数学学案：主动成长第一讲三相似三角形的判定及性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.如图1—3-6，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则结论正确的是（)图1—3-6A。△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACE D。△AEC∽△DAC思路解析：本题考查相似三角形的判定,根据相似三角形的判定方法,用排除法结合条件易选出正确选项.答案：C2。如图1—3-7所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE=1，S△EFC=4，则四边形BFED的面积等于（)图1—3—7A。2 B.4 C.5 D。9思路解析：由题易得△ADE∽△EFC，S△ADE∶S△EFC=1∶4,∴AE∶EC＝1∶2，AE∶AC＝1∶3.∴S△ADE∶S△ABC=1∶9.∴S四边形BFED=5。答案：C3.如图1—3—8，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB=2∶3,则S△ADE∶S四边形BCED为()图1—3—8A。2∶3 B.4∶9 C.4∶5 D.4∶21思路解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。又AD∶DB=2∶3，∴AD∶AB=2∶5.其面积比为4∶25，则S△ADE∶S四边形BCED=4∶21.答案：D4。如图1-3—9所示，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（）图1—3-9A.11。25m B.6.6m C.8m D。10。5m思路解析：本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题:如右图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA=1m,OB=16m，高CE=0。5m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB=CE∶DF，即1∶16=0。5∶DF，解得DF=8m。答案：C5。有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为(）A.18cm2或 B.20cm2或18cm2C。16cm2 D。15cm2思路解析：本题有图（1）和图（2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为xcm，则长为2xcm,由HG∥BC，得△AHG∽△ABC，得==cmS矩形EFGH=2x2=；如图(2），矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ=18cm2.答案:A6。如图1—3—10，在△ABC中,点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC,AC=8，BC=16，那么CD=.图1—3-10思路解析:先根据已知条件和隐含条件证明两个三角形相似，即△ABC∽△DAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段。答案:47.如图1—3—11，△ABC中∠C为直角,△DEF中∠F为直角，DE⊥AC，交AC于G，交AB于H,DF⊥AB，交AB于I,求证:△ABC∽△DEF.图1—3—11思路分析:由于△ABC和△DEF都是直角三角形，要证它们相似，根据“有一锐角对应相等的两个直角三角形相似”的判定方法，只需证一个锐角对应相等即可。证明：∵HI⊥DF，EF⊥DF,∴HI∥EF，∠DIH＝∠DFE＝90°。∴∠DHI＝∠DEF.∴△DHI∽△DEF.∵∠DIH＝∠AGH＝90°,∠DHI＝∠AHG，∴△DHI∽△AHG.∵∠A＝∠A，∠AGH＝∠ACB＝90°，∴△AGH∽△ACB。∴△ABC∽△DEF。也可用两角相等来证,∠DEF=∠AHG=∠B，从而△DEF∽△ABC.8.如图1—3—12,小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18m,已知小明的身高是1。6m，他的影长是2m.图1—3—12（1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2）求古塔的高度.思路分析：由题意知，△ABC与△ADE相似，这是因为两个三角形均为直角三角形,并且这两个三角形有一个公共角，由判定定理可得相似，利用对应边成比例，可以获得塔高.解:(1)△ABC∽△ADE。∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°。∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE。（2）由（1）得△ABC∽△ADE,∴=。