数学学案：知识导航：相似三角形

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1.2相似三角形自主整理1。三角对应__________，三边对应__________的两个三角形叫相似三角形.2.两个相似三角形对应边的比称为这两个三角形的__________。3。相似三角形的判定定理有以下三个:（1)____________________的两个三角形相似.（2）____________________的两个三角形相似。(3)____________________的两个三角形相似。4。如果一条直线与三角形的一条边平行，且与三角形另两条边相交，则截得的三角形与原三角形__________.5.相似三角形的性质定理:相似三角形的对应线段的比等于____________，面积比等于相似比的____________。6.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形____________.7.直角三角形射影定理：直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上____________与____________的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上____________的乘积。答案：1。相等成比例2.相似比3。（1）两角对应相等(2）两边对应成比例且夹角相等（3)三边对应成比例4。相似5.相似比平方6.相似7.射影斜边射影高手笔记1。相似三角形的判定方法判定两个三角形相似的方法有：（1）定义法，即对应边成比例,对应角相等的三角形是相似三角形。当然有了判定定理后,就不用定义判定了,这是因为定义中的条件太多,实际上并不需要.（2）平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.这就是预备定理。最常用的是判定定理,即①判定定理1:两角对应相等，两三角形相似；②判定定理2：两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似；③判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等,两三角形相似.因为它的条件最容易寻求，实际证明当中,要特别注意两个三角形的公共角。判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用此定理的情况较多.对于直角三角形相似的判定，除以上方法外，还有其特殊的方法：（1）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似；（2)如果一个直角三角形的一条直角边和斜边与另外一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用。2.相似三角形的性质如果两个三角形相似，那么它们的形状相同,只在大小上有所区别，这两个三角形的对应元素之间有很重要的关系，分别是：(1）相似三角形对应角相等,对应边成比例；（2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;（3）相似三角形的周长比等于相似比；(4）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（5）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方，利用这些关系，可以进行各种各样的求值和证明.3。直角三角形的射影定理由于角的关系，图1.1—45中，三个直角三角形具有相似关系，于是Rt△ABC的六条线段之间存在着比例关系。△ACD∽△CBD,有，转化为等积式即CD2=AD·BD;△ACD∽△ABC，有=,转化为等积式即AC2=AB·AD;△BCD∽△BAC，有,转化为等积式即BC2=BA·BD.用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。图1.1-45这一结论常作为工具用于证明和求值。如图1。1-45，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的高.已知AD=4,BD=9，就可以求CD、AC.由射影定理，得CD2=AD·BD=4×9=36。因为边长为正值,所以CD=6，AC2=AD·AB=4×(4+9)=52.所以AC=2.我们还可以求出BC、AB，以及△ABC的面积等.名师解惑1。证明三角形相似应从哪些方面入手？剖析:证明三角形相似和证明三角形全等类似,可以从多方面考虑。例如有没有角相等，有没有边成比例,然后再看怎样把已知的条件用于要证相似的两个三角形。证角相等一般比较容易掌握，证线段成比例往往较困难，除了要对比例的性质较为熟悉之外,常常还要用中间比的方法（这一点有时不容易直接看出来）.在利用证两个三角形相似来得到这两个三角形的两个角相等，或对应边成比例时，前者常常要注意找比例线段，即利用判定定理2、3来判定两个三角形相似，后者要注意找相等的对应角，即用判定定理1、2来判定两个三角形相似。2。在解决相似三角形有关的问题时，常用到比例的性质，比例的性质有哪些？剖析：①比例的基本性质：=ad=bc;②合比性质：若==或；③等比性质：若==…=（b+d+…+n≠0）,则。3。直角三角形斜边上高线的作用。图1.1-46剖析：直角三角形ABC的斜边AB上的高CD使得△ABC和△ACD、△CBD都相似,随之产生一系列的比例关系。如图1.1-46，设BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,AD=p,DB=q，这些比例关系是。删除重复的ah=bq，bh=ap.整理归纳为a2=cq,b2=cp，ab=ch，h2=pq.另外由勾股定理，得a2+b2=c2,h2+q2=a2,h2+p2=b2。共有7个关于6个元素的等式。这样,直角三角形斜边上的高作出后,就展现了图中6条线段的丰富的比例关系，如果其中2条线段的长度是已知的，那么其余4条线段一定可以通过这些比例关系求得。4。相似三角形的基本类型有哪些？解决策略是什么？剖析:掌握相似三角形判定定理的关键是在熟练记忆的基础上善于结合图形来寻求证明三角形相似的途径。对下面几个常见的基本图形要熟练掌握,在证题过程中应灵活运用，化繁为简，化难为易.（1)相交线型（如图1。1—47）图1。1-47①∠ACD=∠B△ACD∽△ABC.②∠AED=∠B△AED∽△ABC。③∠D=∠B△ADO∽△CBO.④∠ACB=90°，CD⊥AB△ADC∽△ACB∽△CDB。⑤AD⊥BC,BE⊥AC△BDH∽△BEC∽△AEH∽△ADC。(2)平行线型（图1。148)图1。148DE∥BC△ADE∽△ABC.(3）旋转型（图1。1-49）图1。1—49△ABC∽△AB′C′.判定三角形相似除根据基本图形的构成之外,还有以下几条思路：①条件中若有平行线，可采用定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或其他两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.②若有一对等角，可再找一对等角应用判定定理1，或再找夹边成比例应用判定定理2.③若两对边对应成比例，可找夹角相等应用判定定理2.④若有一对直角，可考虑判定定理1（两个角相等）或证明：斜边直角边对应成比例。⑤若有等腰关系，可找顶角相等用判定定理2（夹角相等,夹边对应成比例），或找一对底角相等应用判定定理1（两个角相等），或找底和腰成比例用判定定理3（三边对应成比例）。