数学学案：主动成长第二讲五与圆有关的比例线段

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点,且OC⊥CP，则（)A。OC2＝CA·CB B。OC2＝PA·PBC。PC2＝PA·PB D.PC2＝CA·CB思路解析：根据OC⊥CP，可知C为中点；再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB。答案：D2.如图2—5—10,点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为()图2—5—10A。1 B. C。 D.思路解析：过点B作BB′⊥MN,交⊙O于点B′，连结AB′交MN于点P,此时点P使AP+BP最小.易知B与B′点关于MN对称，依题意∠AON=60°,则∠B′ON=∠BON=30°,所以∠AOB′=90°，AB′=OA2+OB′2=2.故PA+PB的最小值为.答案:D3.如图2-5—11,已知AB是半圆的直径,直线MN切半圆于C，BD⊥MN于D.求证:BC2＝BD·AB。图2—5-11思路分析：简单型的比例线段问题,主要是证两个三角形相似。这样,如何证得两个三角形相似,就成为关键问题，可以利用两角对应相等，也可以利用一角相等，夹边对应成比例。证明:连结AC.∵AB是直径,∴∠ACB＝90°。又BD⊥MN,∴∠BDC＝90°.∴∠ACB＝∠CDB.又MN切⊙O于C，∴∠DCB＝∠A。∴△ACB∽△CDB.∴AB∶CB＝CB∶BD。则BC2＝BD·AB。4。如图2-5—12，以⊙O上的一点A为圆心作⊙A,分别交⊙O于B、C,过A作弦AF交公共弦于E,交⊙A于D.求证:AD2＝AE·AF.图2—5—12思路分析：由于本题要证的成比例的四条线段在同一条直线上，因此不存在相似三角形,所以必须转移其中一条或两条,以构成两个能够相似的三角形，注意到同圆半径相等的性质,所以将AD换成AB,通过等线段代换,可以达到目的.证明：分别连结AB、AC、BF。∵AB＝AC，∴AB=AC.∴∠ABC＝∠F.又∠BAF为公共角，∴△ABE∽△BFA.∴AB2＝AE·AF。∵AB＝AD，∴AD2＝AE·AF.5.如图2—5-13,PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，已知BE2＝DE·EA，图2—5-13求证：（1）PA＝PD；（2)BP2＝AD·DE.思路分析：（1)中因为PA与PD在同一个三角形中,所以可以通过说明两角相等解决问题;(2）中则运用切割线定理转换线段。证明：（1）连结AB，证明△BED∽△AEB得∠DBE＝∠DAB。又可证∠PAD＝∠ADP,∴PA＝PD。（2)PA2＝PB·PC且PD＝CD＝,PA＝PD,∴PD＝2PB＝PB+BD。∴PB＝BD＝。又BD·CD＝AD·DE，∴可证得结论,且PD＝CD。6.如图2-5-14，P为圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线,A、B为切点,OP与AB相交于点M,且点C是上一点。求证:∠OPC=∠OCM。图2-5—14思路分析:图形中有两条切线,故运用切割线定理得线段和角的关系,在Rt△OPB中运用射影定理,有OB2=OP·OM，代换其中的OB为OC,可得三角形相似，即得角的相等关系.证明:连结OB，由切线长定理,得PA=PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB,在Rt△OPB中，OB2=OP·OM,∵OB=OC，∴OC2=OP·OM，即=.∴△OCP∽△OMC。∴∠OPC=∠OCM。7.如图2—5-15，PA切⊙O于A，PCB、PDE为⊙O的割线，并且PDE过圆心O，已知∠BPA＝30°,PA＝，PC＝1,求PD的长.图2—5—15思路分析:求PD,可使用割线定理PC·PB＝PD·PE，显然PA切⊙O，∴PA2＝PC·PB.可求得PB,但PE＝PD+DE，DE为⊙O直径,所以求⊙O的直径成为解题的关键。解:∵PA切⊙O于A，∴PA2＝PC·PB.又PB＝PC+BC,∴BC＝11.连结AO，并延长与⊙O交于K,与CB交于G,则GA＝PAtan∠GPA＝PAtan30°＝2。又Rt△GPA中,∠GPA＝30°,∴PG＝2GA＝4。∴CG＝3,GB＝8.由相交弦定理GC·GB＝AG·GK，可得GK＝12，∴直径为14。∴由割线定理有PC·PB＝PD·PE,得PD＝—7.8.