2024年武汉市初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2024年武汉市初中学业水平考试·数学一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是()1.C2.小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是()A.

随机事件 B.

不可能事件 C.

必然事件 D.

确定性事件2.A3.如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是()3.B4.国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是()A.

0.3×105 B.

0.3×106C.

3×105 D.

3×1064.C5.下列计算正确的是()A.a2·a3＝a6 B.

(a3)4＝a12C.

(3a)2＝6a2 D.

(a＋1)2＝a2＋15.B6.如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是()6.D7.小美同学按如下步骤作四边形ABCD：(1)画∠MAN；(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；(3)分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC，CD，BD.若∠A＝44°，则∠CBD的大小是()A.

64° B.

66° C.

68° D.

70°7.C【解析】易知四边形ABCD为菱形，∠A＝44°，则∠ABC＝180°－44°＝136°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝68°.8.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是()A.19 B.C.49 D.8.D【解析】画树状图如解图：共有9种等可能的结果，至少一辆车向右转的结果有5种，∴至少一辆车向右转的概率为59解图9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB＋AD＝2，则⊙O的半径是()A.63 B.C.32 D.9.A【解析】如解图，延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE，BD，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC＝∠ABC＋∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，∠DAB＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠DCB＝90°，∴△DCB是等腰直角三角形，∴DC＝BC，∵AD＝EB，∴△ADC≌△EBC(SAS)，∴∠ACD＝∠ECB，AC＝CE，∵AB＋AD＝2，∴AB＋BE＝AE＝2，∵∠DCB＝90°，∴∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝AE·cos45°＝2，∵∠ABC＝60°，∴∠AFC＝60°，∵∠FAC＝90°，∴CF＝ACsin60°＝263，∴OF＝OC＝12CF＝解图10.如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3－3x2＋3x－1的图象，发现它关于点(1，0)中心对称．若点A1(0.1，y1)，A2(0.2，y2)，A3(0.3，y3)，…，A19(1.9，y19)，A20(2，y20)都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1＋y2＋y3＋…＋y19＋y20的值是()A.

－1 B.

－0.729 C.

0 D.

110.D【解析】∵函数y＝x3－3x2＋3x－1的图象关于点(1，0)中心对称，∴y1＋y19＝0，y2＋y18＝0，…，y9＋y11＝0，y10＝0，y20＝23－3×22＋3×2－1＝1，∴y1＋y2＋y3＋…＋y19＋y20＝1.

二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作＋3℃，则零下2℃记作________℃.11.－212.某反比例函数y＝kx具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是________12.1(答案不唯一)13.分式方程xx－3＝x13.x＝－3【解析】原方程去分母得：x2－x＝x2－2x－3，解得x＝－3，检验：当x＝－3时，(x－1)(x－3)≠0，∴原方程的解是x＝－3.14.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是________m．(参考数据：tan63°≈2)14.51【解析】如解图，延长BA交过C与地面平行的直线于点M，易知BM⊥CM，BM＝102

m，在Rt△CAM中，AM⊥CM，∠ACM＝45°，∴AM＝CM，在Rt△BMC中，BM⊥CM，∠BCM＝63°，∴tan63°＝BMCM＝102AM＝102102－AB，∵tan63°≈2，∴AB解图15.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE(k>1)，则用含k的式子表示S1S2的值15.k【解析】如解图①所示，分别过点A和点D作直线EF的垂线AG与DH，垂足分别为点G和点H，易得△AGE∽△DHF，∴AGDH＝AEDF.易知BE＝DF，∴AGDH＝AEDF＝AEBE＝1k，∵Rt△AGM与Rt△DHM都是等腰直角三角形，∴AMDM＝2AG2DH＝1k.

设大正方形的边长为1，MP＝x，AM＝PD＝y，∴AMDM＝yx＋y＝1k，即k·y＝x＋y①，在Rt△AMD中，由勾股定理得y2＋(x＋y)2＝1②，将①平方得：k2·y2＝(x＋y)2，代入②，得y2＝1k2＋1，再由①得：x＝(k(一题多解)

如解图②所示，过点B作EM的平行线BS，与AN的延长线交于点S.设AE＝1，BE＝k，小正方形边长为x，AM＝DP＝CQ＝BN＝y.易知△BNS是等腰直角三角形，∴NS＝y，∵BS∥EM，∴AEBE＝AMMS，即yx＋y＝1k，∴(x＋y)2＝k2y2，x＝(k－1)y，在Rt△ANB中，由勾股定理得：y2＋(x＋y)2＝(k＋1)2，即y2＋k2y2＝(k＋1)2，解得y2＝（k＋1）2k2＋1，∴S2＝x2＝(k－1)2y2＝16.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a<0)经过(－1，1)，(m，1)两点，且0<m<1.下列四个结论：①b>0；②若0<x<1，则a(x－1)2＋b(x－1)＋c>1；③若a＝－1，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2无实数解；④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若x1＋x2>－12，x1>x2，总有y1<y2，则0<m≤1其中正确的是________(填写序号)．16.②③④【解析】∵y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a<0)经过(－1，1)，(m，1)两点，且0<m<1，∴对称轴为直线x＝－b2a＝－1＋m2，

