2024-2025学年湖北省襄阳市宜城一中、枣阳一中高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省襄阳市宜城一中、枣阳一中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R，集合M={x|x≥2}，N={x|1<x<3}，那么下面的韦恩图中，阴影部分所表示的集合为(

)A.{x|x>2}

B.{x|x≤2}

C.{−x|x>2}

D.{x|x≤1}2.命题“∃x∈R，x2−3x+3<0”的否定是(

)A.∀x∈R，x2−3x+3>0 B.∀x∈R，x2−3x+3≥0

C.∃x∈R，x23.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(2,22)，设a=f(m)A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c4.在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.已知圆周率π=3.14159265358979323846264338327950288…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法不正确的是(

)A.当n=2时，f(n)=3.14 B.y=f(n)，n∈N∗是一个函数

C.f(6)=f(16) 5.关于x的不等式ax−b<0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax+b)(x−3)>0的解集是(

)A.{x|x<−1或x>3} B.{x|1<x<3}

C.{x|−1<x<3} D.{x|x<1或x>3}6.已知函数f(x)=(3−a)x−1,x<1xa,x≥1是R上的增函数，则实数aA.(0,3) B.[0,3) C.(1,3) D.[1,3)7.若定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(1)=0，则满足xf(x)≤0的x的取值范围是(

)A.(−∞,−1]∪[1,+∞) B.(−∞,−1]∪{0}∪[1,+∞)

C.[−1,0)∪(0,+∞) D.[−1,0]∪[1,+∞)8.《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步.问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是(

)

A.由图1和图2面积相等得d=2aba+b

B.由AE≥AF可得a2+b24≥a+b2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题恒成立的是(

)A.若ac2>bc2，则a>b

B.若a>b>0，c<d<0，e<0，则ea−c>eb−d

C.若a>b，则1a10.下列说法正确的是(

)A.若f(x)的定义域为[−2,2]，则f(2x−1)的定义域为[−12,32]

B.关于x的不等式2kx2+kx−38<0恒成立，则实数k的取值范围是(−3,0)

C.函数y=2x−11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，如[3.24]=3，[−1.5]=−2.设函数f(x)=x−[x]，则下列说法正确的是(

)A.f(x)在R上是增函数

B.f(x)的最小值为0，无最大值

C.f(x+1)=f(x)+1

D.当2024≤x<2025时，f(x)=x−2024三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(f(2))=______．13.已知集合A={1,3,a2}，B={1,|a+2|}，若A∪B=A，则实数a=14.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)铺上鹅卵石，造价75元/m2；在四个空角(图中四个三角形)铺上草坪，造价为200元/m2.若要使总造价不高于28000四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知存在x∈[1,4]，使不等式x2−ax+2<0成立的实数a的取值集合为A，非空集合B={x|m+1≤x≤2m−1}．

(1)求集合A；

(2)设p：x∈A；q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m16.(本小题15分)

已知全集U=R，集合A={x|1x≤1}，集合B={x|−1<x≤2}．

(1)求A∩B，(∁RA)∪B；

(2)若集合C={x|2a≤x<a+2}，且17.(本小题15分)

已知定义在R上的函数满足：f(x)+2f(−x)=3x2+x+3．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解关于x的不等式f(x)≤−(t+3)x+(1−2t)；

(3)若不等式f(x)≥2ax+3在[1,3]上恒成立，求实数18.(本小题17分)

某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)=a−4x,0<x≤155300x−bx2,x>15.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．

(1)求a，b；

(2)写出年利润W(万元)19.(本小题17分)

我们知道，函数y=f(x)图象关于坐标原点成中心对称的图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.给定函数f(x)=x−6x+1．

(1)求函数f(x)图象的对称中心；

(2)用定义证明f(x)在区间(−1,+∞)上的单调性，并求f(x)在[1,5]上的值域；

(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2.若对任意x1∈[0,2]，总存在x2参考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.C

6.D

7.B

8.C

9.ABD

10.AD

11.BD

12.4

13.2或−5

14.12

15.解：已知存在x∈[1,4]，使不等式x2−ax+2<0成立的实数a的取值集合为A，非空集合B={x|m+1≤x≤2m−1}，

(1)当x∈[1,4]时，x2−ax+2<0，则a>x+2x，

∵x+2x≥2x⋅2x=22，当且仅当x=2x，即x=2时，等号成立．

∴(x+2x)min=22，

若存在x∈[1,4]，使不等式x2−ax+2<0成立，则a>(x+2x)min，即16.解：(1)由1x≤1解得x<0或x≥1，

所以A={x|x<0或x≥1}，

所以∁RA={x|0≤x<1}，

又因为集合B={x|−1<x≤2}．

所以A∩B={x|−1<x<0或1≤x≤2}，(∁RA)∪B={x|−1<x≤2}；

(2)由C∩B=C得C⊆B，

当C=⌀时，2a≥a+2，

解得a≥2，

当C≠⌀时，2a<a+22a>−1a+2≤2，

解得17.解：(1)因为f(x)+2f(−x)=3x2+x+3，

用−x代替x，得f(−x)+2f(x)=3x2−x+3，

两式联立组成方程组，解得f(x)=x2−x+1．

(2)由(1)知，f(x)=x2−x+1，

所以不等式f(x)≤−(t+3)x+(1−2t)，即为x2−x+1≤−(t+3)x+(1−2t)，

整理得x2+(t+2)x+2t≤0，即(x+2)(x+t)≤0，

当t=2时，不等式为(x+2)2≤0，解得x=−2；

当t>2时，解不等式得−t≤x≤−2；

当t<2时，解不等式得−2≤x≤−t；

综上，t<2时，解集为[−2,−t]，

t=2时，解集为{−2}，

t>2时，解集为[−t,−2]．

(3)由(1)知，f(x)=x2−x+1，

不等式f(x)≥2ax+3在[1,3]上恒成立，

即x2−x+1≥2ax+3在[1,3]上恒成立，

等价于x−2x≥2a+1在[1,3]上恒成立，

设18.解：(1)当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，

当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，

则8(a−32)−20−8×16=119620(530020−b400)−20−20×16=2960，解得a=200b=40000；

(2)当0<x≤15时，W=xR(x)−(20+16x)=x(200−4x)−(20+16x)=−4x2+184x−20，

当x>15时，W=xR(x)−(20+16x)=x(5300x−40000x2)−(20+16x)=−40000x−16x+5280，

综上所述，年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式为W=−4x2+184x−20,0<x≤15−40000x−16x+5280,x>15；

(3)当0<x≤15时，19.解：(1)设函数f(x)图象的对称中心为(a,b)，则f(a+x)+f(a−x)−2b=0，

即(x+a)−6x+a+1+(−x+a)−6−x+a+1−2b=0，

整理得(a−b)x2=(a−b)(a+1)2−6(a+1)，

于是(a−b)=(a−b)(a+1)2−6(a+1)=0，解得a=b=−1，

所以f(x)的对称中心为(−1,−1)．

(2)证明：任取x1，