如图2—5—16，PA为⊙O的切线,A为切点，PBC为⊙O的割线，若PA＝10，PB＝5,∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于D、E。求AD·AE的值.图2—5—16思路分析：由切割线定理PA2＝PB·PC，由已知条件可得BC长.又通过△ACE∽△ADB，得AD·AE＝CA·BA，从而求CA、BA的长即可。解：连结CE，∵PA2＝PB·PC，PA＝10，PB＝5，∴PC＝20。∴BC＝15。又PA切⊙O于A,∴∠PAB＝∠ACP，∠P为公共角.∴△PAB∽△PCA。∴==。∵BC为⊙O的直径,∴∠CAB＝90°.∴AC2+AB2=BC2＝225.∴可解得，.但AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAB，∠ABC＝∠E。∴△ACE∽△ADB.∴=。∴AD·AE＝AB·AC＝。9.如图2—5-17，C为⊙O直径AB的延长线上一点,过C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD和BD，根据图中所给的已知条件（不再标注或使用其他字母,也不再添加任何辅助线)，写出两个你认为正确的结论。图2-5-17思路分析:可通过勾股定理、直角三角形斜边上的中线定理、切线的性质定理以及弦切角定理、切割线定理来写结论.解：如：OD＝,CD⊥OD,∠CDB＝∠BAD,CD2＝CB·CA或OD2＋CD2＝CO2等.走近高考10。如图2—5—18,已知⊙O1和⊙O2相交于点A、B,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P。图2-5-18（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2,BD＝9,求AD的长.思路分析：（1)连结AB，利用⊙O1的弦切角∠BAC过渡来证明∠D＝∠E.（2)设BP＝x，PE＝y,利用相交弦定理和AD∥EC可以列出关于x、y的方程组，求出x、y,再用切割线定理求AD。（1）证明：连结AB.∵AC为⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D。又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.∴AD∥EC。(2）解:设PB＝x,PE＝y，∵AP＝6,PC＝2,∴xy＝12。①∵AD∥EC，∴=，即=.∴9＋x＝3y.②由①②解得。∴DE＝9＋x＋y＝16。∵AD为⊙O2的切线,∴AD2＝DB·DE＝9×16.∴AD＝12。11.如图2-5-19,已知PA为⊙O的切线，PO交⊙O于点B，BC⊥PA于点C，交⊙O于点D,图2—5—19(1）求证：AB2=PB·BD。（2)若PA=15，PB=5,求BD的长.思路分析:(1)只需证△PBA∽△ABD.(2)在（1）的基础上，只需求AB，因此寻找AB与BE的关系式,这可以通过相似三角形和勾股定理达到目的。(1)证明：连结AD，延长PO交⊙O于E,连结AE.∵BC⊥PA，∴∠P+∠PBC=90°。∵BE为直径,∴∠BAE=90°,∠BAD+DAE=90°.∵∠DAE=∠DBE=∠PBC，∴∠P=∠BAD.又∵∠PAB=∠ADB,∴△PBA∽△ABD.∴=，即AB2=PB·BD。（2)解：∵PA为切线，∴PA2=PB·PE.又PA=15，PB=5,∴PE=45。∴BE=40.∵△PBA∽△PAE，∴===。设AB=x,则AE=3x.又AB2+AE2=BE2，∴x2+（3x)2=1600，解得x2=160.代入AB2=PB·BD,得BD=32。12.在直径为AB的半圆形区域内,划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上,其他两边分别为6米和8米.先要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中，DE在AB上，右图的设计方案是使AC=8米,BC=6米.图2—5-20（1）求△ABC的边AB上的高h。（2）设DN=x,当x取何值时,水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时,发现在AB上距B点1。85米的M处有一棵大树，问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。思路分析:（1）利用三角形的面积,即斜边×斜边上的高=两直角边的积；（2）求最值问题