数学一单元测试：第三章基本初等函数（Ⅰ）（A卷）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精测试五第三章基本初等函数（Ⅰ）（A卷）【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共120分，考试时间100分钟。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.下列幂函数中过点（0，0）、（1，1）的偶函数是A.y=B.y=x4C。y=x-2答案:B2。已知全集I=R，集合M=｛y|y=2｜x｜,x∈R},N={x｜y=lg（3—x)｝,则(M）∩N等于A。(—∞，1)B。［1,3)C。［3，+∞）D。答案:A解析：由M={y|y≥1｝,N={x｜x〈3}.M={y｜y<1｝，所以（M)∩N={x｜x<1}。3。已知函数f(x）=2x-2，则函数y=｜f（|x|)｜的图象可能是答案：A解析：y=f（|x｜）是偶函数，可知B错误。由y≥0，可知C错误.又因为x=±1时，y=0,所以D错误.4。某人2004年7月1日到银行存入一年期款a元，若按年利率x复利计算,则到2007年7月1日可取款A.a（1+x)3元B。a(1+x)4元C。a+（1+x)3元D。a（1+x3)元答案:A解析:若2005年7月1日取款，有a(1+x)元；若2006年7月1日取款，有a（1+x）(1+x）=a（1+x)2元；2007年7月1日取款，有a（1+x）5。函数y=f（x）的图象与函数g(x)=log2x(x>0）的图象关于原点对称，则f(x）的表达式为A.f（x)=(x>0）B。f(x）=log2(-x）（x<0）C.f（x）=—log2x(x〉0）D.f(x）=-log2(—x)(x<0)答案:D解析：设点（x，y）是函数y=f（x)图象上任一点,它关于原点的对称点为（—x，—y),该点在函数g(x)=log2x(x〉0)的图象上,所以-y=—log2（—x),即f(x)=-log2（—x）(x〈0)。6。若θ为锐角,则的值为A。B。C。2D.—2答案：A解析：∵θ为锐角,∴0〈sinθ<1.∴logsinθ〉0.∴.7.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了A。10天B。15天C。19天D.20天答案:C解析:荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y=2x，当x=20时，长满水面,所以生长19天时，布满水面一半。8。已知函数g(x）=4x+1+b,g（x）的反函数为f（x),且f（2）=—1,则实数b的值为A.-1B.1C。2答案：B解析:∵f(2)=—1，g（x)与f（x）互为反函数，∴g（-1）=2,即4-1+1+b=2，得b=1.9.若函数y=logb(x+a)（b>0且b≠1）的图象过点(0，1）和(—1，0），则a+b等于A。4B。C。3D。答案：A解析：解所以a+b=4。10.(探究题)已知实数a、b满足等式（）a=()b,下列五个关系式:①0〈b<a；②a〈b<0;③0〈a<b；④b<a<0；⑤b=a。其中不可能成立的关系式有A。1个B.2个C.3个D.4个答案:B解析：作y=，y=的图象，如图.当x<0时，，则有a<b〈0；当x〉0时，，则有0〈b<a;当x=0时，,则有b=a=0.第Ⅱ卷(非选择题共80分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案需填在题中横线上)11.函数y=的值域为_______________.答案：(0,1）∪（1，+∞）解析：∵≠0,∴≠1。∴函数值域为（0，1）∪(1,+∞).12。已知f(x）=则f（)=_______________。答案:解析：。13.如图,P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆形纸板P2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板P3，P4，…，Pn，则Pn的半径rn是_________________。答案：解析：由已知可得r1=（）0,r2=（）1,r3=()2，r4=(）3,依次类推,rn=（)n-1.14。设a〉0,a≠1，函数f(x)=alg（x2—2x+3）有最大值，则不等式loga(x2—5x+7）>0的解集为________________.答案：（2，3)解析：∵lg（x2—2x+3）≥lg2有最小值，∴0〈a〈1。则不等式loga（x2-5x+7)>0的解为解得2<x<3.三、解答题（本大题共6小题，共64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或解题步骤)15。(本小题满分10分）点(,2）在幂函数f（x)的图象上，点(-2，)在幂函数g(x）的图象上，问当x为何值时，有:①f(x)〉g（x);②f(x）=g（x);③f（x）〈g（x).解：设f(x）=xα,则由题意2=，∴α=2,即f（x)=x2.又设g（x)=xβ,则由题意=（-2)β,∴β=-2,即g(x）=x—2。在同一坐标系内，作出f(x）与g（x）的图象，如图所示，由图象可知：当x>1或x<-1时，f(x）〉g(x);当x=±1时，f(x）=g(x）;当—1〈x<1且x≠0时，f（x）〈g（x）.16.（本小题满分10分）（创新题)设f(x）=，若0<a<1，试求:(1）f（a）+f（1—a)的值；（2）的值。解：(1）f（a）+f(1-a）==1。(2)设S=,则S=。以上两式相加,应用（1)的结论得2S=,∴S=。17.（本小题满分10分）已知函数f（x)=2+log3x（≤x≤9）,求函数g（x)=［f（x)]2+f（x2)的最大值和最小值。解：g(x）=（2+log3x)2+2+log3x2=log32x+6log3x+6=（log3x+3)2-3.由得∴≤x≤3.∴-2≤log3x≤1。当log3x=-2时，即x=时,[g(x）］min=-2；当log3x=1时，即x=3时,［g（x）]max=13.18。（本小题满分10分）设a〉0,f(x)=是R上的偶函数。（1）求a的值;（2)证明f(x）在(0，+∞）上是增函数.答案:（1)解：依题意,对一切x∈R有f(-x）=f(x），即=0对一切x∈R成立.∴=0.∴a2=1。又a〉0，∴a=1.（2)证明：设0<x1〈x2,则f（x1）—f（x2)=。∵0〈x1<x2，x1+x2〉0，∴<0，-1〉0，〉0。∴f（x1)〈f(x2）.∴f（x）在（0,+∞）上是增函数.19。（本小题满分12分）已知函数f（x）=x3-(x-1）,（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断f（x)的单调性，并加以证明；（3）当x∈［2，5]时，求f（x)的最大值.解：（1)定义域为（1,+∞）；(2）在x∈(1,+∞)内f（x)是增函数。任取1<x1〈x2，f（x1)-f(x2)==(x1-x2）(x12+x1x2+x22)+。∵1<x1<x2，x1—x2〈0，〉0，又x2—1〉x1-1〉0,〉1，∴<0。∴f（x1)—f（x2)<0，f（x1)〈f(x2）.∴f(x)在（1，+∞）上是增函数.（3）当x=5时，f(x)max=534=127.20.（本小题满分12分）（2007河北邢台一中月考，20）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例,其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图2。（注：利润与投资量单位：万元）图1图2（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资量的函数关系式。（2)该公司已有10万元资金,并全部投入A、B两种产品中,问：怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元?解：（1）设投资为x万元,A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元.由题意得f（x）=k1x,g（x）=。由图可知f(1)=