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文档简介
云南省昆明市官渡区艺卓中学2025届高考冲刺数学模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是().A. B. C. D.2.已知函数,若函数的极大值点从小到大依次记为,并记相应的极大值为,则的值为()A. B. C. D.3.已知函数,若,则下列不等关系正确的是()A. B.C. D.4.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为()A.-4 B.-2 C.0 D.45.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()A. B. C. D.6.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取得最大值时,点恰好在以为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.7.已知等差数列满足,公差,且成等比数列,则A.1 B.2 C.3 D.48.设,则复数的模等于()A. B. C. D.9.是虚数单位,复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.若实数满足不等式组则的最小值等于()A. B. C. D.11.已知函数,其中,若恒成立,则函数的单调递增区间为()A. B.C. D.12.已知斜率为的直线与双曲线交于两点,若为线段中点且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是:在石头、剪子和布中,二人各随机选出一种,若相同则平局;若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏,则甲不输的概率是______.14.假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾玖(219)元的货款,则有________种不同的支付方式.15.某班星期一共八节课(上午、下午各四节,其中下午最后两节为社团活动),排课要求为:语文、数学、外语、物理、化学各排一节,从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则不同的排法有__________种.16.已知,,其中,为正的常数,且,则的值为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,(1)若,求的单调区间和极值;(2)设,且有两个极值点,,若,求的最小值.18.(12分)如图1,在等腰梯形中,两腰,底边,,,是的三等分点,是的中点.分别沿,将四边形和折起,使,重合于点,得到如图2所示的几何体.在图2中,,分别为,的中点.(1)证明:平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)记无穷数列的前项中最大值为,最小值为,令,则称是“极差数列”.(1)若,求的前项和;(2)证明:的“极差数列”仍是;(3)求证:若数列是等差数列,则数列也是等差数列.20.(12分)已知都是大于零的实数.(1)证明;(2)若,证明.21.(12分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)证明:.22.(10分)在直角坐标系中,曲线的标准方程为.以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程;(2)若点在曲线上,点在直线上,求的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】过圆外一点,引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为,故选.2、C【解析】
对此分段函数的第一部分进行求导分析可知,当时有极大值,而后一部分是前一部分的定义域的循环,而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍,故此得到极大值点的通项公式,且相应极大值,分组求和即得【详解】当时,,显然当时有,,∴经单调性分析知为的第一个极值点又∵时,∴,,,…,均为其极值点∵函数不能在端点处取得极值∴,,∴对应极值,,∴故选:C【点睛】本题考查基本函数极值的求解,从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列,最后分组求和,要求学生对数列和函数的熟悉程度高,为中档题3、B【解析】
利用函数的单调性得到的大小关系,再利用不等式的性质,即可得答案.【详解】∵在R上单调递增,且,∴.∵的符号无法判断,故与,与的大小不确定,对A,当时,,故A错误;对C,当时,,故C错误;对D,当时,,故D错误;对B,对,则,故B正确.故选:B.【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,属于基础题.4、B【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,,即,表示直线与轴截距的相反数,根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值为.故选:.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.5、C【解析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径,再分别求出三角形和内切圆的面积,根据几何概型的概率计算公式,即可求解.【详解】由题意,直角三角形的斜边长为,利用等面积法,可得其内切圆的半径为,所以向次三角形内投掷豆子,则落在其内切圆内的概率为.故选:C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题,其中解答中熟练应用直角三角形的性质,求得其内切圆的半径是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.6、B【解析】
设,利用两点间的距离公式求出的表达式,结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标,结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设,因为是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,所以,则,当时,,当时,,当且仅当时取等号,此时,,点在以为焦点的椭圆上,,由椭圆的定义得,所以椭圆的离心率,故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.7、D【解析】
