数学学案：知识导航：球的性质（第一课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.3圆锥截线1.3.1球的性质（第一课时）自主整理1。如图1。3-1,一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转一周所得的曲面即是___________,这条定直线就是这个旋转面的___________，无论旋转到什么位置，这条曲线都是这个旋转面的___________。如果得到一个封闭图形，这个封闭图形围出的几何体就是___________。图1.3-12。圆锥面可以由一条射线l绕过其端点V的一条直线VO旋转一周得到（图1.3—1），其中射线与之不重合也不垂直。射线的端点V就是圆锥的____________,直线VO就是圆锥的____________,射线l旋转到任何一个位置都得到圆锥的一条____________.图1。3—23.球面可以看成是由____________绕____________旋转一周而得到,而____________图1。3-2（简称球)则是球面围成的空间图形。____________就是球的旋转轴,____________是球的母线,____________就是球心,就是球的半径，球面上两点间的线段就是球的,经过球心的弦就是球的____________，另外，球面也可以看成空间中到____________距离等于的点____________的集合，该定点即是____________，而定长就是球的____________.4。点与球的位置关系设点与球心的距离为d,球的半径为R，则有：点在球内_______________；点在球上_______________；点在球外_______________。5.平面与球的位置关系设球心到平面的距离为d，球的半径为R，则有：_______________平面与球相离_______________平面与球相切_______________平面与球相交6。用一个平面截一个球，截面是__________，球心与截面圆心的连线____________于截面,且球心到截面的距离d，球的半径R与截面圆半径r之间满足：___________.(图1。3-3)图1。3-3d≠0时，截面不过球心，截面圆的半径r<R，这时截面圆称为_____________；d=0时，截面过球心，截面圆的半径r=R，这时截面圆称为_____________.7。经过半径外端且与此半径垂直的平面与球面_____________.高手笔记1。分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边,直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。2.半圆绕其直径所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫做球体（简称球）.3.用一平面截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.（2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r，有下面的关系：r=.4。球面被经过球心的平面截得的圆是大圆，被不经过球心的截面截得的圆是小圆。名师解惑圆锥与圆锥面有什么区别和联系？剖析:从定义上看：圆锥是以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体,它有底面，是一个封闭的几何体.圆锥面是由一条射线l绕过其端点V的一条直线VO(与射线不重合也不垂直)旋转一周而得到的曲面，它没有底面，不是一个封闭的几何体.讲练互动【例1】一条直线绕它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面是什么曲面?并画出图形.分析：必须讨论该直线与旋转轴的位置关系，然后再确定旋转后形成的曲面.解：因为该直线与旋转轴共面，所以从以下三个方面讨论:（1）若该直线与旋转轴平行，则形成的旋转面是圆柱面.（图1.3—4）（2)若该直线与旋转轴斜交，则形成的旋转面是两个有公共顶点的圆锥面。(如图1。3—5）(3）若该直线与旋转轴垂直相交,则形成的旋转面是一个平面。(图1.3-6)图1。3—4图1.3-5图1。3-6绿色通道本题从直线与旋转轴的三个位置出发,讨论了三种不同情况下旋转面的形状，其实质是考查圆锥面的定义.变试训练1。如图1。3-7，正△ABC及其内切圆绕其高线AD旋转一周得到的几何体是什么？并画出图形.图1.3-7解：得到的几何体是一个圆锥和它的内切球，如图。【例2】在半径为13cm的球面上有A、B、C三点，AB=6cm,BC=8cm，CA=10cm,求经过这三点的截面和球心O的距离.分析：∵AB2+BC2=CA2，∴△ABC为直角三角形，故过A、B、C三点的截面所截得的圆面的圆心为CA的中点，然后利用d2=R2-r2,求d.解：如图1。3—8，由AB2+BC2=CA2知△ABC为直角三角形，所以过A、B、C三点的截面截球所得的圆面的圆心O′为CA中点,连OO′则OO′⊥平面ABC，令OO′=d，已知球的半径R=13cm，截面圆的半径为r=5cm。图1.3-8由d2=R2-r2得：d2=132—52=144.∴d=12（cm）.即球心到截面的距离为12cm。绿色通道当平面与球相交时，球心到截面的距离为d，球的半径R与截面圆的半径r之间满足：d2=R2-r2.另外,本题的解题关键是确定截面圆圆心的位置并求截面圆的半径r的长。变试训练2。已知球面上有三个点A、B、C,且AB=BC=CA=4,球心O到A、B、C三点确定的平面的距离为3,求该球的半径。