2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（上）期末数学试卷（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（上）期末数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知{an}为等差数列，首项a1=2，公差d=3，若aA.1 B.2 C.3 D.42.已知a=(1,0,1)，b=(x,1,2)，且a⋅b=3，则向量a与A.5π6 B.2π3 C.π33.已知定点A(3,4)，点P为圆x2+y2=4上的动点，点Q为直线x+y−4=0上的动点.当|PQ|取最小值时，设△PAQ的面积为SA.4+22 B.4−224.已知等比数列{an}的公比为−12，前n项和为Sn.若SA.3 B.4 C.5 D.75.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点P在C的一条渐近线x+2y=0上，A.x22−y2=1 B.x6.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1A.32 B.155 C.7.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线lA.12 B.22 C.8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(

)A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.{an}是等差数列，公差为d，前项和为Sn，若S5A.d<0 B.a7=0 C.S910.已知函数f(x)=x3−3xA.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为2x−y+2=0

B.f(x)有两个极值点

C.∀a∈(−2,2)，都能使方程f(x)=a有三个实数根

D.曲线y=f(x)是中心对称图形11.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=π3，AB=2AD=2PD，PD⊥底面ABCD，则A.PA⊥BD

B.PB与平面ABCD所成角为π3

C.异面直线AB与PC所成角的余弦值255

D.平面PAB12.已知M，N是抛物线C：x2=2py(p>0)上两点，焦点为F，抛物线上一点P(t,1)到焦点F的距离为32，下列说法正确的是A.p=1

B.若OM⊥ON，则直线MN恒过定点(0,1)

C.若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为12

D.若MF=2FN，则直线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知等比数列{an}中，a4⋅a7=−512，a14.已知直线y=kx+b是曲线f(x)=xex在点(1,f(1))处的切线方程，则k+b=______．15.写出与两圆(x−1)2+y2=1，x216.在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在棱AB，BC上，BE=BF=1，点G，H为棱DD1上的动点.若平面EFG/​/四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知数列{an}的前n项和Sn=n2−4n，n∈N∗．

(1)证明：数列{an18.(本小题12分)

已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列{an}是等差数列；19.(本小题12分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．

(1)求BC；

(2)求二面角A−PM−B的正弦值．20.(本小题12分)

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=66DO．

(1)证明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角21.(本小题12分)

已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P是C上在第一象限内的一点，PF与x轴垂直，|OP|=35．

(1)求C的方程；

(2)经过点F的直线l与C交于异于点P的A，B两点，若△PAB的面积为1822.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A为椭圆与y轴交点，F1，F2为椭圆左、右焦点，△AF1F2为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为2−2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l与椭圆C交于M，N两点，点参考答案1.D

2.D

3.D

4.C

5.B

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.BCD

11.AC

12.AD

13.512

14.e

15.y=1

16.3217.(1)证明：由题意，当n=1时，a1=S1=−3，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1

=n2−4n−[(n−1)2−4(n−1)]

=2n−5，

∵当n=1时，a1=−3也满足上式，

∴an=2n−5，n∈N∗，

此时an+1−an=2为常数，

故数列{an}是等差数列．

(2)解：由18.解：选择①③为条件，②结论．

证明过程如下：

设等差数列{an}的公差为d，

由题意可得：a2=a1+d=3a1，∴d=2a1，

数列的前n项和：Sn=na1+n(n−1)2d=na1+n(n−1)2×2a1=n2a1，

故Sn−Sn−1=na1−(n−1)a1=a1，

据此可得数列{Sn}是等差数列．

选择①②为条件，③结论：

设数列{an}的公差为d，则：19.解：(1)连结BD，

因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，

则AM⊥PD，

又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD，

所以AM⊥平面PBD，

又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，

所以∠ADB+∠DAM=90°，

又∠DAM+∠MAB=90°，

则有∠ADB=∠MAB，

所以Rt△DAB∽Rt△ABM，

则ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC=2；

(2)因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则A(2,0,0)，B(2,1,0)，M(22,1,0)，P(0,0,1)，

所以AP=(−2,0,1)，AM=(−22,1,0)，BM=(−22,0,0)，BP=(−2,−1,1)，

设平面AMP的法向量为n=(x,y,z)，

则有n⋅AP=0n⋅AM=0，即−2x+z=0−22x+y=0，20.解：(1)不妨设圆O的半径为1，OA=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=AC=3，DO=DA2−OA2=3,PO=66DO=22，

PA=PB=PC=PO2+AO2=62，

在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，

同理可得PA⊥PB，又PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，

故PA⊥平面PBC；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则有B(21.解：(1)由题可知，点P的坐标为(p2,p)，

因为|OP|=35，所以(p2)2+p2=45，

解得p=6或p=−6(舍去)，

故C的方程为y2=12x；

(2)由题可知，P(3,6)，所以直线l的斜率一定存在，

可设l的方程为y=k(x−3)，A(x1,y1)，B(x2,y2