数学一单元测试：第二章函数（B卷）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精测试四第二章函数(B卷）【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共120分，考试时间100分钟。第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分）1.a、b为实数,集合M=｛,1}，N={a，0},f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b的值等于A.—1B.0答案:C解析：由x→x，知a=1,b=0。∴a+b=1.2.函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是答案:D解析：∵a〉0时，函数y=ax2+a是以y轴为对称轴，以(0,a)为顶点的开口向上的抛物线，y=是位于第一、三象限的双曲线,均不符合题意，∴a〈0.显然只有D符合。3.已知函数f(x）是一次函数，2f（2)-3fA.3x-2B。3x+2C.x+4答案：D解析:设f(x)=kx+b，由条件得解得所以f（x)的解析式为f(x)=x-4.4.定义在R上的偶函数y=f(x）满足f(x+2）=f（x），且当x∈(0，1］时单调递增,则A.f（)<f(-5)〈f（）B。f()〈f()〈f(—5)C.f()<f（)<f(-5）D。f（—5）〈f()〈f()答案：B解析：由f(x+2)=f（x)得f()=f（)；f（-5)=f(5）=f（1）。由于<〈1,故f（)<f(）<f(1）,即f()〈f（)<f(-5)。5.(创新题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能二分法求函数零点的个数为A。1B。2C。3答案：B提示：用二分法不能求不变号零点的近似值,①③不能。6。已知函数y=f（x)是定义在R上的奇函数，且f（2)=0，对任意x∈R,都有f（x+4)=f(x)+f（4)成立,则f(2006)等于A.4012B.2006C.2008答案:D解析：令x=—2,得f(2)=f(-2)+f（4）。因为函数f(x)是奇函数，且f（2)=0，得f(4）=f（2)=0。同理可得f(6)=0,f(8）=0,…,即当n是偶数时,f（n)=0。所以f(2006）=0。7。已知函数f（x)=ax2-x-c，且f(x)〉0的解集为（-2，1）,则函数y=f（—x）的图象可能是答案：D解析:依题意可知,—2、1是方程ax2—x-c=0的两个根。由韦达定理,得a=-1,c=-2。所以f(x）=-x2—x+2。从而f（-x)=—x2+x+2，其图象为D。8。用长为a的绳子靠墙围成一个矩形场地(一边用墙）,则可以围成场地的最大面积是A.a2B.C.D.答案：C解析：如图,设矩形的宽为x,则长为。则矩形面积y=x·(0〈x〈a）.当x=时，y取到最大值为。9.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为l1=5。06x—0。15x2和l2=2x，其中x为销售量(单位：辆)。若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是A。45.606B。45.6C。45.56答案：B解析:设该公司在甲地销售x辆,则在乙地销售（15—x)辆。则总利润是y=l1+l2=5。06x—0.15x2+2(15-x)=—0.15x2+3。06x+30。当x==10。2时，获得的利润最大为45.6(万元).10.(探究题)定义两种运算：ab=,ab=，则函数f（x）=的解析式为A.f(x)=,x∈[-2,0）∪（0,2）B。f(x)=,x∈（—∞，-2］∪［2,+∞）C.f(x）=，x∈（-∞,—2］∪［2，+∞)D.f(x）=,x∈［—2,0)∪(0，2］答案：D解析:ab=,ab=,∴f（x）=.∵—2≤x≤2且|x—2｜-2≠0，即x≠0,∴f(x)=，x∈[-2，0）∪（0，2］.第Ⅱ卷（非选择题共80分)二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分.答案需填在题中横线上）11.设f(x）=若f(x）=3，则x=____________。答案:-1或解析:由—x+2=3，得x=—1；由x2=3,得x=（-1<x〈2)。12。已知函数f(x)=（a+1）x+（4a—5)在区间［0,2]内的函数值有正有负,则实数a的取值范围是______________.答案：(，）解析:易知函数f(x）是一次函数，由f（0)·f(2)〈0,得(4a—5）（6a-3)〈0，即<a〈。13.已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都满足f（ab)=af(b)+bf（a),则f（0）=_____________，f（1）=_____________。答案：00解析：利用赋值法即可解决该问题.分别令x=y=0和x=y=1，即可解决问题。或者令y=1可先求得f（1）的值。f（0)=0,f（1）=0.14。已知函数f(x）的图象是两条直线的一部分,其定义域为［-1，0］∪（0，1)，则不等式f（x)-f（—x)>—1的解集是_______________。答案：{x｜-1<x〈或0≤x〈1}解析：由图象，知f（x）=当-1<x〈0时，f(x）—f（—x）=-x—1-［—（—x)+1]=—2x-2.令—2x-2>-1得x<,故-1<x<.当0<x〈1时，f（x）—f(-x）=-x+1-［-（-x)—1］=-2x+2.令-2x+2〉—1得x<,故0〈x〈1.又f(0)—f（-0)=-1—（—1)=0>—1.故综上得x∈{x|-1<x〈，或0≤x〈1｝。