数学学案：圆柱、圆锥、圆台和球

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修2第一章1。1。3圆柱、圆锥、圆台和球1．理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念，并能从运动的观点来认识这四种几何体的形成过程．2．掌握圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面的特征．3．能运用圆柱、圆锥、圆台和球及简单组合体的结构特征来描述现实生活中简单物体的结构．1．圆柱、圆锥、圆台(1)概念:分别以矩形的________、直角三角形的一________、直角梯形中__________的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．其中圆台还可以看成是用________圆锥底面的平面截这个圆锥,截面与底面之间的部分．旋转轴叫做所围成的几何体的______;在轴上的__________叫做几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做几何体的________;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做几何体的________,无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的________；我们常将圆柱的侧面称为圆柱面，圆锥的侧面称为圆锥面．（2）规定:圆柱和棱柱统称为________,圆锥和棱锥统称为________，圆台和棱台统称为________．【做一做1－1】下列图形为圆柱体的是（)．【做一做1－2】下列命题中正确的是(）．A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径2．球(1）概念：一个半圆绕着它的________所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做________，球面围成的几何体叫做________．形成球的半圆的圆心叫________；连接球面上一点和球心的线段叫球的________；连接球面上两点且通过球心的线段叫球的________．（2)表示:用表示球心的字母表示．（3）球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于________的点的集合．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的________，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的________．在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的________在这两点间的一段劣弧的长度．事实上，人们把这个弧长叫做两点的__________．(4）圆柱、圆锥、圆台、球等几何体,都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做________，这条直线叫做__________．【做一做2－1】下列说法中正确的是()．A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是由平行于底面的平面截一个圆锥而得到的【做一做2－2】有下列说法：①球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段;②球的直径是连接球面上两点的线段；③不过球心的截面截得的圆叫做小圆．其中正确说法的序号是__________．3．组合体(1）概念:由__________等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．（2)基本形式：有两种，一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体．三种简单的组合体：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合;旋转体与旋转体的组合．常见的简单组合体及其结构特征：①正方体的八个顶点在同一个球面上，此时正方体称为球的内接正方体,球是正方体的外接球，并且正方体的对角线是球的直径；②一球与正方体的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；③一球与正方体的所有面相切，则正方体的棱长等于球的直径．【做一做3－1】一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为（)．A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台【做一做3－2】一个正方体内接于一个球,过球心作一截面，则截面不可能是（）．1．圆柱、圆锥、圆台的性质剖析：（1）对于圆柱的性质,要注意以下两点：一是轴线垂直于圆柱的底面；二是三类截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆,轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形，平行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形．(2)对于圆锥的性质，要注意以下两点:一是两类截面——平行于底面的截面是与底面相似的圆,过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；二是圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R组成一个直角三角形．有关圆锥的计算,一般归结为解这个直角三角形,往往会用到关系式l2＝h2＋R2。（3)对于圆台的性质，要注意以下两点：一是圆台的母线共点，所以由任意两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形；二是圆台的母线l、高h和上底面圆的半径r、下底面圆的半径R组成一个直角梯形，且有l2＝h2＋（R－r)2成立，有关圆台的计算问题，常归结为解这个直角梯形．2．地球的经纬线和经纬度（1)经线和经度．剖析：经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆,在同一条经线上的点的经度都相等，如图所示，圆O是赤道面，圆O′是纬线圈，P点的经度与A点的经度相等，如果经过点B的经线是本初子午线（即0°经线)，则P点的经度等于∠AOB的度数,也等于∠PO′C的度数．（2）纬线和纬度．剖析：赤道是一个大圆，它是0°纬线，其他的纬线都是小圆，它们是由与赤道面平行的平面截球所得到的．某地的纬度就是经过这点的球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数．如图所示，圆O是赤道面，圆O′是纬线圈，P点的纬度等于∠POA的度数，也等于∠OPO′的度数．3．教材中的“探索与研究”对圆柱、圆锥、圆台：(1）平行于底面的截面是什么样的图形?（2）过轴的截面（简称轴截面）分别是什么样的图形?(3）研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．剖析：（1）平行于底面的截面，图形都是圆．