2024-2025学年北京三中高三（上）期中数学试卷含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京三中高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={x|x>0}，集合A={x|1≤x<2}，则∁UA=(

)A.{x|x≤−1或x≥2} B.{x|0<x<1或x≥2}

C.{x|x<−1或x>2} D.{x|0<x<1或x>2}2.已知向量a=(5,m)，b=(2,−2)，若(a−bA.−1 B.1 C.2 D.−23.已知角α的终边经过点(−1,2)，则tan2α的值为(

)A.45 B.−45 C.−4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是(

)A.y=lnx B.y=|x|+1 C.y=−x2+15.已知a=lg5，b=sinπ7，c=2A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b6.设{an}是等差数列，下列结论中正确的是A.若a1+a2>0，则a2+a3>0 B.若a1+a37.已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是(

)A.若m//β，则m//l B.若m//l，则m//β

C.若m⊥β，则m⊥l D.若m⊥l，则m⊥β8.已知函数f(x)=ax−4,x>5(5−a)x−11,x≤5，数列{an}满足an=f(n),n∈A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分又不必要9.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lgE1E2A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10.如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直．Ω1是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，Ω2是正方形CDEF及其内部的点构成的集合．设AB=1，给出下列三个结论：

①∃M∈Ω1，∃N∈Ω2，使MN=2；

②∃M∈Ω1，∃N∈Ω2，使EM⊥BN；

③∃M∈Ω1，∃N∈Ω2，使A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=1x+12.已知tan(π+α)=−3，且|α|<π2，则13.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<x−ππ5π7πf(x)a1a−a−1则f(x)的最小正周期为

；a=

．14.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若AE⋅AF=1，则λ15.已知f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论：

(1)若k=0，则f(x)有两个零点；

(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；

(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点；

(4)∃k>0，使得f(x)有三个零点．

以上正确结论的序号是______．三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知函数f(x)=2sinx(cos2x2−sin2x2)−3cos2x．

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及17.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．

(Ⅰ)求证：AA1⊥平面ABC；

(18.(本小题13分)

在△ABC中，c=2bcosB，C=2π3．

(1)求∠B；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．

条件①：c=2b；

条件②：△ABC的周长为4+23；

条件③19.(本小题15分)根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位：cm) :立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀260及以上194及以上良好245∼259180∼193及格205∼244150∼179不及格204及以下149及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到1cm):男生180205213220235245250258261270275280女生148160162169172184195196196197208220假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．(Ⅰ)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率;(Ⅱ)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望E(X);(Ⅲ)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B.判断A与B是否相互独立.(结论不要求证明)20.(本小题15分)

已知函数f(x)=x3−ax2+2．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅲ)若a>0，设函数g(x)=|f(x)|，g(x)在[0,1]21.(本小题15分)

已知An：a1，a2，…an，(n≥4)为有穷数列．若对任意的i∈{0,1,…,n−1}，都有|ai+1−ai|≤1(规定a0=an)，则称An具有性质P．

设Tn={(i,j)||ai−aj|≤1，2≤j−i≤n−2(i,j=1,2,…,n−2)}

(Ⅰ)判断数列A4：1，0.1，−1.2，−0.5，A5：1，2，2.5，1.5，2是否具有性质P？若具有性质P，写出对应的集合Tn；

(参考答案1.B

2.B

3.D

4.B

5.B

6.D

7.D

8.B

9.A

10.C

11.(−∞,0)∪(0,1]

12.1213.π1

14.2

15.(1)(2)(4)

16.解：(Ⅰ)f(x)=2sinx(cos2x2−sin2x2)−3cos2x=2sinxcosx−3cos2x=sin2x−3cos2x=2sin(2x−π3)，

故函数的最小正周期为2π2=π；

令π2+2kπ≤2x−π3≤2kπ+3π217.(I)证明：∵AA1C1C是正方形，

∴AA1⊥AC．

又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，

∴AA1⊥平面ABC．

(II)解：由AC=4，BC=5，AB=3．

∴AC2+AB2=BC2，

∴AB⊥AC．

建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,4)，B(0,3,0)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，

∴BC1=(4,−3,4)，BA1=(0,−3,4)，BB1=(0,0,4)．

设平面A1BC1的法向量为n1=(x1,y1,z1)，平面B1BC1的法向量为n2=(x2,y2,z218.解：(1)在△ABC中，由bsinB=csinC及c=2bcosB得sinC=2sinBcosB=sin2B，

所以C=2B或C+2B=π，

又C=2π3，

若C=2B，则B=π3，此时B+C=π，故舍去，

所以B=π6．

(2)选①，由正弦定理结合(1)可知，cb=sinCsinB=3212=3，

即c=3b，与c=2b矛盾，故这样的△ABC不存在；

选②，由B=π6,C=2π3可得A=π−π6−2π3=π6，

可设AC=BC=2x，

易得(4+23)x=4+23，

解得x=1，

则19.解：(Ⅰ)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，

所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为412=13；

估计高三女生立定跳远单项的优秀率为612=12．

(Ⅱ)由题设，X的所有可能取值为0，1，2，3，

P(X=0)=(23)2×12=29，

P(X=1)=C21×13×23×120.解：(Ⅰ)因为f(x)=x3−ax2+2，所以f′(x)=3x2−2ax，

k切=f′(0)=0，又f(0)=2，

故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2；

(Ⅱ)函数的定义域为R，f′(x)=3x2−2ax=x(3x−2a)，

令f′(x)=0，解得x1=0，x2=2a3，

①当a=0时，f′(x)=3x2≥0，f(x)在R上单调递增(或单增区间为(−∞,+∞))；

②当a>0时，由f′(x)>0，可得x>23a或x<0，由f′(x)<0，可得0<x<23a，

此时，f(x)单调递增区间为(−∞,0)，(23a,+∞)；单调递减区间是(0,23a)；

③当a<0时，由f′(x)>0，可得x>0或x<23a，由f′(x)<0，可得23a<x<0，

此时f(x)单调递增区间为(−∞,23a)，(0,+∞)；单调递减区间是(2a3,0)．

综上可得：当a=0时，f′(x)=3x2≥0，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，f(x)单调递增区间为(−∞,0)，(23a,+∞)；单调递减区间是(0,23a)；

当a<0时，f(x)单调递增区间为(−∞,23a)，(0,+∞)；单调递减区间是(2a3,0)．

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：若a>0，f(x)单调递增区间为(−∞,0)，(23a,+∞)；单调递减区间是(0,23a)．

①当2a3≥1时，即a≥32，此时f(x)在[−1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，

因21.解：(Ⅰ)由题知A4：1，0.1，−1.2，−0.5，

∴a1=1，a2=0.1，a3=−1.2，a4=−0.5，

∵|a3−a2|=1.3>1，

∴A4不具有性质P，

∵A5：1，2，2.5，1.5，2，

∴a1=1，a2=2，a3=2.5，a4=1.5，a5=2，

∵|a2−a1|=1≤1，|a3−a2|=0.5≤1，|a4−a3|=1≤1，|a5−a4|=0.5≤1，|a5−a1|=1≤1，

∴A5具有性质P，

∵|a4−