2023-2024学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆一中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知样本数据为x1、x2、x3、x4、x5、x6A.极差 B.平均数 C.中位数 D.方差2.已知M为双曲线x23−y26=1上一动点，则M到点A.1 B.2 C.3 3.对于数列{an}，若点(n,an)都在函数y=cqx的图象上，其中q>0且q≠1A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有(

)A.36 B.72 C.144 D.2885.已知f(x)=13x3−x在区间(m,6−mA.(−∞,5) B.(−2,5)6.互不相等的正实数x1，x2，x3，x4∈{1,2,3,4}，xi1，xi2，xi3，xi4是x1，x2，x3A.E(X)<E(Y)，D(X)>D(Y) B.E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)

C.E(X)<E(Y)，D(X)=D(Y) D.E(X)>E(Y)，D(X)=D(Y)7.在满足2≤xi<yi，xiyi=yA.15 B.16 C.22 D.238.某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克)分为4级：Z>20的为A级，18<Z≤20的为B级，16<Z≤18的为C级，14<Z≤16的为D级，Z≤14的为废果.将A级与B级果称为优等果.已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布N(15,9).对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P(精确到0.1).若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为(    )附：P(μ−σ<Z≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z≤μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<Z≤μ+3σ)=0.9773A.4 B.5 C.6 D.7二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(1−2x3)(x−aA.a=3 B.展开式中的常数项为−32

C.展开式中x4的系数为160 D.展开式中无理项的系数之和为10.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：x12345y0.50.811.21.5假设经验回归方程为y=bA.b=0.24

B.当x=8时，y的预测值为2.2

C.样本数据y的40%分位数为0.8

D.去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数11.已知函数f(x)=ex⋅(sinx+cosx)A.f(x)的零点为x=kπ−π4,k∈Z

B.f(x)的单调递增区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2],k∈Z

C.当x∈[0,π2]时，若f(x)≥kx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为X，则P(X⩾3)=______．13.对于定义在非空集D上的函数f(x)，若对任意的x1，x2∈D，当x1<x2，有f(x1)≤f(x2)14.已知椭圆x2a2+y2=1(a>1)的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

数列{an}满足a1=π6，an∈(−π2,π2)，tanan+1=16.(本小题15分)

已知点A，B在抛物线y2=x上．

(1)若|AB|=3，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离；

(2)若点C，D在直线y=x+4上，且满足四边形ABCD17.(本小题15分)

为方便起见，记一年有365天，并假设每个人的生日在365天中的任意一天都是等可能的.“生日悖论”指：在不少于23个人的群体中，至少有两人生日相同的概率大于50%.记事件Ak为“前k人中没有人生日相同”，其中k=1，2，3…，n．

(1)证明：P(An)=P(A1)⋅P(A2|A1)⋅P(A18.(本小题17分)

定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么称d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|为A，B两点间的曼哈顿距离．

(1)已知点N1，N2分别在直线x−2y=0，2x−y=0上，点M(0,2)与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d(M,N1)，d(M,N2)，求d(M,N1)和19.(本小题17分)

情报M0是仅含0和1两种的k位数据，例如11001.情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为p1，每位数字1传错为0的概率为p2，其中p1，p2∈(0,1)，在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生.情报M0经过n个信号站传输后的情报为Mn，设Mn与M0完全相同的概率为an，Mn与M0中有Xn(Xn=0,1,…k)个对应位置数字取值相等．

(1)若p1+p2=13，M0参考答案1.C

2.C

3.A

4.B

5.D

6.C

7.D

8.A

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.1213.2872914.(0,15.解：(1)证明：由已知条件可知，由于cosan>0，所以an+1∈(0,π2)，

所以tan2an+1=1cos2an=sin2an+cos2ancos2an=1+tan2an，16.解：(1)设A(x1,y1)B(x2,y2)，抛物线y2=x的准线x=−14，

点M到y轴的最短距离为：x=|x1+x2|2=x1+14+x2+142−14=|AF|+|BF|2−14，

(两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号)，

∴|AF|+|BF|2−14≥17.解：(1)证明：若前n个人中没有人生日相同，则前n−1个人中一定没有人生日相同，(n≥2)，

因此P(An−1An)=P(An)，

因此P(A1)⋅P(A2|A1)⋅P(A3|A2)⋯P(An|An−1)

=P(A1)⋅P(A1A2)P(A1)⋅P(A3|A2)⋯P(An|An−1)

=P(A2)⋅P(A3|A2)⋯P(An|An−1)

=⋯

=P(An−1)⋅P(An|An−1)

=P(An−1)⋅P(An−1An)P(A18.解：(1)d(M,N1)=|x|+|y−2|=|x|+|12x−2|=−32x+2,x<012x+2,0≤x<432x−2,x≥4，

则d(M,N1)≥2，即d(M,N1)的最小值为2；

d(M,N2)=|x|+|y−2|=|x|+|2x−2|=2−3x,x<02−x,0≤x<13x−2,x≥1，

则d(M,N2)≥1，即d(M,N2)的最小值为1；

(2)当k2≥1时，d(M,N)=|x|+|y−2|，

点(x,y)为直线x+k2y+2k+1=0(k>0)上一动点，

则当k2≥1时，d(M,N)=|x|+|xk2+2k+1k2+2|≥|xk2|+|xk2+2k+1k2+2|≥|2k+1k2+2|，

即f(k)=|2k+1k2+2|；

当k2<1时，d(M,N)=|x|+|xk2+2k+1k2+2|≥|x|+|x+2k+1+2k19.解：(1)不妨设情报M0中包含的0和1的数量分别为a，b，

此时a，b∈N∗，a+b=k，

对于单个数字0，设它在经过n次传输之后，得到0和1的概率分别为cn，dn，

此时c0=1，d0=0，cn+dn=1，

由全概率公式得cn=(1−p1)cn−1+p2dn−1，dn=p1cn−1+(1−p2)dn−1，

所以cn=(1−p1)cn−1+p2(1−cn−1)=(1−