2024年江西省新余市高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年江西省新余市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，则该组数据的第60百分位数为(

)A.9 B.10 C.13 D.162.已知点Q(2,−2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF(O为坐标原点)的面积是(

)A.12 B.1 C.2 D.3.已知a=(3,23)，b=(−3,λ)A.−1 B.1 C.±1 D.±24.两个大人和4个小孩站成一排合影，若两个大人之间至少有1个小孩，则不同的站法有(    )种．A.240 B.360 C.420 D.4805.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则

①若a⊥α，b⊥β，且α//β，则a/​/b；②若a⊥α，b//β，且α//β，则a⊥b；

③若a//α，b⊥β，且α⊥β，则a//b；④若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，则a⊥b；

其中真命题的个数是(

)A.4 B.3 C.2 D.16.已知直线x−ay=0交圆C：x2+y2−23x−2y=0于M，NA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6y+6xy的最小值为(

)A.12 B.3+22 C.2528.如图，已知M为双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一动点，过M作双曲线E的切线交x轴于点A，过点A作AD⊥OM于点DA.2B.62

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2是两个虚数，则下列结论中正确的是(

)A.若z1=z−2，则z1+z2与z1z2均为实数 B.若z1+z2与z1z2均为实数，则10.已知函数f(x)=2sinxcosx−23cos2A.f(x)的值域为[−2−3,2−3]

B.f(x)的对称中心为(π6+kπ2,0)，k∈Z

C.11.已知定义在实数集R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy，f(1)=0，f′(1)=12，则(

)A.f(x)的图像关于点(1,0)成中心对称 B.f′(2)=32

C.f(2024)=1012×2023 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X服从正态分布N(3,22)，则D(3X+2)13.在公差为正数的等差数列{an}中，若a1=3，a3，a6，314.如图1，在直角梯形ABCD中，AB/​/CD，AB⊥AD，AB=63，CD=83，AD=6，点E，F分别为边AB，CD上的点，且EF/​/AD，AE=43.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面AEFD⊥平面EBCF，点M是四边形AEFD内(含边界)的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S=12(a2+c2−b2)sinB．

(1)求角B；

(2)若∠ABC的平分线交16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ln2x+(e+a)x−1，g(x)=(2a+e)x+1．

(1)当a=e时，求函数f(x)的最小值；

(2)若ℎ(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减，求17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，且PA=PD=AD，PC=PB．

(1)若O为AD的中点，证明：平面POC⊥平面ABCD；

(2)若∠CDA=60°，AB=12CD=1，线段PD上的点M满足DM=λDP，且平面PCB与平面ACM夹角的余弦值为18.(本小题17分)

近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A，B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼．

(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A，B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为12，14，34，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为23.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为13；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为34.求丁周日选择B健身中心健身的概率；

(3)现用健身指数k(k∈[0,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为p(0<p<1)，现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过19.(本小题17分)

通过研究，已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P．

(1)已知平面内点A(−3,23)，点B(3,−23)，把点B绕点A逆时针旋转π3得到点P，求点P的坐标；

(2)已知二次方程x2+y2−xy=1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)绕原点O逆时针旋转π4所得的斜椭圆C．

(i)求斜椭圆C的离心率；

(ⅱ)过点Q(参考答案1.C

2.A

3.A

4.D

5.B

6.B

7.C

8.B

9.ABC

10.AD

11.BCD

12.36

13.165

14.60π

15.解：(1)根据余弦定理，a2+c2−b2=2accosB，

由已知有S=12⋅2accosBsinB=12⋅acsinB，则cosB=12，

△ABC中，B=π3；

(2)∠ABC的平分线交AC于点D，a=3，c=4，

则AD16.解：(1)因为a=e，所以f(x)=ln2x+2ex−1，

所以f′(x)=2lnxx+2e=2lnx+2exx，

令q(x)=2lnx+2ex，显然q(x)在(0,+∞)上单调逆增且q(1e)=0，

所以当0<x<1e时，则有q(x)<0；当x>1e时，则q(x)>0，

所以当0<x<1e时，f(x)单调递减，当x>1e时，f(x)单调递增，

所以f(x)min=f(1e)=ln2(1e)+2e⋅1e−1=2；

(2)根据题意可得ℎ(x)=ln2x−ax−2，所以ℎ′(x)=2lnxx−a，

因为ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，

所以ℎ′(x)=2lnxx−a≤0在17.解：(1)证明：取BC中点为E，由条件可得OE为梯形ABCD的中位线，则OE⊥BC，

又PB=PC，则PE⊥BC，

又PE∩OE=E，PO⊂面POE，OE⊂面POE，

所以BC⊥平面POE，

又PO⊂面POE，

所以BC⊥PO，

由PA=PD，得PO⊥AD，

又AD，BC为梯形的两腰，则AD与BC相交，

所以PO⊥平面ABCD，

又PO⊂面POC，

所以平面POC⊥平面ABCD．

(2)取CD的中点为Q，由AB=12CD=1，∠CDA=60°，

则AQ⊥CD，AD=CD=2QD=2，

因此△ACD为等边三角形，则CO⊥AD，

由(1)知PO⊥面ABCD，OP，OA，OC两两垂直，

如图，以OC，OA，OP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系：

由CD=DA=PA=PD=2，∠CDA=60°，

则OP=OC=3，

所以A(0,1,0)，B(32,32,0)，C(3,0,0)，P(0,0,3)，D(0,−1,0)，

由DM=λDP⇒M(0,λ−1,3λ)，

所以PC=(3,0,−3)，BC=(32,−32,0)，AC=(3,−1,0)，AM=(0,λ−2,3λ)，

设平面PCB的一个法向量为n1=(a,b,c)，

由n1⋅PC=3a−3c=018.解：(1)由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率为：

P=12×(1−14)×(1−34)+(1−12)×14×(1−34)+(1−12)×(1−14)×34=12×34×14+12X123…n−1npp(1−p)p(1−p…(1−p(1−p故E(X)=p+(1−p)p×2+(1−p)2p×3+⋅⋅⋅+(1−p)n−2p×(n−1)+(1−p)n−1×n，

又因为19.解：