数学学案：知识导航排序不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5.4.2排序不等式自主整理1.设两组实数a1,a2,…,an与b1，b2,…,bn,且a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn,则_________________为同序和，_________________为反序和.2。设c1，c2,…，cn为b1,b2，…,bn的任意一个排列，a1c1+a2c2+…+ancn为乱序和，则和数a1c1+a2c2+…+ancn在a1,a2,…，an与b1，b2,…，bn同序时最大，反序时最小，即______________________，当且仅当高手笔记排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：同序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,较为简单的两种是“同序和”与“反序和”,而乱序和也就不按“常理”的顺序了。排序不等式中等号成立的条件是a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn,这一点不难理解，它是我们解决某些问题的关键，要记住。名师解惑怎样理解排序不等式的证明?剖析:课本对排序不等式的证明过程和方法，用了“探究——猜想—-检验—-证明”及由特殊到一般的思维过程和发现过程,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及到的“排序"及“乘积”的问题,出现了两种特殊的顺序“同序”和“反序”，其他为乱序,自然要对它们进行比较，但由于乱序情况较多较复杂,不可能一一验证、证明,所以课本采用了“逐步调整法"，就像日常生活中班级排队一样,逐个调整，每次调整对调一组数都保证了调整后的和不小于调整前的和。最终按由大到小的顺序排列出,理顺大小关系.而实际解决问题时，所给的数组并不一定是按由大到小或由小到大的顺序给出，我们可先对其进行排序，再用排序不等式解决范围问题或研究最值或证明不等式。讲练互动【例1】设a1,a2,…，an是n个互不相同的正整数，求证:a1++…+≥1+++…+。分析:a1，a2,…,an是n个互不相同的正整数,可按从小到大的顺序排列,观察不等式可猜想到与a1，a2，…，an对应的另一列数是1，,,…,,可用排序不等式证出。证明:设b1,b2,b3,…，bn是a1,a2，a3，…,an的一个排列且b1〈b2<…<bn。∵b1，b2,…，bn是互不相同的正整数，∴b1≥1,b2≥2，…，bn≥n。又∵1>〉〉…>，∴a1++≥b1+++…+≥1×1+×2+×3+…+×n=1+++…+。绿色通道对于不等式两边结构比较整齐,按一定规律或一定顺序排列出来的,而且每一项容易分解为两个数之积的形式，可考虑用排序不等式证明.变式训练1。设a1，a2，a3,…，an是互不相等的正整数,求证：+…+≥++…+。证明:设b1，b2,…,bn是a1,a2,a3，…,an的一个排列且b1<b2〈…〈bn,∵b1,b2，…，bn是互不相同的正整数，∴b1≥1,b2≥2,b3≥3,…,bn≥n.又∵>>〉…>,∴≥≥++…+。【例2】设a、b、c都是正数，求证:≥a+b+c.分析:本题的结构比较整齐，右边的a、b、c分别可看作是、、,即把ab、bc、ca的顺序调换了，可联想排序不等式.证明：∵a、b、c为正数,不妨设a≥b≥c〉0,则ab≥ac≥bc>0且≥≥>0.则++≥++=b+a+c。∴++≥a+b+c成立。绿色通道要利用排序不等式，必须构造相应的数组,并且排列出大小顺序,对于a、b、c同等地位的元素可不妨设出一种顺序进行解答。变式训练2.已知a、b、c为正实数,求证:a+b+c≤.证明:不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2〉0,ab≥ac≥bc>0，∴a2bc+ab2c+abc2≤a3c+ab3+bc又∵a≥b≥c>0，∴a3≥b3≥c3〉0。∴a3c+ab3+bc3≤a4+b4+c4∴a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4即abc(a+b+c）≤a4+b4+c4.∴a+b+c≤成立。【例3】设a1,a2,…，an都是正数,b1,b2，…，bn是a1,a2，…，an的任一排列,求证：a1b1-1+a2b2—1+…+anbn—1≥n。分析：本题的结构为两数乘积之和,可用排序不等式。证明：不妨设0〈a1≤a2≤a3≤…≤an,则≥≥≥…≥>0.∵b1，b2,…,bn是a1，a2，…,an的任一排列。∴a1b1—1+a2b2-1+…+anbn-1≥a1·+a2·+…+an·=n,即a1b1-1+a2b2—1+…+anbn—1≥n成立。绿色通道认真领会排序不等式的含义，学会用排序不等式进行放缩.变式训练3.已知a1,a2，…，an都是正数,b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列,求证：a1p+q+a2p+q+…+anp+q≥a1pb1q+a2pb2q+…+anpbnq(p、q为正数）。证明：设a1p≥a2p≥a3p≥…≥anp，a1