三、解答题(本大题共6小题,共64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分）如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域.解：如图所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上.设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB,垂足为E，连结BD,那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD.∴AD2=AE·AB,即AE=。∴CD=AB-2AE=。∴y=2R+2x+（），即y=+2x+4R。再由解得0＜x＜.∴周长y与腰长x的函数式为y=+2x+4R，定义域为（0,）.16.（本小题满分10分）设n为正整数,规定：fn(x）=，已知f(x）=（1)解不等式f（x)≤x；（2)设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明f3(x)=x。答案:(1）解：①当0≤x≤1时，由2(1—x）≤x，得x≥。∴≤x≤1.②当1〈x≤2时,∵x—1≤x恒成立，∴1<x≤2.由①②，得f(x)≤x的解集为{x｜≤x≤2}.（2）证明：∵f（0）=2，f(1)=0,f（2)=1,∴当x=0时,f3(0）=f{f［f（0)]｝=f[f（2）］=f（1）=0；当x=1时，f3（1）=f{f[f（1）］}=f［f(0)］=f(2)=1；当x=2时,f3(2)=f{f［f(2）］｝=f［f（1）］=f（0）=2,即对任意x∈A，恒有f3(x)=x。17。(本小题满分10分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车月租金3000元时，可全部租出,当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆的月租金为3600元时，能租出去多少辆车？（2）当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元?解：（1）当月租金为3600元时，未租出车辆数为=12，所以这时租出去100—12=88辆车.（2）设每辆车的月租金为x元，则公司的月收益为f（x)=(100）(x-150）×50。∴f(x)=+162x-21000=（x—4050）2+307050（3000≤x＜8000).∴当x=4050元时，f（x)有最大值307050元,即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.18.（本小题满分10分)已知函数f（x)对任意实数a、b都有f(a·b）=f(a）+f(b)成立.（1)求f(0）与f（1）的值;（2）求证:f（）=—f（x);(3）若f（2)=p,f（3)=q(p、q均为常数)，求f(36）的值.答案：（1)解：∵函数f（x)对任意的实数a,b都有f（a·b）=f（a）+f(b)成立,令a=b=0，∴f（0·0）=f（0）+f（0).∴f(0)=2f（0）。∴f(0)=0.令a=b=1，∴f(1×1)=f(1）+f(1）.∴f(1)=2f（1）。∴f(1)=0。（2）证明：∵x·=1,x≠0，令a=x，b=，∴f(x·）=f（x)+f（)，即f（x）+f（）=f(1)=0。∴f（）=-f（x)。（3）解：令a=b=2，∴f(2·2)=f（2)+f（2),f(4）=2f(2)=2p,f(3·3）=f(3)+f（3）=2q.令a=4，b=9，∴f（4·9）=f（4)+f(9)，f（36)=2p+2q。19。(本小题满分12分)关于x的二次方程x2+(m—1)x+1=0在区间［0,2]上有解,求实数m的取值范围.解：设f(x)=x2+(m-1）x+1，x∈[0，2］。(1）f(x)=0在区间［0，2］上有一解。∵f(0)=1〉0,∴应有f（2）≤0m≤.(2）f（x)=0在区间［0，2］上有两解，则∴≤m≤-1.由(1）(2),知m≤—1.20。(本小题满分12分)（2007成都高中毕业诊断性检测,20）某商场以100元/件的价格购进一批衬衣,以高于进价的价格出售,销售有淡季与旺季之分。通过市场调查发现:①销售量r(x)（件)与衬衣标价x(元/件）在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)=kx+b1;在销售淡季近似地符合函数关系:r（x)=kx+b2，其中k<0,b1、b2>0且k、b1、b2为常数;②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中r(x)=0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格"的1.5倍。请根据上述信息，完成下面问题:（1）塪出表格中空格的内容：数量关系销售季节标价(元/件）销售量r（x)(件)（含k、b1或b2)不同季节的销售总利润y(元)与标价x（元/件）的函数关系式旺季xr(x）=kx+b1淡季x（2）在销售淡季，该商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为多少元才合适?解：（1)数量关系销售季节标价(元/件）销售量r（x)（件）(含k、b1或b2）不同季节的销售总利润y(元)与标价x（元/件)的函数关系式旺季xr(x)=kx+b1y=kx2-(100k—b1）x-100b1淡季xr(x)=kx+b2y=kx2-(100k—b2）x—100b2(2)在(1)的表达式中，由k〈0可知，在销售旺季，当x=时，利润y取最大值;在销售淡季,当x=时，利润y取最大值。下面分销售旺季和销售淡季进行讨论:由②，知在销售旺季