先用公差表示出,结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列,所以,解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题,化归基本量,寻求等量关系是求解的关键.8、C【解析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【详解】因为,所以,由复数模的定义知,.故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.9、D【解析】
求出复数在复平面内对应的点的坐标,即可得出结论.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为,该点位于第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断,属于基础题.10、A【解析】
首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求的最小值.【详解】解:作出实数,满足不等式组表示的平面区域(如图示:阴影部分)由得,由得,平移,易知过点时直线在上截距最小,所以.故选:A.【点睛】本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值先画出可行域,利用几何意义求值,属于中档题.11、A【解析】
,从而可得,,再解不等式即可.【详解】由已知,,所以,,由,解得,.故选:A.【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,涉及到恒成立问题,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题.12、B【解析】
设,代入双曲线方程相减可得到直线的斜率与中点坐标之间的关系,从而得到的等式,求出离心率.【详解】,设,则,两式相减得,∴,.故选:B.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题方法是点差法,即出现双曲线的弦中点坐标时,可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
用树状图法列举出所有情况,得出甲不输的结果数,再计算即得.【详解】由题得,甲、乙两人玩一次该游戏,共有9种情况,其中甲不输有6种可能,故概率为.故答案为:【点睛】本题考查随机事件的概率,是基础题.14、1【解析】
按照个位上的9元的支付情况分类,三个数位上的钱数分步计算,相加即可.【详解】9元的支付有两种情况,或者,①当9元采用方式支付时,200元的支付方式为,或者或者共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有种支付方式;②当9元采用方式支付时:200元的支付方式为,或者或者共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有种支付方式;所以总的支付方式共有种.故答案为:1.【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,属于中档题.做题时注意分类做到不重不漏,分步做到步骤完整.15、1344【解析】
分四种情况讨论即可【详解】解:数学排在第一节时有:数学排在第二节时有:数学排在第三节时有:数学排在第四节时有:所以共有1344种故答案为:1344【点睛】考查排列、组合的应用,注意分类讨论,做到不重不漏;基础题.16、【解析】
把已知等式变形,展开两角和与差的三角函数,结合已知求得值.【详解】解:由,得,,即,,又,,解得:.为正的常数,.故答案为:.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数,考查数学转化思想方法,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)增区间为,减区间为;极小值,无极大值;(2)【解析】
(1)求出f(x)的导数,解不等式,即可得到函数的单调区间,进而得到函数的极值;(2)由题意可得,,求出的表达式,,求出h(t)的最小值即可.【详解】(1)将代入中,得到,求导,得到,结合,当得到:增区间为,当,得减区间为且在时有极小值,无极大值.(2)将解析式代入,得,求导得到,令,得到,,,,,,,,因为,所以设,令,则所以在单调递减,又因为所以,所以或又因为,所以所以,所以的最小值为.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用以及函数的极值的意义,考查转化思想与减元意识,是一道综合题.18、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)先证,再证,由可得平面,从而推出平面;(2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量与,坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.【详解】(1)证明:连接,,由图1知,四边形为菱形,且,所以是正三角形,从而.同理可证,,所以平面.又,所以平面,因为平面,所以平面平面.易知,且为的中点,所以,所以平面.(2)解:由(1)可知,,且四边形为正方形.设的中点为,以为原点,以,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,,.设平面的法向量为,由得取.设直线与平面所成的角为,所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明,直线与平面所成的角,要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力,属于基础题.19、(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】
(1)由是递增数列,得,由此能求出的前项和.(2)推导出,,由此能证明的“极差数列”仍是.(3)证当数列是等差数列时,设其公差为,,是一个单调递增数列,从而,,由,,,分类讨论,能证明若数列是等差数列,则数列也是等差数列.【详解】(1)解:∵无穷数列的前项中最大值为,最小值为,,,是递增数列,∴,∴的前项和.(2)证明:∵,,∴,∴,∵,∴,∴的“极差数列”仍是(3)证明:当数列是等差数列时,设其公差为,,根据,的定义,得:,,且两个不等式中至少有一个取等号,当时,必有,∴,∴是一个单调递增数列,∴,,∴,∴,∴是等差数列,当时,则必有,∴,∴是一个单调递减数列,∴,,∴,∴.∴是等差数列,当时,,∵,中必有一个为0,根据上式,一个为0,为一个必为0,∴,,∴数列是常数数列,则数列是等差数列.综上,若数列是等差数列,则数列也是等差数列.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用,考查等差数列的证明,考查数列的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.20、(1)答案见解析.(2)答案见解析【解析】
(1)利用基本不等式可得,两式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【详解】(1)两式相加得(2)由(1)知于是,.【点睛】本题考查了基本不等式的应用,属于
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