2024-2025学年高中数学第三章不等式3.4.1二元一次不等式组与平面区域学案含解析北师大版必修5

PAGE§4简洁线性规划4．1二元一次不等式(组)与平面区域学问点平面区域[填一填]一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满意ax＋by＋c＝0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满意ax＋by＋c>0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满意ax＋by＋c<0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可推断不等式表示的平面区域．[答一答]推断一个二元一次不等式表示的平面区域在对应直线的哪一侧的方法是什么？提示：通常用特殊点法．作出直线Ax＋By＋C＝0，在直线的一侧任取一点P(x0，y0)．若Ax0＋By0＋C>0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面区域．1．画二元一次不等式表示的平面区域的方法画二元一次不等式表示的平面区域时常采纳“直线定界，特殊点定域”的方法：直线定界：若不等式不含等号，把边界直线画成虚线；若不等式含有等号，把边界直线画成实线．特殊点定域：在直线ax＋by＋c＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满意不等式，则不等式表示的区域就是包括这个点的一侧，否则就表示直线的另一侧，特殊地，当c≠0时，常把原点作为测试点；当c＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．2．画不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域的方法只有二元一次不等式对应的区域才是平面区域，上式是含有肯定值的不等式，利用肯定值的定义进行分类探讨，得到二元一次不等式组，从而画出其平面区域．去掉肯定值符号时，应分x≥0和x<0及y≥0和y<0探讨，通过探讨，原不等式等价于以下四个不等式组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y<0，,x－y≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,y≥0，,－x＋y≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,y<0，,－x－y≤1.))其平面区域如下图阴影部分．类型一二元一次不等式表示的平面区域【例1】画出下列不等式表示的平面区域．(1)2x＋y－10<0；(2)y≤－2x＋3.【思路探究】对于(1)，先画出直线2x＋y－10＝0(用虚线表示)，再取坐标原点(0,0)代入检验，从而推断出2x＋y－10<0表示的平面区域．对于(2)，先把y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0的形式，再画出直线2x＋y－3＝0(用实线表示)，取原点(0,0)代入检验，从而推断出2x＋y－3≤0表示的平面区域．【解】(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)，取点(0,0)，代入2x＋y－10，得2×0＋0－10＝－10<0，∴2x＋y－10<0表示的平面区域是直线2x＋y－10＝0的左下方的平面区域，如图(1)阴影部分所示．(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0.先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．取点(0,0)，代入2x＋y－3，得2×0＋0－3＝－3<0，∴2x＋y－3≤0表示的平面区域是直线2x＋y－3＝0以及其左下方的平面区域，如图(2)阴影部分所示．规律方法画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤为：①“直线定界”，即画出边界Ax＋By＋C＝0，要留意是虚线还是实线；②“特殊点定域”，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号确定出所求不等式表示的平面区域．当C≠0时，通常取原点(0,0)作为测试点．画出下列不等式所表示的平面区域：(1)4x－3y≤12；(2)x≥1；(3)x－2y<0；(4)－2x＋y－3>0.解：上述不等式对应的平面区域如图阴影部分所示．类型二二元一次不等式组表示的平面区域【例2】画出不等式(组)表示的平面区域：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y＋1≥0，(2)(x＋2y＋1)(x－y＋4)<0.,x≤3；))【解】(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．(2)原不等式等价于两个不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1>0，,x－y＋4<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1<0，,x－y＋4>0.))在直角坐标系中画出直线x＋2y＋1＝0与x－y＋4＝0(画成虚线)．取原点(0,0)可以推断：不等式x＋2y＋1>0表示直线x＋2y＋1＝0的右上方的点的集合，x＋2y＋1<0表示直线x＋2y＋1＝0的左下方区域，x－y＋4<0表示直线x－y＋4＝0左上方区域，x－y＋4>0表示直线x－y＋4＝0右下方区域．所以不等式组表示的平面区域如上图阴影部分所示．规律方法要找不等式组所表示的平面区域关键是精确地画出各不等式所表示的区域，再取它们的公共部分，最终要检查是否包含边界，n个二元一次式的乘积式要等价转化为n个二元一次不等式构成的不等式组．画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋6≥0,x＋y＋1≥0,4x＋y－4<0))表示的平面区域．解：在平面直角坐标系中，画出直线3x－2y＋6＝0(实线)，x＋y＋1＝0(实线)，4x＋y－4＝0(虚线)，它们把坐标平面分为7个区域，取原点(0,0)，分别代入3x－2y＋6，x＋y＋1,4x＋y－4.依次可得3×0－2×0＋6>0,0＋0＋1>0,4×0＋0－4<0.所以原点在三个不等式3x－2y＋6≥0，x＋y＋1≥0,4x＋y－4<0所表示的平面区域内，故原不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示．【例3】用不等式表示如图所示的阴影区域．【思路探究】首先是应确定边界直线的方程，再依据区域位置，用不等式(组)表示．【解】(1)由图(1)的各顶点坐标可知，矩形各边所在的直线方程为直线AB：y＝3，直线BC：x＝3，直线CD：y＝－2，直线AD：x＝－1，所以矩形表示的平面区域(包括边界)的不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤3，,y≤3，,y≥－2，,x≥－1.))(2)由图(2)可知，直线AB的方程为3x－2y＋3＝0，表示它的右下方区域(包括边界)的不等式为3x－2y＋3≥0；直线AC的方程为3x＋2y－9＝0，表示它的左下方区域(包括边界)的不等式为3x＋2y－9≤0；直线BC的方程为y＝0，表示它上方的区域(包括边界)的不等式为y≥0.所以表示图示阴影部分区域(包括边界)的不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋3≥0，,3x＋2y－9≤0，,y≥0.))规律方法解决类似本题问题，要先对平面区域作出推断，保证每一个不等式的正确性，留意平面区域是否包括边界．如图，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是(A)A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0，,x－2y＋2≤0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－2y＋2≤0))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0，,x－2y＋2≥0))解析：在区域内任取一点代入检验即可．