数学学案：主动成长第一讲四直角三角形的射影定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1。直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6cm和4cm,则斜边上的高是（)A.10cmB。2cmC。2cmD。24cm思路解析:直接应用射影定理可求得斜边上的高为26cm.答案：C2。在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于D,若AD∶BD=9∶4，则AC∶BC的值为（）A。9∶4 B。9∶2 C。3∶4 D。3∶2思路解析:本题的关键是表示出AD、BD、AB的长后,用射影定理求出AC、BC的长.设AD=9k,BD=4k，则AB=13k.由射影定理得AC=k,BC=k。从而AC∶BC=3∶2.答案:D3。如图1—4—8，△ABC中,∠CAB=90°，AD⊥BC于D，求证:AB2∶AC2=BD∶DC.图1-4-8思路分析:此题直接采用射影定理，答案显而易见。证明:在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC,∴AB2=BD·BC，AC2=CD·BC.∴AB2∶AC2=（BD·BC)∶(CD·BC)=BD∶CD.4.如图1—4-9，△ABC中,∠ABC=90°，BD⊥AC于D,BC=25cm，BD=4cm,求S△BDA∶S△CDB.图1—4-9思路分析:求S△BDA∶S△CDB，实际上是求AD∶DC,显然结合已知条件，应用射影定理，不难求出AD、DC的长度。解:∵BD⊥AC，cm,BD=4cm,∴由勾股定理得DC=2cm.在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC。∴由射影定理得BD2=AD·DC.∴=。∴S△BDA∶S△CDB=AD∶DC=8∶2=4∶1。5.如图1—4-10,在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高,且AB=2AC，求证:5AD=2BC图1-4—10思路分析:本题关键是把所求结论“5AD=2BC”与已知条件“AB=2AC证明:设AC=x，则AB=2x,由勾股定理得,在Rt△ABC中，∵AD⊥BC，∴AC2=CD·CB，===。∴AD2=BD·CD=.∴。∴==,即5AD=2BC。6.如图1—4-11,在Rt△ABC中，∠A=90°,M为AC中点，MD⊥BC于D。求证:AB2=BD2-CD2。图1-4-11思路分析：看AB2,结合已知条件想到“射影定理”，构造辅助线-—作出斜边上的高AE，再联系“平行线等分线段定理的推论”可达到证明的目的。证明:过点A作AE⊥BC于E.在Rt△ABC中,由射影定理得AB2=BE·BC。∵MD⊥BC,AE⊥BC，∴AE∥MD。又∵AM=MC,∴ED=DC（经过三角形一边中点平行于一边的直线，必平分第三边)。又∵BE=BD-ED=BD—CD，∴两边同乘以BC得BE·BC=BC（BD-CD).∴AB2=（BD+DC）(BD-CD）=BD2-CD2。7.如图1-4-12，已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线。求证:CD·AC=BC·AD.图1—4—12思路分析：分别在三个直角三角形Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，有CD2=BD·AD，BC2=BD·AB，AC2=AD·AB，将第一个式子和第三个式子相乘,就有CD2·AC2=BD·AB·AD2，将BD·AB换成BC2，然后两边开方即得.证明:∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，∴CD2=BD·AD，BC2=BD·AB，AC2=AD·AB.∴CD2·AC2=BD·AB·AD2,BC2=BD·AB。∴CD2·AC2=BC2·AD2.∴CD·AC=BC·AD.8。如图1-4—13，在Rt△ABC中,∠BCA＝90°，CD是AB上的高。已知BD=4,AB=29，试求出图中其他未知线段的长.图1—4-13思路分析:本题是利用直角三角形的射影定理进行计算，根据条件直接计算可得结论。解：由已知，BD=4，AB=29，BC2=BD·AB，∴==.∴AD=AB-BD=29—4=25。∵AC2=AD·AB，∴==.∵CD2=AD·BD，∴=。9。如图1-4—14，已知BC2=BD·AB，能否推出CD⊥AB?如果认为不能推出，那么试加一个条件，并推出CD⊥AB.图1-4-14思路分析：根据已知条件，只能得到△BCD和△BAC相似,但不能断定CD⊥AB，必须再附加其他条件.解：根据已知条件,不能推出CD⊥AB。可以添加条件∠BCA是直角。走近高考10.暑假里，康子帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹夹鱼”,个个都长得非常相似，现有两种大小不同的“竹夹鱼”,价钱也不同,如图1-4-15所示，鱼长10cm的每条10日元；鱼长13cm的每条15日元。康子不知道买哪种更好些，你看怎么办?图1—4—15思路分析:由相似形可知，两个相似图形大小的比等于相似比，两个相似图形面积的比是相似比的平方，而体积的比则应是相似比的立方。此题是判断两种鱼的体积之比，再看价格之比，决定买哪种鱼好。解：设两条相似的鱼A、B的长分别为10cm和13cm，即B与A的长度之比为，则体积之比为==2。197；又B与A的价格之比为=1.5,这里B种鱼的体积是A种鱼的体积的2。197倍，而价格只是1.5倍，显然，买B种鱼比买A种鱼更划算.11.如图1-4-16,在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC。图1—4—16思路分析:由数形结合易知，△ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线,CF是直角边AC在斜边上的射影,AC为所求，已知的另外两边都在△BDC中，且BD＝DC＝1,即△BDC是等腰三角形。因此，可以过D作DE⊥BC,拓开思路。由于DE、AF同垂直于BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC.解：在△ABC中,设AC为x，∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根据射影定理,得AC2=FC·BC,即BC＝x2.再由射影定理,得AF2=BF·FC=(BC-FC）·FC，即.∴AF=x2-1.在△BDC中,过D作DE⊥BC于E，∵BD＝DC＝1,∴BE＝EC。又∵AF⊥BC,∴DE∥AF.∴=。∴=.在Rt△DEC中，∵DE2+EC2=DC2,即+=12,∴+=1。由=，=,整理得x6=4.∴。∴。12.如图1—4—17,在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M，且==,AH和BM相交于点P，求证：AP=9PH.图1—4—17思路分析:由==,容易证明△ABH∽△BCM，从而不难推出BP⊥AH，在△ABH中，由=,考虑射影定理确定答案.证明：在正方形ABCD中,∵==,∴=