数学学案：主动成长第二讲一圆周角定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.下面是关于圆周角定理的句子,表述简明的一项是…(）A.一条弧所对的圆周角等于这个圆上的弧所对的圆心角的一半B。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半C。一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半D。圆上的一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半思路解析:本题就一条数学定理的表述考查我们的语感。显然A有些啰嗦,C太略而不具体，D含混不清,唯B简扼明了.答案：B2.如图2—1—14，已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P，那么等于(）图2-1-14思路解析：本题主要考查直径所对的圆周角是直角,同时也考查了三角形相似及性质和锐角三角函数的定义。解这道题的关键是将转化为某一直角三角形中两条线段之比,再根据三角函数定义来判断。连结BD，由BA是直径,知△ADB是直角三角形。根据△CPD∽△APB，==cos∠BPD.答案:BA。sin∠BPD B。cos∠BPD C。tan∠BPD D.cot∠BPD3。已知D、C是以AB为直径的半圆弧上的两点，若所对的圆周角为25°,所对的圆周角为35°，则所对的圆周角为。思路解析：本题中C、D两点的位置有两种情况,如图所示,利用圆周角与所对弧的度数的关系,即可得到结果。答案：30°或80°4.如图2-1-15,已知AB是⊙O的直径,半径OC⊥AB，过OC的中点D作弦EF∥AB.求∠ABE的度数.图2-1—15思路分析：要求圆周角∠ABE，先求同弧所对的圆心角∠AOE，由EF∥AB，则只需求∠DEO，这可以在Rt△EDO中利用直角三角形的性质求解.解:连结EO，∵EF∥AB，∴∠AOE=∠DEO。∵D为OC中点,OC、OE均为半径,∴。又OC⊥AB，EF∥AB，∴ED⊥OD.∴∠DEO=30°。∴∠AOE=30°。∴∠ABE=15°。5。如图2—1—16，已知△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,CE⊥AD，E为垂足，CE的延长线交AB于F.求证:AC2=AB·AF。图2-1-1-6思路分析:欲证AC2=AB·AF,只需证=。因此只要证△ABC∽△ACF，在这两个三角形中，有一个公共角∠BAC,再找一组对应角即可.证明：连结BD,∵AD是⊙O的直径，∴∠BAD+∠D=90°。又CE⊥AD.∴∠BAD+∠AFC=90°。∴∠D=∠AFC.又∠D=∠ACB,∴∠AFC=∠ACB.又∵∠BAC=∠CAF，∴△ABC∽△ACF，∴=,即AC2=AB·AF。6.如图2-1—17，已知在⊙O中,直径AB为10cm,弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD和BD的长.图2-1-17思路分析:本题要求三线段BC、AD和BD的长，可以把这三条线段转化为直角三角形的直角边问题,由于已知AB为⊙O的直径,可以得到△ABC和△ADB都是直角三角形，又因为CD平分∠ACB,所以可得AD=DB,可以得到弦AD=DB.这时由勾股定理可得到三条线段BC、AD、DB的长.解：∵AB为直径,∴∠ACB=∠ADB=90°。在Rt△ABC中,。∵CD平分∠ACB,∴AD=DB.在等腰直角三角形ADB中,AD=BD=.7。如图2-1—18,已知△ABC的外接圆中,D、E分别为与的中点，弦DE交AB、AC于F、G。求证:AF=AG.图2-1-18思路分析：可以通过等角对等边来证明此题,即证明∠AFG=∠AGF，将∠AFG、∠AGF分别看作△FBE与△DGC的外角，利用已知中D、E为AB、AC的中点可以证明角相等。证明:连结BE、CD,∠AFE=∠1+∠2，又∠1+∠2=，∴∠AFG=。∴∠AGD==m∠3+∠4.∵D、E为AB、AC中点，∴AE=EC，AD=DB.∴∠AFG=∠AGF。∴AF=AG.走近高考8。△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为BC上一点，E是直线AD和⊙O的交点，（1)求证:AB2=AD·AE.(2）当D为BC延长线上一点时，（1)问中的结论还成立吗？若成立，请证明;若不成立，试说明理由.图2-1—19思路分析:(1）连结BE，证明△ABD∽△AEB即可.（2）连结BE，仍然可以通过证明△ABD∽△AEB得出结论.证明:（1）如图(1），连结BE。∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB。∵∠ACB=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB。又∵∠BAE为公共角，∴△ABD∽△AEB。∴AB∶AE=AD∶AB，即AB2=AD·AE。（2）如图(2），连结BE，结论依然成立,证法同(1）。9。如图2-1-20,足球场上有句顺口溜:“冲向球门跑,越近就越好；歪着球门跑，射点要选好。”可见踢足球是有“学问"的。在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，此时自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙，让乙射门好?图2-1—20思路分析:用数学方法从两点静止的状态来考虑。如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时,容易被对方守门员拦截。解:不妨设过M、N、B作圆，则点A在圆外.设MA交圆于C,则∠MAN＜∠MCN.而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN.因此，在点B射门为好.答案：甲将球迅速回传给乙,让乙射门好。10。如图2-1-21，已知AD为锐角△ABC的外接圆O的直径，AE⊥BC于E，交外接圆于F，图2—1-21(1)求证：∠1=∠2;（2)求证:AB·AC=AE·AD;(3)作OH⊥AB，垂足为H。求证:.思路分析：(1）∠1与∠2均为圆周角，要证它们相等，只需证所对的弧相等,BD与FC夹在BC与DF之间,只需证DF∥BC即可。（2）要证等积式，可先证比例式=,而这可由△ABD∽△AEC证得.(3)要证,联想到中位线定理,可先证.证明：(1）连结DF,∵AD为直径,∴∠AFD=90°。又BC⊥AF，∴DF∥BC。∴BD=CF。∴∠1=∠2。（2）连结BD，∵AD为直径，∴∠ABD=90°。又AE⊥BC,∴∠AEC=90°.∴∠ABD=∠AEC。又∠1=∠2,∴△AB