2024-2025学年高中数学第1章常用逻辑用语章末复习提升课学案新人教B版选修2-1

PAGEPAGE1章末复习提升课1．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题全称量词用符号“∀”表示．全称命题用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与存在性命题存在量词用符号“∃”表示．存在性命题用符号简记为：∃x∈M，p(x)．2．简洁的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，﹁p.(2)命题p∧q，p∨q，﹁p的真假推断．p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与﹁p必定是一真一假．3．充分条件与必要条件(1)假如p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；②充分不必要条件：p⇒q，qeq\o(⇒,\s\up0(/))p；③必要不充分条件：q⇒p，peq\o(⇒,\s\up0(/))q；④既不充分也不必要条件：peq\o(⇒,\s\up0(/))q且qeq\o(⇒,\s\up0(/))p.4．四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．5．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，﹁p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，﹁p(x)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若﹁p，则﹁q”；命题的否定为“若p，则﹁q”．2．四种命题的三种关系：互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．推断p与q之间的关系时，要留意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件．4．留意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．全称命题与存在性命题全称命题与存在性命题是新课标新增内容，从形式上看，主要以选择题和填空题的形式出现．学问方法：全称命题“∀x∈M，p(x)”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要推断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成马上可．存在性命题“∃x∈M，p(x)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成马上可．(2)要推断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数【解析】对于选项A，∃m∈R，即当m＝0时，f(x)＝x2＋mx＝x2是偶函数．故A正确．【答案】A逻辑联结词高考中常以选择题和填空题的形式对含有逻辑联结词的命题的构成及其真假推断进行考查，正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”是解决问题的关键．学问方法：推断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应依据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的推断．对于函数：①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使p∧q为真命题的全部函数的序号是________．【解析】若f(x)＝|x＋2|，则f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，不满意命题p；若f(x)＝(x－2)2，则f(x＋2)＝x2为偶函数，此时f(x)在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增；若f(x)＝cos(x－2)，则f(x＋2)＝cosx为偶函数，但此时f(x)不满意命题q，故填②.【答案】②充要条件的判定充要条件的判定以选择题和填空题为主，所考查内容涉及各个章节，具有肯定的综合性，个别题目具有肯定的难度．学问方法：充分条件与必要条件的推断(1)干脆利用定义推断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系推断：“p⇒q”的等价命题是“﹁q⇒﹁p”，即“若﹁q⇒﹁p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．【解】p：x2－8x－20>0⇔x<－2或x>10，令A＝{x|x<－2或x>10}，因为a>0，所以q：x<1－a或a>1＋a，令B＝{x|x<1－a或x>1＋a}，由题意p⇒q且p⇐/q，知A⊆B，应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,1＋a<10，,1－a≥－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,1＋a≤10，,1－a>－2，))解得0<a≤3，所以a的取值范围为(0，3]．四种命题及其关系四种命题及其关系是高考命题的内容之一，主要以选择题和填空题的形式出现，一般不单独命题，往往和其他学问结合起来进行考查．学问方法：原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一样的：同真同假．推断下列命题的真假：(1)“若x∈A∩B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若0<x<5，则|x－2|<3”的否命题与逆否命题；(3)a，b为非零向量，“假如a⊥b，则a·b＝0”的逆命题和否命题．【解】(1)“若x∈A∩B，则x∈B”，是真命题，故其逆否命题为真命题，逆命题“若x∈B，则x∈A∩B”，为假命题．(2)因为0<x<5，所以－2<x－2<3，所以0≤|x－2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.否命题为假．例如当x＝－eq\f(1,2)时，|－eq\f(1,2)－2|＝eq\f(5,2)<3.(3)逆命题：a·b＝0⇒a⊥b，为真命题．故它的否命题：a，b不垂直⇒a·b≠0也为真．1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．当α∥β时，因为b⊥β，所以b⊥α，因为a⊂α，所以b⊥a；当a⊥b，a⊂α，b⊥β时，α，β可能平行，也可能相交，故“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，选A．2．已知p：函数f(x)＝(x－a)2在(－∞，1)上是减函数．q：∀x＞0，a≤eq\f(x2＋1,x)恒成立，则p是﹁q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B．p：函数f(x)＝(x－a)2在(－∞，1)上是减函数，由二次函数的性质可知a≥1，q：∀x＞0，a≤eq\f(x2＋1,x)恒成立，则eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)≥2≥a，则﹁q：a＞2，故p是﹁q的必要不充分条件．3．已知命题p：“φ＝eq\f(π,2)”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件；命题q：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx＝eq\f(1,2)的否定为∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≠eq\f(1,2).则下列命题为真命题的是()A．p∧(﹁q) B．(﹁p)∧qC．(﹁p)∨(﹁q) D．p∨q解析：选D．若y＝sin(x＋φ)为偶函数，则有φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以“φ＝eq\f(π,2)”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，所以命题p为真命题；依据全称命题的否定的概念，可知﹁q为∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≠eq\f(1,2)，所以命题q为真命题，故选D．4．命题“对随意实数x∈[1，2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥3 D．a≤3解析：选C．因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，x2－a≤0恒成立，即x2≤a，因此a≥4.由“对随意实数x∈[1，2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”可推出a≥3，但由a≥3推不出“对随意实数x∈[1，2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立．故选C．5．已知命题p：∀x∈R，2x＞0，则﹁p为________．解析：依据全称命题的否定的概念可知﹁p为“∃x∈R，2x≤0”．答案：∃x∈R，2x≤06．若“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，m≤tanx＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．解析：依据正切函数的性质可知，y＝tanx＋1在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最小值为y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋1＝0.所以m≤0.答案：07．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