高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦正切第2课时两角和与差的正切素养练含解析新人教B版必修第三册

PAGEPAGE18.2.2两角和与差的正弦、正切第2课时两角和与差的正切课后篇巩固提升基础巩固1.化简1+tan15°1-tan15A.3 B.32 C.3 D.解析1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15答案A2.已知tanα=12,tanβ=13,且角α,β为锐角,则α+β的值是(A.3π4 BC.π4 D.答案C3.在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两根,则tanC等于()A.2 B.-2 C.4 D.-4答案A4.已知tanα+β+π6=12,tanβ-πA.22 B.57 C.15解析tanα+π3=tanα答案D5.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是三角形.

解析由根与系数的关系,得tan则tan(A+B)=tanA∵在△ABC中,tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-52<∴C是钝角,∴△ABC是钝角三角形.答案钝角6.已知A,B都是锐角,且(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B=.

解析(1+tanA)(1+tanB)=1+tanAtanB+tanA+tanB=2,∴tanAtanB=1-(tanA+tanB).∴tan(A+B)=tanA+tanB∵A,B都是锐角,∴0<A+B<π,∴A+B=π4答案π7.已知tanπ4+α=12解∵tanα+π4=∴tanα=-138.在非直角三角形中,求证:tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.证明∵A+B+C=π,∴A+B=π-C.∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,即tanA+tanB1-∴tanA+tanB=-tanC+tanA·tanB·tanC,∴tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.实力提升1.已知α∈π2,π,tanα+π4=17,那么A.-15 B.75 C.-75答案B2.(多选)在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,若点A,B的坐标分别为12,32和-45,35,则tan(αA.48-253C.3+4310 D解析由题意可得sinα=32,cosα=12,sinβ=35,cosβ则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=3-tanα=3,tanβ=-34所以tan(α+β)=tanα+tanβ1答案AD3.在△ABC中,tanA=12,cosB=31010,则tanC=A.-1 B.1 C.3 D.-2解析因为cosB=31010,且0<B<所以sinB=1-cos2B=10所以tanC=-tanA+B=-12+131-答案A4.下列结果为3的是()①tan25°+tan35°+3tan25°·tan35°;②(1+tan20°)(1+tan40°);③1+tan15°④tanπA.①② B.①③C.①②③ D.①②③④解析①∵tan25°+tan35°=tan(25°+35°)(1-tan25°·tan35°)=3-3tan25°tan35∴原式=3-3tan25°tan35°+3tan25°tan35°=②(1+tan20°)(1+tan40°)=1+tan20°+tan40°+tan20°·tan40°=1+3(1-tan20°tan40°)+tan20°·tan40°=1+3-(3-1)tan20°tan40°≠3.③原式=tan45°+tan15°1-tan45°tan15④原式=33答案B5.已知sinα=12,α是其次象限角,tan(α+β)=-3,则tanβ的值为(A.-3 B.3 C.-33 D.解析∵sinα=12,α是其次象限角,∴tanα=-3∴tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+答案C6.在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,则tanA·tanB的值为(A.14 B.13 C.12解析∵C=120°,∴A+B=60°.∴tan(A+B)=tanA∵tanA+tanB=233,∴1-tanAtanB=∴tanAtanB=13答案B7.(双空)已知tan(α+β)=23,tanβ-π4=-2,则tanα+π4=,tan(α+解析tanα+π4=tan(α+tanβ-π4=tanβ-tan(α+2β)=tan(答案-838.在△ABC中,高AD把BC分为长2cm和3cm的两段,∠A=45°,则S△ABC=.

解析设AD=xcm,由已知得tan∠BAD=BDAD=2x,tan∠CAD=DCAD=3x,则tan45°=tan∠BAD化简得x2-5x-6=0,解得x=6,x=-1(舍去).所以S△ABC=12×AD×BC=12×6×5=15(cm2答案15cm29.已知3tanαtan(α+β)=4[tan(α+β)-tanα-tanβ],且cos(π+β)>0,则sin(β-3π)=.

答案310.已知α,β为锐角,cosα=35,cos(α+β)=-5(1)求sinβ的值;(2)求tan(α-β)的值.解(1)∵0<α<π2,0<β<π2,∴0<α+β<又cosα=35,cos(α+β)=-5∴sinα=45,sin(α+β)=2∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=25(2)∵0<α<π2,0<β<π2,cosα=35,sinβ∴tanα=43,tanβ=∴tan(α-β)=tanα-tan11.是否存在锐角α和β,使得①α+2β=2π3和②tanα2tanβ=2-3同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在解由①得α2+β=π3,则tanα2+即tanα把条件②代入上式,得tanα2+tanβ=3×(1-2+3)=3-3.③由②