2023-2024学年河北省沧衡名校联盟高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省沧衡名校联盟高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若(1−2i)(z−3−2i)=2+i，则z=(

)A.3−3i B.3+3i C.−3+3i D.−3−3i2.已知集合M={x|lnx>1}，N={x|(x−1)(x−4)>0}，则M∩(∁RN)=A.{x|x>e} B.{x|x≥4} C.{x|1≤x<e} D.{x|e<x≤4}3.已知向量a,b满足2a+b=(2,−3)，A.2 B.1 C.−1 D.−24.已知0<α<β<π，则“tanαtanβ=−1”的充要条件为(

)A.α+β=π2 B.α+β=π C.β−α=π5.已知椭圆C：x236+y220=1的左焦点为F，M，N为C上关于坐标原点O对称的两个点，若A.4 B.5 C.8 D.106.某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为(

)A.18 B.27 C.36 D.457.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥P−ABC−Q中，PA，PB，PC两两互相垂直，则二面角P−AB−Q的余弦值为(

)A.−63

B.−338.直线y=2x与曲线y=ex−xA.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则(

)A.该班数学成绩的极差大于40

B.该班数学成绩不低于115分的频率为0.15

C.该班数学成绩在[95,105)内的学生比在[95,105)外的学生少

D.估计该班数学成绩的20%分位数为97.510.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，其中A(0,1)，A.ω=π2

B.φ=π3

C.f(x)在[263,10]11.已知函数f(x)=(ax+b)ex(a≠0)满足(x+1)f′(x)=(x+2)f(x)(f′(x)为f(x)的导函数)，且f(x)在x=0处的切线倾斜角小于45°，则A.a=b+1 B.0<a<12

C.f(x)有且仅有1个零点 D.f(x)有且仅有12.已知抛物线Γ：y=14x2的焦点为F，准线为l，A是Γ上除坐标原点O以外的动点，过点A且与Γ相切的直线m与y轴交于点B，与x轴交于点C，AD⊥l，垂足为DA.|FA|+|AD|的最小值为2 B.若点B落在l上，则A的横坐标为2

C.四边形AFBD为菱形 D.|OB|，|BC|，|BD|成等比数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知an=2n(n+1)，数列{an}的前n项和为14.若正数a，b满足a2+2b=ab2，则15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.已知P(0,4)，Q为直线y=x−3上的动点，R为圆O：x2+y2=416.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为棱CC1的中点，P，四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知在等差数列{an}中，a3=7，a5+a6=29．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)若18.(本小题12分)

在△ABC中，sinBsinC+sin2C=cos2B−cos2A.

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若AB=2AC=4，点D在边BC19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=2π3，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E为棱CD的中点，点Q在棱PB上．

(Ⅰ)证明：平面QCD⊥平面PAE；

(Ⅱ)若Q为PB的中点，求直线PE与平面QCD所成角的正弦值．20.(本小题12分)

一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有12的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有34的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有14的概率闪红光.已知第1次闪光为红光．

(Ⅰ)求第4次闪光为红光的概率；

(Ⅱ)求第n21.(本小题12分)

已知双曲线E是关于x轴和y轴均对称的等轴双曲线，且经过点(4,23)．

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)若A(m,n)是E上一动点，直线mx−ny=8与E交于B，C两点，证明：△ABC22.(本小题12分)

已知函数f(x)=x−sinπx2．

(Ⅰ)设θ∈(0,π2)且cosθ=2π，求f(x)在区间(−1,1)内的单调递减区间(用θ表示)；

(Ⅱ)若a>0，函数g(x)=f(x)−aln|x|参考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.B

6.C

7.D

8.C

9.BD

10.AB

11.BCD

12.CD

13.211114.2

15.216.617.解：(I)∵等差数列{an}的公差为d，a3=7，a5+a6=29．

∴a1+2d=72a1+9d=29⇒a1=1d=3，

∴18.解：记内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(I)因为sinBsinC+sin2C=cos2B−cos2A，且cos2B=1−sin2B，cos2A=1−sin2A，

所以sinBsinC+sin2C=sin2A−sin2B，

由正弦定理得：bc+c2=a2−b2，

所以由余弦定理可得：cosA=b2+19.解：(I)证明：如图，连接AC，

由已知可得△ACD为正三角形，

又因为E为CD的中点，所以CD⊥AE，

因为PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA，

因为PA∩AE=A，所以CD⊥平面PAE，

因为CD⊂平面QCD，所以平面QCD⊥平面PAE．

(II)由已知得∠BAE=π2，所以AB，AE，AP两两互相垂直，

以A为坐标原点，AB，AE，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设AD=2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,3,0)，A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),E(0,3,0),Q(1,0,1)，

所以EC=12AB=(1,0,0)，QE=(−1,3,−1)，PE=(0,3,−2)．

设平面QCD的法向量为n=(x,y,z)，则n⊥EC，n⊥QE，

则EC⋅n=x=0,QE⋅n=−x+20.解：(Ⅰ)一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同，

若某次闪红光，则下次有12的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有34的概率闪蓝光；

若某次闪蓝光，则下次有14的概率闪红光，

已知第1次闪光为红光，第4次闪光为红光，

由题意，前4次闪光的顺序为“红共蓝红”或“红蓝黄红”，

所以P=12×34×14+12×34×14=316．

(Ⅱ)设事件An表示“第n次闪光为红光”，事件Bn表示“第n次闪光为黄光”，

事件Cn表示“第n次闪光为蓝光”，且P(An)=f(n)，P(An)=f(n)，P(Bn)=g(n)，

则P(Cn)=1−f(n)−g(n)21.解：(I)因为E是关于x轴和y轴均对称的等轴双曲线，

所以设双曲线的方程为x2−y2=λ，

又E经过点(4,23)，

所以λ=42−(23)2=4，

所以E的方程为x2−y2=4，即x24−y24=1．

(II)证明：因为A(m,n)在E上，

所以m2−n2=4，

联立方程得x2−y2=4,mx−ny=8,，得(m2−n2)y2−16ny+4m2−64=0①，

22.解：(I)f(x)=x−sinπx2，定义域为R，且f′(x)=1−π2cosπx2，

令f′(x)=0，得cosπx2=2π，当x∈(−1,1)时，πx2∈(−π2,π2)，∴πx2=±θ，即x=±2θπ，

当−2θπ<x<2θπ时，f′(x)<0，当−1<x<−2θπ或2θπ<x<1时，f′(x)>0，

∴f(x)在区间(−1,1)内的单调递减区间为(−2θπ,2θπ)．

(II)依题意，g(x)=x−sinπx2−aln|x|，定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)．

(i)当x<0时，有g(−1)=0．

当x<−1时，−sinπx2≤1，−aln|x|<0，∴g(x)<0；

当−1<x<0时，由(I)知f(x)在(−1,−2θπ)单调递增，在(−2θπ,0)单调递减，

又f(−1)=f(0)=0，∴f(x)=x−sinπx2>0，又−aln|x|>0，∴g(x)>0．

∴g(x)在(−∞,0)总有唯一的零点−1．

(ii)当x>0时，有g(1)=0，g′(x)