数学学案：知识导航放缩法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5.3。4放缩法自主整理在证明不等式时，有时我们要把所证不等式的一边适当地_________以利化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证的不等式成立,这种方法称为___________.高手笔记1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B，需通过B≤B1,B1≤B2≤…≤Bi≤A(或A≥A1,A1≥A2≥…≥Ai≥B）,再利用传递性，达到证明的目的。2.放缩法的理论依据主要有：（1)不等式的传递性;(2）等量加不等量为不等量;(3)同分子(分母）、异分母（分子）的两个分式大小的比较;（4）基本不等式与绝对值不等式的基本性质；（5)三角函数的有界性。名师解惑使用放缩法时常用的技巧有哪些？剖析：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩方法有增项、减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩，比如:（a+)2+1〉（a+)2，，>，(k>1）等变形.讲练互动【例1】已知α∈(0，），求证:sinnα+cosnα≤1（n≥2且n∈N）。分析：当n=2时,sin2α+cos2α=1，要证不等式成立，只需证sin2α≥sinnα，cos2α≥cosnα即可.证明：当n=2时，sin2α+cos2α=1。∵α∈(0,)，∴0〈sinα〈1,0〈cosα<1.∴当n≥2时，cosnα≤cos2α，sinnα≤sin2α。∴cosnα+sinnα≤cos2α+sin2α=1。∴不等式成立。绿色通道不等式的左边不易合并，但右边的“1”比较熟悉,联想到sin2α+cos2α=1，再利用指数函数的单调性将cosnα放大为cos2α,sinnα放大为sin2α即可合并.变式训练1。求证:（)n+(）n〈1（n∈N*)。证明:∵（)n≤,(）n≤，∴（）n+（)n≤+=〈1。【例2】当n〉2时，求证：logn(n—1)logn(n+1）〈1。分析:不等式的左边为对数的乘积,可利用基本不等式放大为对数之和证出。证明:∵n〉2,∴logn(n—1）〉0，logn(n+1）〉0，且logn(n-1）≠logn(n+1）。∴logn（n-1）·logn(n+1)〈［］2=［]2〈()2=1.∴当n>2时,logn（n—1）logn(n+1)〈1成立。绿色通道在进行对数之积运算时往往要利用基本不等式放大为对数之和进行运算,对照不等式的右边进行适当放缩。变式训练2。求证:lg9·lg11<1。证明：∵lg9〉0，lg11>0,且lg9≠lg11，∴lg9·lg11〈()2=()2<(）2=1，∴lg9·lg11<1成立.【例3】已知a、b是实数，求证：≤分析:将不等式的左边用替代,得到不等式≤就容易证明。所以若能证明≤,原不等式就可以得到证明。证法一:∵0≤|a+b｜≤｜a｜+｜b｜，∴=1—≤1-≤.证法二：∵f(x）==1—在［0，+∞）上单调递增,且0≤｜a+b｜≤|a|+｜b｜,∴≤=≤成立.绿色通道对于含有绝对值的分式结构的不等式,可借助绝对值不等式的性质进行放缩.变式训练3。已知a、b、c是△ABC的三边长,求证:.证明：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b+c〉0.∴,.∴==.∵a+b〉c,∴0<<.∴0<+1〈+1。∴，即成立。【例4】求证:1+++…+〈.分析:不等式的左边无法进行合并，观察到右边有2倍关系,可将改写为,即=2()进行放缩。证明：∵当n≥2时,∴=2（),即。∴，<,…，。各式左、右两边分别相加,得1+++…+〈1+()+（）+…+（）=—1〈,即1+++…+〈成立.绿色通道放缩法证明不等式,变形技巧一般包括:①缩小分母,扩大分子，分式值增大，缩小分子，扩大分母，分式值缩小；②增项、减项；③分子或分母有理化等.变式训练4。若n∈N＊，