类型三求平面区域的面积【例4】若变量x，y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,2x－y≥0，,x≤1，))则点P(2x－y，x＋y)所在区域的面积为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3)C.eq\f(1,2) D．1【思路探究】题中求点P所在区域的面积，首先要找到点P的横、纵坐标满意的不等式组，然后才能作图求解．【解析】设P(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝a，,x＋y＝b，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a＋b,3)，,y＝\f(2b－a,3).))代入x，y满意的不等式组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋1≤0，,a≥0，,a＋b－3≤0，))该不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知A(1,2)，则点P所在区域的面积S＝eq\f(1,2)×2×1＝1.【答案】D规律方法此题所求的是点P所在区域的面积，但(x，y)并不是点P的坐标，在解题时应弄清晰要求的区域，得到该区域满意的不等式组才能正确求解．在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y≥0，,3x－y－3≤0，,y≥0))表示的平面区域的面积是(B)A．1B.eq\f(3,2)C．2D.eq\f(5,2)解析：作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分(△AOB及其内部)所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0，,y＝0))得A(1,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0，,3x－2y＝0))得B(2,3)，则S△AOB＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2).类型四求范围问题【例5】设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－11≥0，,3x－y＋3≥0，,5x－3y＋9≤0))表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A．(1,3]B．[2,3]C．(1,2]D．[3，＋∞)【思路探究】eq\x(\a\al(画出平,面区域))→eq\x(\a\al(分a>1与0<a<1视察,函数图像与区域的关系))→eq\x(\a\al(依据a的改变对图像,的影响，确定范围))【解析】区域D如下图中阴影部分所示，由图可知，要使函数y＝ax的图像过区域D，需有a>1.由函数y＝ax的图像特征知，当图像经过区域的边界点A(2,9)时，a可以取到最大值，此时a2＝9，即a＝3，所以a的取值范围是(1,3]．【答案】A规律方法与二元一次不等式组有关的变量范围问题的求解，一般状况下，第一步要正确作出不等式组表示的平面区域，由于变量的存在，此区域为可调整的区域；其次步要结合题意调整区域使之符合题意要求；第三步数形结合构建变量的方程或不等关系求解．若直线y＝ax上存在点(x，y)满意条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥1，))则实数a的取值范围为[－1,2]．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分(△ABC及其内部)所示．因为y＝ax过坐标原点，其中a表示直线的斜率，所以直线过平面区域内点A时斜率a取得最大值，过平面区域内点B时斜率a取得最小值，又A(1,2)，B(1，－1)，所以a的最大值为2，最小值为－1，所以实数a的取值范围为[－1,2]．类型五二元一次不等式(组)表示实际问题【例6】要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今须要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块，用数学关系式和图形表示上述要求．【思路探究】先由题意抽象出不等式并组成不等式组，再画出二元一次不等式组表示的平面区域即可．【解】设需截第一种钢板x张，其次种钢板y张，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥15，,x＋2y≥18，,x＋3y≥27，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))用图形表示以上限制条件，得到如图所示的平面区域(阴影部分中的整数点)．规律方法理清题目中的变量及相应的数据是解决此类问题的关键．一个小型家具厂安排生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序．桌子A须要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B须要5min打磨，12min着色，9min上漆．假如一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请列出满意生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．解：设家具厂每天生产A类桌子x张，B类桌子y张．对于A类桌子，x张桌子须要打磨10xmin，着色6xmin，上漆6xmin；对于B类桌子，y张桌子须要打磨5ymin，着色12ymin，上漆9ymin.而打磨和上漆工人每天最长工作时间分别是450min，着色工人每天最长工作时间480min，所以有10x＋5y≤450.类似地，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋12y≤480，,6x＋9y≤450.))在实际问题中x≥0，y≥0，x，y∈N，所以题目中包含的限制条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋5y≤450，,6x＋12y≤480，,6x＋9y≤450，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))其平面区域如图阴影所示中的整数点．——易错警示系列——平面区域不明致误一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧全部点组成的平面区域(半平面)，且不含边界直线(直线画成虚线)；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线(直线画成实线)．考生应当留意虚线和实线的区分．【例7】在平面直角坐标系xOy中，若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y≤2x，,y≤k(x－1)－1))表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．【错解】(－∞，－1)∪(0，＋∞)【错解分析】题目给出的区域边界两“静”一“动”，可以先画出区域，利用数形结合解决．本题很简洁在分析动直线的位置时出错，这个错误就出现在当直线y＝k(x－1)－1的斜率为正值时，误以为三条直线仍旧能够构成三角形．【正解】(－∞，－1)直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必需在坐标原点上方，即直线的斜率k∈(－∞，－1)时，可构成三角形区域如图(1)阴影部分所示；当这条直线的斜率为正值时，y≤k(x－1)－1所表示的是直线y＝k(x－1)－1及其下方的平面，这个区域和已知区域的交集是一个无界区域如图(2)阴影部分所示，不能构成三角形；当直线的斜率为0时，构不成平面区域．因此k的取值范围是(－∞，－1)．故填(－∞，－1)．已知关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0))所表示的平面区域的面积为4，则k的值为(A)A．1 B．－3C．1或－3 D．