（2）过轴的截面，对于圆柱是矩形,对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．（3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“还台为锥”不失为解决圆台问题的好办法．4．教材中的“思考与讨论"在平面几何中,你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？剖析：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．题型一概念辨析题【例1】下列给出的图形中，绕虚线旋转一周,能形成圆台的是()．反思：通过解决本题，我们应注意旋转图形的形状及所选的轴，即便是同一图形，轴选取的不同，得到的旋转体也可能不相同．题型二简单旋转体中的计算问题【例2】圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径及两底面面积之和．分析：由题目可获取以下主要信息：①已知圆台的母线长及母线与轴的夹角；②上下底面圆的半径关系．解答本题利用圆台的轴截面不难求出．反思：有关圆台的基本量计算问题的流程可归结为：①作轴截面；②构造直角三角形；③解直角三角形．题型三有关组合问题【例3】若圆锥的轴截面是一个面积为9eq\r(3)cm2的正三角形，那么其内切球的半径为()．A．4πcmB．6cmC．eq\r（3）cmD．eq\r（3)πcm反思：通过本题可以看到轴截面是旋转体中一类重要的截面,它是立体几何问题向平面几何问题转化的桥梁．【例4】圆锥底面半径为r，高为h，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．分析：研究圆锥主要通过轴截面来讨论，而正方体只有唯一基本量——棱长，而圆锥的轴截面在任何位置都相同,故过正方体的顶点作轴截面便于建立棱长与r、h之间的联系．反思：本题画出轴截面图形是解决问题的关键，从圆锥与正方体的结合入手，过正方体一组对棱的平面截圆锥得到轴截面，从而将空间问题转化为平面问题．题型五易错辨析【例5】设地球半径为R，在北纬45°圈上有A，B两地,它们的纬线圈上的弧长等于eq\f（\r(2),4)πR，求A，B两地间的球面距离．错解：如图所示,A，B是北纬45°圈上两点，O′为此纬线圈的圆心，易知∠AO′B所对的劣弧长为所求球面距离．∴A，B两地间球面距离为eq\f(\r(2），4)πR.错因分析：没有理解球面距离是过A，B两点的大圆所对的劣弧长度．反思:（1）根据球面上两点间距离的定义,A,B两点的球面距离是过A，B的大圆在A，B间的劣弧长度．（2）球面上两点间的距离是指过这两点的球的大圆上两点间的劣弧长．求球面距离的关键是求所对应的球心角的大小，要求球心角，关键是求两点间的直线距离(即弦长)．在纬线圈中求弦长,在大圆中求球心角及球面距离．1下列几何体中是旋转体的是()．①圆柱;②六棱锥；③正方体；④球体;⑤四面体．A．①和⑤B．①和②C．③和④D．①和④2下列命题中错误的是()．A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形3顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AA′＝eq\r（2)，则A，C两点间的球面距离为（)．A．eq\f(π，4）B．eq\f（π，2)C．eq\f（\r(2），4）πD．eq\f（\r（2），2)π4已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别是6π和8π，那么这两个平行截面间的距离是__________．5如图所示，圆锥底面圆的半径OA是6，轴截面的顶角∠ASB是直角，过两条母线的截面SCB截去底面圆周的eq\f(1，6)，求截面面积．答案：基础知识·梳理1．（1）一边直角边垂直于底边平行于轴这条边(或它的长度)底面侧面母线(2）柱体锥体台体【做一做1－1】C圆柱的上下两个底面是相互平行并且完全相等的．【做一做1－2】A以直角梯形垂直于底的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，所以选项B不正确；圆锥仅有一个底面，所以选项C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以选项D不正确；很明显选项A正确．2．(1)直径球面球球心半径直径（3）定长大圆小圆大圆球面距离（4)旋转体旋转体的轴【做一做2－1】D直角梯形必须绕其垂直于底边的腰旋转才形成圆台;直角三角形必须绕直角边旋转才形成圆锥;圆柱是由矩形绕其一边旋转而形成的几何体，因而它是旋转体，易知圆锥、圆台也是旋转体,类比棱台的定义,圆台也可以看成是一个圆锥被一个平行于底面的平面所截得的．故选D。【做一做2－2】①③利用球的结构特征判断:①正确；②不正确,因为直径必过球心；③正确．3．（1）柱、锥、台、球【做一做3－1】C这里要注意旋转轴，可以自己先动手画一下，再结合旋转体的概念可知．【做一做3－2】D过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形．典型例题·领悟【例1】A利用旋转体的定义判断．【例2】解：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图，∠ASO＝30°.在Rt△SA′O′中,eq\f(r，SA′)＝sin30°，∴SA′＝2r，在Rt△SAO中,eq\f（2r，SA)＝sin30°，∴SA＝4r，∴SA－SA′＝AA′,即4r－2r＝2a，r＝a,∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2，∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2。【例3】C轴截面如图所示,设正△SAB的边长为a，则eq\f(1,2）×eq\f（\r(3），2)a×a＝eq\f（\r（3）,4）a2＝9eq\r（3）,∴a＝6（cm）．又S△SO′B＋S△SO′A＋S△AO′B＝9eq\r（3),∴3×eq\f（1,2)×6×R＝9eq\r（3).∴R＝eq\r(3）(cm)．故选C。【例4】解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图．设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边A1A和A1C1的长分别为x，eq\r（2）x。因为△VA1C1∽△VMN，所以eq\f（\r(2)x，2r）＝eq\f(h－x，h).所以eq\r(2）hx＝2rh－2rx.所以x＝eq\f（2rh，2r＋\r(2)h)，即圆锥内接正方体的棱长为eq\f（2rh，2r＋\r(2）h）.【例5】正解：如图所示，A，B是北纬45°圈上的两点，AO′为此纬线圈的半径，∴OO′⊥AO′，OO′⊥BO′。∵∠OAO′＝∠OBO′＝45°，∴AO′＝BO′＝OA·cos45°＝eq\f(\r（2），2)R。设∠AO′B为α，则eq\f（απ，180)·AO′＝eq\f(απ,180)·eq\f(\r（2），2)R＝eq\f（\r(2),4)πR，∴α＝90°。连接AB，则AB＝eq\r（AO′2＋BO′2）＝eq\r（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2),2)R））2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2)，2)R）)2）