⑥利用已知三角形相似的关系:若△1∽△2,△2∽△3则△1∽△3。讲练互动【例1】已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP（如图1。1—50），(1）∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC;(2）AC：AP满足什么条件时，△ACP∽△ABC。图1。1—50分析:从图中可以看出，在△ACP与△ABC中，∠A=∠A,根据三角形相似的判定定理，只要使∠ACP=∠B，或者使AC:AP=AB：AC，都有△ACP∽△ABC。解:(1）∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC(两角对应相等，两三角形相似）。（2）∵∠A=∠A，∴当AC：AP=AB：AC时，△ACP∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）。绿色通道此题是探索性题,应从结论出发找到需要的条件,从而使问题得以解决.变式训练1.如图1。1-51，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a,BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ABC∽△CDB?（只需写出一种）图1.1-51解：∵∠ABC=∠CDB=90°，∴当时,△ABC∽△CDB.即=时,△ABC∽△CDB,∴BD=.答：当BD=时，△ABC∽△CDB。【例2】如图1.1—52，已知在△ABC中,AB=AC，∠A=36°,BD是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AD2=DC·AC。图1。1—52分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°,而BD是底角的平分线，∴∠CBD=36°,则可推出△ABC∽△BCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD,∴BC：AB=CD:BC.∴BC2=AB·CD。∴AD2=AC·CD.绿色通道(1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边。（2）要说明线段的乘积式ab=cd,或平方式a2=bc,一般都是证明比例式=或=,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式。变式训练2。如图1.1—53，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G.求证：AG2=AF·FC。图1。1—53证明:在矩形ABCD中，AD=BC,∠D=∠BCE=∠ABC=90°，又∵DE=EC，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE=EB。∵FG∥AB，∴AG=BF，又BE⊥AC，∴△ABF∽△BCF.∴BF2=AF·FC,∴AG2=AF·FC。【例3】如图1。1—54小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m,已知小明的身高是1。6m，他的影长是2m。(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?（2)求古塔的高度.图1。1-54分析：由题意知，△ABC与△ADE相似，这是因为两个三角形均为直角三角形,并且这两个三角形有一个公共角，由判定定理可得相似，利用对应边成比例，可以获得塔高.解:（1）△ABC∽△ADE.∵BC⊥AE，DE⊥AE,∴∠ACB=∠AED=90°.∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE.(2）由（1）得△ABC∽△ADE,∴=.∵AC=2m,AE=2+18=20（m），BC=1.6m.∴.∴DE=16.答:古塔的高度为16m。绿色通道利用相似三角形的性质解决实际问题，关键是把实际问题建立数学模型转化成数学问题解决。变式训练3。一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1。5m,面积为1.5m2，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图1。1—图1。1-55解:由AB=1.5m,S△ABC=1。5m2，得BC=2m如图（1）,若设甲加工的桌面边长为xm,由DE∥AB,推出Rt△CDE∽Rt△CBA,可求出x=m。如图（2），过点B作Rt△ABC斜边上的高BH，交DE于P，交AC于H。由AB=1.5m，BC=2m,S△ABC=1.5m2,得AC=2.5m,BH=1.2m。设乙加工的桌面边长为ym，∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC。∴,即。解得y=。∵＞，即x＞y，x2＞y2,∴甲同学的加工方法符合要求.【例4】如图1.1-56，在△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F,求证：△CEF∽△CBA.图1.1—56分析：要证明△CEF∽△CBA,题设已具备了∠BCA=∠ECF，再找出一对角相等变得不容易，因此，考虑证明∠BCA与∠ECF的夹边成比例，即,即证CE·CA=CF·CB，再从已知出发考虑问题，在Rt△ADC中，DE⊥AC，根据定理能推出CD2=CE·CA，同理可得CD2=CF·CB,这样，CE·CA=CF·CB就能得证.证明：∵△ADC是直角三角形，DE⊥AC，∴CD2=CE·CA.同理可得CD2=CF·CB。∴CE·CA=CF·CB，即。又∵∠BCA=∠ECF，∴△CEF∽△CBA。绿色通道当题目中缺少角相等时，应该考虑利用相等的角的两边对应成比例，即及时转换解题思路，而不能只想到找两对角相等，因为我们还有其他的判定定理.变式训练4。如图1.1—57，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。求证：AE·BF·AB=CD3.图1。1-57证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·BD。∴CD4=AD2·BD2。又∵Rt△ADC中，DE⊥AC,Rt△BDC中,DF⊥BC.∴AD2=AE·AC,BD2=BF·BC。∴CD4=AE·BF·AC·BC.又∵AC·BC=AB·CD，∴CD4=AE·BF·AB·CD。∴AE·BF·AB=CD3.【例5】如图1.1—58，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC,BD=DC=FC=1，求AC。图1.1-58分析:由数形结合易知，△ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线,CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知的另外两边都在△BDC中，且BD=DC=1，即△BDC是等腰三角形.因此，可以过D作DE⊥BC，拓开思路，由于DE、AF同垂直于BC,又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC。解:在△ABC中，设AC为x，∵AB⊥AC,AF⊥BC，又FC=1，根据射影定理，得AC2=FC·BC,即BC=x2。再由射影定理,得AF2=BF·FC=（BC—FC）·FC，即AF2=x2-1。∴AF=.在△B