2025届华中师大东湖一附中高三数学上学期第一次调研试卷附答案解析

届华中师大东湖一附中高三数学上学期第一次调研试卷一、单选题（本大题共12小题）1．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（

）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．07 C．02 D．014．已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（

）A． B． C． D．6．已知，满足约束条件，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．要得到函数的图象，只需将的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位8．在的展开式中，含的项的系数是（

）A．74 B．121 C． D．9．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（

）A． B． C． D．10．设命题：，，则为（

）A．， B．，C．， D．，11．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（

）A．2 B． C．3 D．412．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题）13．记等差数列和的前项和分别为和，若，则.14．已知函数，若恒成立，则的取值范围是.15．已知向量满足，则向量与的夹角为.16．设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题）17．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求.18．已知数列的前项和和通项满足.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列中，，，求数列的前项和.19．已知数列满足，且.（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20．根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：45678的近似值551484031097298121．某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点．已知长为40米,设为．（上述图形均视作在同一平面内）（1）记四边形的周长为,求的表达式;（2）要使改建成的展示区的面积最大,求的值．22．已知ΔABC的内角的对边分别为，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.

参考答案1．【答案】C【详解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选C．2．【答案】B【详解】平面，底面是边长为2的正方形，如图建立空间直角坐标系，由题意：，，，，，为的中点，.，，，异面直线与所成角的余弦值为即为.故选：B.3．【答案】D【详解】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.4．【答案】B【详解】令，则，如图

与顶多只有3个不同交点，要使关于的方程有六个不相等的实数根，则有两个不同的根，设由根的分布可知，，解得.故选：B.5．【答案】B【解析】根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项.【详解】.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是.故选：B6．【答案】D【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，等价于，作直线，向上平移，易知当直线经过点时最大，所以，故选D．7．【答案】D【详解】,所以要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位，故选:D.8．【答案】D【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D9．【答案】C【解析】判断出已知条件中双曲线的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°，双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为，B选项渐近线为，C选项渐近线为，D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.故选：C10．【答案】D【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，.故本题答案为D.11．【答案】C【详解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=3．故选C．12．【答案】D【解析】由得，分别算出和的值，从而得到的值.【详解】∵，∴，∴，当时，，∴，当时，，∴，∴，故选：D.13．【答案】【详解】由题意,,,因为,所以.故答案为:.14．【答案】【解析】求导得到，讨论和两种情况，计算时，函数在上单调递减，故，不符合，排除，得到答案。【详解】因为，所以，因为，所以.当，即时，，则在上单调递增，从而，故符合题意；当，即时，因为在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得.令，得，则在上单调递减，从而，故不符合题意.综上，的取值范围是.故答案为：.15．【答案】【详解】∵，∴，由得，，∴，∴，∴，由得，，即向量与的夹角为.故答案为：.16．【答案】④【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误；对于②，当m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；对于③，当α∥β，且m⊂α，n⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m，n⊂α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，④正确；综上知，正确命题的序号是④．故答案为：④．17．【答案】（1）(x－1)2＋y2＝4,直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3.【详解】(1)由曲线C的参数方程(α为参数)(α为参数)，两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为(t为参数)．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，将(t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，利用可得，故可利用等比数列的通项公式求出的通项.（2）利用分组求和法可求数列的前项和.【详解】（1）当时，，所以，当时，，①，②所以，即，又因为，故，所以，所以是首项，公比为的等比数列，故.（2）由得：数列为等差数列，公差，，，.19．【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】（1）将等式变形为，进而可证明出是等差数列，确定数列的首项和公差，可求得的表达式，进而可得出数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列的前项和.【详解】（1）因为，所以，即，所以数列是等差数列，且公差，其首项所以，解得；（2），①，②①②，得，所以.20．【答案】（1），；（2）148万亿元.【解析】（1）由散点图知更适宜，对两边取自然对数得，令，，，则，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；（2）将代入所求的回归方程中计算即可.【详解】（1）根据数据及图表可以判断，更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程.对两边取自然对数得，令，，，得.因为，所以，所以关于的线性回归方程为，所以关于的回归方程为.（2）将代入，其中，于是2020年的全国GDP总量约为：万亿元.21．【答案】（1）,．（2）【详解】解：（1）连．由条件得．在三角形中,,,,由余弦定理,得,因为与半圆相切于,所以,所以,所以．所以四边形的周长为,．（2）设四边形的面积为,则,．所以,．令