4>0时B={x|(x-3a)(x-4)<0}={x[〃<xv3a},

所以3“a二>3;，解得14。42；

a<2

故选：B

3.(2023・全国•高三专题练习)关于工的方程f+(*2)戈+2/〃-1=0恰有一根在区间

(0」)内，则实数m的取值范围是()

A•层]B.(圜C.加D.(圜邛-26}

【答案】D

【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1),分为三

种情况，即可得解.

(详解】方程/+(〃?-2次+2吁1=0对应的二次函数设为：/(x)=%2+(/??-2)x+2/H-1

因为方程/+(m-2)工+2〃[-1=()恰有一根属于(0,1),则需要满足：

@/(0)/(l)<0,(2/n-l)(3/«-2)<0,解得：

②函数“X)刚好经过点(0,0)或者(1,0),另一个零点属于(。，1),

把点(。，。)代入/(x)=-d+(〃?—2)x+2〃Ll,解得：

此时方程为'2-六=0,两根为。，，而三(0,1),不合题意，舍去

把点(1，。)代入/(司=公+(%2)工+2加-1,解得：/〃=§,

此时方程为3/_标+1=0,两根为1,1而!c(O，l),故符合题意；

■JJ

③函数与x轴只有一个交点，△=(，”2)2-8m+4=0,解得m=6±2币,

经检验，当〃?=6-2万时满足方程恰有一根在区间(0,1)内;

综上：实数机的取值范围为={6-2万}

故选：D

2

4.(2022・广东•高一期中)已知函数/(x)=f-x+4a,g(x)=(a-2a)x+4a-4f若对

于任意“«1，田)，均有/(同〉屋力恒成立，则实数4的取值范围是()

A.(—,3)B.(-3,1)C.(-1,3)D.(-3,+oo)

【答案】C

【分析】问题等价于/(x)-g(x)>。在。，笆)上恒成立，即(a-l)2<x+3恒成立，利用

X

基本不等式可求取范围.

【详解】设尸(X)=/(X)-g(x)=大2-(4-1)2X+4,/(X)>g(%)恒成立，即/(X)>。恒成立,

时,"(x)>0恒成立，即vx+士恒成立,

X

Q1时，x+^>2^xx1=4,当且仅当x=2时等号成立，・・・"：的最小值为4.

・・・(〃-1)2<4,解得-l<a<3,实数。的取值范围是(-1,3).

故选：C.

题型三其他不等式

【典例分析】

典例3-1.(2022•江西省丰城中学高一期中)若“言<0”是“卜-。|<2"的充分而不必

要条件，则实数。的取道范围是()

A.1<a<3B.\<a<3C.-\<a<3D.-\<a<3

【答案】B

【分析】先将两个不等式分别化简，然后根据题意列出不等式，求解即可.

【详解】因为土』<0,则(x-l)(x-3)<0nl<xv3

因为上一4<2,则一2vx-av2=>a-2vxva+2

即1