∵AC＝2m，AE＝2＋18＝20m,BC＝1。6m,∴=。∴DE=16.答:古塔的高度为16m.9.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图1-3-13（1)(2)所示。那么哪位同学的加工方法符合要求？说说你的理由.(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图1-3-13思路分析：两个图形中均有相似三角形，题图（1）中=，即=，可得正方形的边长;题图（2)中可运用相似比等于对应高的比列出等式，进而求出正方形的边长.解:由AB=1。5米，S△ABC=1。5平方米，得BC=2米.如题图(1)，若设甲加工的桌面边长为x米,由DE∥AB,推出Rt△CDE∽Rt△CBA，可求出x=米。如题图(2)，过点B作Rt△ABC斜边上的高BH,交DE于P，交AC于H。由AB=1。5米，BC=2米，S△ABC=1。5平方米，得AC=2.5米,BH=1。2米.设乙加工的桌面边长为y米，∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC.∴=,即=.解得y=。∵=〉,即x>y，x2〉y2,∴甲同学的加工方法符合要求。走近高考10。如图1—3-14，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB=2∶3∶4，求S△ADE∶S四边形DEGF∶S四边形BCGF.图1-3-14思路分析:要求题目中的三部分的面积比,必须先求出△ADE、△AFG和△ABC的面积，才能求出两个四边形的面积.由已知DE∥FG∥BC的条件，可以得到相似三角形，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，可求出相似三角形的面积比.题目中未给出具体数值，故应引入参数.解:∵AD∶DF∶FB=2∶3∶4,设AD=2k，DF=3k,FB=4k(k〉0)，则AF=5k，AB=9k.∵DE∥FG,∴△ADE∽△AFG.∴=（）2=（)2=。同理，可得=（）2=.设S△ADE=4a，则S△AFG=25a，S△ABC=81a(a>0）。∴S四边形DEGF=25a-4a=21a，S四边形BCGF=81a—25a=56a.∴S△ADE∶S四边形DEGF∶S四边形BCGF=4∶21∶56.11.如图1-3—15，已知在△ABC中，D是BC边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。图1—3-15（1）求证：△ABC∽△FCD；(2）若S△FCD=5，BC＝10，求DE的长.思路分析：第（1）问，∵AD=AC，∴∠ACB=∠CDF.又D是BC中点，ED⊥BC，∴∠B=∠ECD。∴△ABC∽△FCD.第（2)问利用相似三角形的性质,作AM⊥BC于M，易知S△ABC=4S△FCD.∴S△ABC=20,AM=4.又∵AM∥ED，∴=.再根据等腰三角形的性质及中点，可以求出DE。也可运用△ABC∽△FCD，由相似比为2，证出F是AD的中点，通过“两三角形等底等高，则面积相等”，求出S△ABC=20。（1）证明:∵DE⊥BC，D是BC中点，∴EB=EC。∴∠B=∠1.又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB。∴△ABC∽△FCD.（2）解法一:过点A作AM⊥BC,垂足为点M.（如图所示)∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,∴=（）2=4.又∵S△FCD=5，∴S△ABC=20。∵S△ABC=BC·AM，BC=10，∴20=×10×AM.∴AM=4.又∵DE∥AM,∴=.∵,BM=BD+DM，BD=，∴=。∴。解法二:作FH⊥BC，垂足为点H。(如图所示）∵S△FCD=DC·FH，又∵S△FCD=5,，∴5=×5×FH.∴FH=2.过点A作AM⊥BC，垂足为点M，∵△ABC∽△FCD，∴==.∴AM=4.又∵FH∥AM，∴===。∴点H是DM的中点。又∵FH∥DE，∴=。∵HC=HM+MC=,∴=.∴。12。如图1-3-16,已知Rt△ABC中,D是斜边AB的中点，DE⊥AB于D，交AC于F,交BC延长线于E，BG⊥BA，交DC延长线于H,交AC延长线于G.图1-3-16求证：(1）GH·CE=DF·BC;(2)DC2=DF·DE;(3）CH·CD=GH·DE;(4）GB∶BA=CH∶BH；(5）CH·EF=BA·DF。思路分析:（1)欲证原式，只需证=,可在图（c）中由BH∥DE，容易得到=，=，利用中间比代换即可,还可选中间比为。(2）在图(f）中欲证原式,只需证=，发现它们分别属于有公共角∠CDF的两个三角形:△DCF和△DEC.只需利用“直角三角形斜边中线的性质”及“同角的余角相等”证得∠1=∠E即可。（3）欲证原式,只需证=。可直接证明△CGH∽△ECD(图（c)也可利用相似三角形的传递性（△CGH∽△CFD，△CFD∽△ECD）来实现。（4)所要证的比例式中的四条线段既不满足“三角形一边的平行线”条件,也