2024-2025学年高中数学第1章常用逻辑用语1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.2命题的四种形式学案新人教B版选修2-1

PAGEPAGE11．3.2命题的四种形式1.了解命题的逆命题、否命题、逆否命题．2.理解“否命题”与“命题的否定”的差异．3.驾驭四种命题的相互关系．1．命题的四种形式的概念把命题“假如p，则q”看作原命题，则它的①逆命题是“假如q，则p”；②否命题是“假如﹁p，则﹁q”；③逆否命题是“假如﹁q，则﹁p”．2．命题的四种形式间的关系(1)互为逆否的两个命题是等效的(同真同假)．因此，证明原命题也可以改证它的逆否命题．(2)互逆或互否的两个命题是不等效的．1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．()(2)两个互逆命题的真假性相同．()(3)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．()答案：(1)√(2)×(3)√2．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为()A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1答案：C3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案：B4．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B．由题意可推断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为2.5．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是_______________，逆否命题是______________．答案：若a＞0，则a＞1若a≤0，则a≤1命题的四种形式分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断它们的真假：(1)△ABC中，若A＋B<90°，则sinA<cosB；(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．【解】(1)逆命题：△ABC中，若sinA<cosB，则A＋B<90°，假命题；否命题：△ABC中，若A＋B≥90°，则sinA≥cosB，假命题；逆否命题：△ABC中，若sinA≥cosB，则A＋B≥90°，真命题．(2)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题；逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．eq\a\vs4\al()命题的四种形式之间的转换(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再依据四种命题的结构写出所求命题．详细写法为：首先：把原命题整理成“假如p，则q”的形式；其次：①“换位”得到“假如q，则p”，即为逆命题；②“换质”(分别否定)得到“假如非p，则非q”即为否命题；③既“换位”又“换质”得到“假如非q，则非p”即为逆否命题．(2)在写命题时，为了使句子更加通顺，可以适当的添加一些词语，但不能变更条件和结论.将以下命题改为“若p，则q”的形式，再分别写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)两个全等三角形的面积相等．解：(1)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0.逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0.逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.(2)原命题：若两个三角形全等，则它们的面积相等．逆命题：若两个三角形的面积相等，则它们全等．否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相等．逆否命题：若两个三角形的面积不相等，则它们不全等．否命题与命题的否定写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并推断真假．(1)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；(2)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.【解】(1)否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数．假命题．命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数．真命题．(2)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．真命题．命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为零．假命题．eq\a\vs4\al()否命题与命题的否定之间的区分(1)否命题是指对原命题的条件与结论“换质”(分别否定)．命题“若p，则q”的否命题为“若﹁p，则﹁q”；而命题的否定只是否定结论，命题“若p，则q”的否定形式为“若p，则﹁q”．(2)命题与命题的否定形式是一真一假，不能相同；而命题与否命题之间没有真假关联．写出下列命题的否定及否命题，并推断其真假．(1)若x>1，则x2>x；(2)若x2－x－6＝0，则x＝3或x＝－2.解：(1)命题的否定：若x>1，则x2≤x，假命题；否命题：若x≤1，则x2≤x，假命题．(2)命题的否定：若x2－x－6＝0，则x≠3且x≠－2，假命题；否命题：若x2－x－6≠0，则x≠3且x≠－2，真命题．等价命题的应用推断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的真假．【解】原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．推断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7＞0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真，从而原命题为真．eq\a\vs4\al()等价命题的应用原则(1)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也互为逆否命题，解题时不要忽视．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．所以原命题为真命题．1．在写命题的四种形式时，肯定要先找出原命题的条件和结论，把结论作为条件，条件作为结论得到的命题为原命题的逆命题．把否定条件作为条件，否定结论作为结论得到的命题为原命题的否命题．否命题的逆命题为原命题的逆否命题．2．“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题的否定是对命题的全盘否定，对“若p，则q”形式的命题而言，其否定只否定结论，不否定条件，即“若p，则q”的否定形式为“若p，则非q”；而“否命题”是同时否定命题的条件与结论，即其“否命题”是“若非p，则非q”．1.对存在大前提的命题，要留意在写其他三种命题时不要变更大前提，另外，在一个命题及其三种命题形式中原命题是人为指定的，需留意它们之间的关系．2．写命题的否定时，假如命题含有量词应把量词一起否定．3．一般来说，命题“假如p，则q”的四种形式之间有如下关系：(1)互为逆否的两个命题等价(同真或同假)．因此，要证明原命题也可以只证明它的逆否命题．(2)互逆或互否的两个命题不等价.1．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2<y2C．若x2≤y2，则x≤yD．若x<y，则x2<y2解析：选C．由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若x＝1，则x2－3x＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是()A．0 B．2C．3 D．4解析：选B．x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，所以原命题、逆否命题为真命题．3．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中为真命题的是()A．①②③ B．②③④C．①③④ D．①④解析：选D．①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”，为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”．因为当m＝0时，解集不是R，所以应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ<0，))即m>1.所以③是假命题；④原命题为真，逆否命题也为真．4．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题是________．解析：“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”．答案：若a≤b，则2a≤2b－1[A基础达标]1．“若α＞β，则2α＞2β”的否命题是()A．若α＞β，则2α≤2βB．若α≤β，则2α≤2βC．若2α≤2β，则α≤βD．若2α＞2β，则α＞β解析：选B．因为原命题的条件为“α＞β”，结论为“2α＞2β”，则它的否命题应为“若α≤β，则2α≤2β”．2．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列说法正确的是()A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆否命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确解析：选B．否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”，所以A错误；B正确；C不正确，故选B．3．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为()A．①② B．②③C．①③ D．③④解析：选C．①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q≤1时，Δ＝4－4q≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C．4．命题“已知a，b为实数，若eq\r(a)>eq\r(b)，则a>b”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．4解析：选C．互为逆否的命题同真同假，原命题是真命题，故其逆否命题也为真，逆命题为“已知a，b为实数，若a>b，则eq\r(a)>eq\r(b)”，这个命题是假命题，故否命题也为假，从而有2个是真命题．5．若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是()A．互逆命题 B．互否命题C．互为逆否命题 D．以上都不正确解析：选A．交换否命题的条件与结论就是逆否命题，符合互逆命题的定义．6．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________.解析：依据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤07．在命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题，它的逆命题与否命题均为假命题．答案：28．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．其中真命题的序号是________．解析：①中，当k＞0时，Δ＝22＋4k＝4＋4k＞0，故方程有实根，为真命题；②中，其逆否命题为“若x＝2且y＝6，则x＋y＝8”为真，故原命题亦真；③中，其逆命题为“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形”为假命题；④中，否命题为“若xy≠0，则x，y全不为零”为真命题，故为真命题的序号是①②④.答案：①②④9．已知命题“若x＋y＝5，则x＝3且y＝2”，写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并推断其真假．解：逆命题：“若x＝3且y＝2，则x＋y＝5”，真命题．否命题：“若x＋y≠5，则x≠3或y≠2”，真命题．逆否命题：“若x≠3或y≠2，则x＋y≠5”，假命题．10．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)推断命题p的否命题的真假．解：(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．推断如下：因为ac＜0，所以－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根⇒ax2＋bx＋c＞0有解，所以该命题是真命题．[B实力提升]11．原命题为“若eq\f(an＋an＋1,2)＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的推断依次如下，正确的是()A．真，真，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析：选A．eq\f(an＋an＋1,2)＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其逆否命题和否命题也都是真命题，故选A．12．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．解析：由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立