2024-2025学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|−1<x<1}，B={x|−x2+2x≤0}，则A∩B=A.[0,1) B.(−1,1) C.(−1,2] D.(−1,0]2.若复数z=1+2i3−4i(i为虚数单位)，则在复平面内z所对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知函数y=sin(2x+15)的图象为C，为了得到函数y=sinA.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度

C.向右平行移动25个单位长度 D.4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：元)与x成正比；若在距离车站6km处建仓库，则yA.2km B.3km C.4km D.5km5.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2024>0且SA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=ln2−xx+A.f(x+1)+1 B.f(x−1)+1 C.f(x−1)−1 D.f(x+1)−17.若sin(θ2+π4A.−255 B.258.在△ABC中，已知BC=3，AC=1，∠ACB=60°，点D是BC的中点，点E是线段AD上一点，且AE=13AD，连接CE并延长交边AB于点P，则线段CP的长度为A.75 B.375 C.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数中，在区间(π2,3πA.y=sin(2x−π4) B.y=cos10.下列说法中正确的有(

)A.若a>b>0，c<d<0，则ac<bd

B.若a>b>0，c<0，则ca>cb

C.若1<a<3，−1<b<0，则2<a−b<3

D.若a<011.函数f(x)=x3+axA.当a=3，b=1时，有f(−2−x)+f(x)=0恒成立

B.∃a，b∈R，使f(x)在(−∞,1)上单调递减

C.当b=0时，存在唯一的实数a，使f(x)恰有两个零点

D.当b=0，x∈[−2,0]时，x−6≤f(x)≤x恒成立，则a∈[三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(0,2),b=(3,1)，则向量a在向量b13.已知实数a，b，c满足9a=24b=c且1a14.任何有理数mn都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1．4⋅=______(写成mn的形式，m与n为互质的具体正整数)；若1.4，1.44，1.444，⋯⋯构成了数列{an}，设数列bn=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a与b的夹角为135°，且|a|=1,|b|=2，若c=λa+(1−λ)b,λ∈R．

(1)当b⊥c16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2+aln(x+1)，a∈R．

(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求a的取值范围；

(2)求函数17.(本小题15分)

在△ABC中，已知(3tanA−1)(3tanB−1)=4．

(1)若△ABC为锐角三角形，求角C的值，并求sin2A−cos2B的取值范围；

(2)若AB=318.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex．

(1)若∀x∈R，不等式mf(x)−x>0恒成立，求实数m的取值范围；

(2)过点T(t,1)可以作曲线y=f(x)的两条切线，切点分别为A(a,ea)，B(b,eb).

①求实数t的取值范围；

19.(本小题17分)

在下面n行、n列(n∈N∗)的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列{an}；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列{bn}；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为c1第1列第2列第3列…第n列第1行122…2第2行359第3行510……第n行2n−1(1)求数列{cn}通项公式；

(2)对任意的m∈N∗，将数列{an}中落入区间[bm,cm]内项的个数记为dm，

①求d1和d10的值；参考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.A

6.D

7.C

8.B

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.(13.6

14.139

115.解：(1)因为b⊥c，所以b⋅c=0，

即b⋅[λa+(1−λ)b]=0，

所以λa⋅b+(1−λ)b2=0，

因为向量a与b的夹角为135°，且|a|=1,|b|=2，

所以a⋅b=|a|⋅|b|⋅cos135°=1×2×(−22)=−1，

所以−λ+2(1−λ)=0，解得λ=23；

(2)由(1)知a⋅b=−1，且|a|=1,|b16.解：(1)易知f(x)的定义域为(−1,+∞)，

可得f′(x)=2x+ax+1=2x2+2x+ax+1，

令f′(x)=0，可得2x2+2x+a=0，

因为函数f(x)有两个不同的极值点，

所以2x2+2x+a=0有两个大于−1的不等实根，

此时−22×2>−12×12+2×(−1)+a>0Δ=22−4×2a>0，

解得0<a<12，

则a的取值范围为(0,12)；

(2)因为g(x)=f(x)−(a2+2)x=x2+aln(x+1)−(a2+2)x，

可得g′(x)=2x+ax+1−(a2+2)=(4x+4−a)(x−1)2(x+1)，

令g′(x)=0，

解得x=a4−1或x=1，

当a>8时，a4−1>1，

令g′(x)<0，

解得1<x<a4−1，

所以函数g(x)在(1,a4−1)上单调递减；

当a=8时，a4−1=1，

令g′(x)<0，

解得x∈⌀，

所以函数g(x)无单调递减区间；

当0<a<8时，−1<a4−1<1，

令17.解：(1)由题意(3tanA−1)(3tanB−1)=3tanAtanB−3(tanA+tanB)+1=4，

整理得3(tanAtanB−1)=tanA+tanB，

所以tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=−3=tan(π−C)=−tanC，

所以tanC=3，又C∈(0,π)，所以C=π3，

则A+B=2π3，因为△ABC为锐角三角形，

所以A∈(0,π2),B=2π3−A∈(0,π2)，即A∈(π6,π2)，

所以sin2A−cos2B=sin2A−cos2(2π3−A)

=14sin2A+32sinAcosA−14cos2A

=−14cos2A+34sin2A=12sin(2A−π618.解：(1)易知mex−x>0，又因为ex>0，所以m>xex，

令g(x)=xex，

则g′(x)=ex−x⋅ex(ex)2=1−xex，

所以当x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以g(x)max=g(1)=1e<m，

所以m∈(1e,+∞)；

(2)①设切点(x0,ex0)，易知x0≠t，

因为f′(x)=ex，则有ex0−1x0−t=ex0，

即t=1ex0+x0−1，

令ℎ(x)=e−x+x−1，

则y=t，y=ℎ(x)有两个交点，横坐标即分别为a，b，

又因为ℎ′(x)=1−e−x，

所以当x>0时，ℎ′(x)>0，当x<0时，ℎ′(x)<0，

则ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

且x趋于−∞时，ℎ(x)趋于+∞；当x趋于+∞时，ℎ(x)趋于+∞，

所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，

则要满足题意需t>0，

即t∈(0,+∞)；

②证明：由上可知：e−a+a−1=te−b+b−1=t(b<0<a)，

作差可得e−a+a−1−(e19.解：(1)由题意知cn+1=cn+2n,c1=3，∴cn+1−cn=2n，