－12<－1＋m2<0，∵x＝－b2a<0，a<0，∴b<0，故①错误；∵0<m<1，∴m－(－1)>1，即(－1，1)，(m，1)两点之间的距离大于1，∵a<0，∴x＝m－1时，y>1，∴若0<x<1，则a(x－1)2＋b(x－1)＋c>1，故②正确；由①可得－12<－1＋m2<0,

∴－12<b2<0，即－1<b<0，当a＝－1时，抛物线解析式为y＝－x2＋bx＋c，设顶点纵坐标为t＝4ac－b24a＝－4c－b2－4，∵抛物线y＝－x2＋bx＋c(a，b，c是常数，a<0)经过点(－1，1)，∴－1－b＋c＝1，∴c＝b＋2，∴t＝－4c－b2－4＝b2＋4c4＝14b2＋c＝14b2＋b＋2＝14(b＋2)2＋1，∵－1<b<0，14>0，对称轴为直线b＝－2，∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b<0，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2无解，故③正确；④∵a<0，抛物线开口向下，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，x1＋x2>－12，x1>x2，总有y1<y2，∵x三、解答题(共8小题，共72分)17.求不等式组x＋17.解：x由①得，x＞－2；由②得，x≤1，∴此不等式组的解集为：－2＜x≤1，∴不等式组x＋3＞1，2x－18.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．(不需要说明理由)18.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∵AF＝CE，∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE，在△ABE与△CDF中，AB∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)解：添加AF＝BE(答案不唯一)．【解法提示】如解图所示，连接EF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥BE，又∵AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形.

解图19.为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩频数分布表成绩/分频数4123a2151b06测试成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出m，n的值和样本的众数；(2)若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．19.解：(1)m＝60，n＝15，样本的众数为3；【解法提示】

由题意得，m＝15÷25%＝60，∴a＝60×30%＝18，∴b＝60－12－18－15－6＝9，∴n%＝960×100%＝15%，∴n＝15，样本的众数为(2)900×12＋1860＝450(答：估计得分超过2分的学生人数有450名.

20.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．(1)求证：AB与半圆O相切；(2)连接OA.若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．20.(1)证明：如解图，连接OA，OD，过点O作ON⊥AB交AB于点N，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC，∵ON⊥AB，∴ON＝OD，∴ON是半圆O的半径，∴AB是半圆O的切线，即AB与半圆O相切；解图(2)解：由(1)可知AO⊥BC，OD⊥AC，∴∠AOC＝90°，∠ODC＝90°，∴∠OAC＋∠OCA＝180°－∠AOC＝90°，∠COD＋∠OCA＝180°－∠ODC＝90°，∴∠OAC＝∠COD，∴sin∠OAC＝sin∠COD＝CD∵OF＝OD，CF＝2，∴在Rt△ODC中，CD＝4，OC＝OF＋FC＝OD＋2，∵OC2＝CD2＋OD2，∴(OD＋2)2＝42＋OD2，解得OD＝3，∴sin∠OAC＝sin∠COD＝CDOC＝CDOD＋21.如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．(1)在图①中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；(2)在(1)的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB；(3)在图②中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；(4)在(3)的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN(点A与点M对应，点B与点N对应)．21.解：(1)如解图①；【作法提示】作BC的中点D，作射线AD即可．解图①(2)如解图②；【作法提示】作点A关于BC的对称点，连接对称点与点C交射线AD于点E.解图②(3)如解图③；【作法提示】构造一线三垂直，直接得到点F，再作射线AF交BC于点G.解图③(4)如解图④.【作法提示】两次利用平行线分线段成比例．解图④22.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－12x＋b.其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，①直接写出a，b的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.22.解：(1)①a＝－115，b＝8.1【解法提示】

∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km，∴抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－12x＋b均经过点(9，3.6)，∴3.6＝81a＋9，3.6＝－12×9＋b，解得a＝－115，b②由①知，直线y＝－12x＋8.1，抛物线y＝－115x2＋∵y＝－115x2＋x＝－115(x－152)2＋154，∴抛物线最高点的纵坐当y＝154－1.35＝2.4时，即－115x2＋x＝2.4，解得x1＝12(舍去)，x2＝∵x＝9时，y＝3.6>2.4，∴当y＝2.4时，即－12x＋8.1＝2.4，解得x＝11.411.4－3＝8.4(km)，∴这两个位置之间的距离为8.4km；(2)－227<a【解法提示】

当水平距离超过15km时，火箭第二级的引发点为(9，81a＋9)，将(9，81a＋9)，(15，0)代入y＝－12x＋b，得81a＋9＝－12×9＋b，0＝－12×15＋b，解得b＝7.5，a＝－227，∴当a满足－227<a<0时，火箭落地点与发射点23.问题背景：如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE.问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG.问题拓展：如图③，在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出EGGF23.证明：在矩形ABCD中，∠EBF＝∠DCB＝90°，AB＝CD.

∵点E，F分别为AB和BC的中点，∴CD＝AB＝2BE，即BECD＝12，BC＝2BF，即B∴BECD＝BFCB，又∵∠EBF＝∠DCB(一题多解)

如解图①，连接AC，交BD于点O.显然EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴∠EFB＝∠OCB，∵点O是矩形ABCD对角线的交点，∴BO＝CO，∴在等腰△BOC中，∠OBC＝∠OCB，∴∠EFB＝∠OBC，∵∠EBF＝∠DCB，∴△EBF∽△DCB；解图①证明：如解图②，取BD的中点H，连接EH，CH.

∵点E，H分别为AB和BD的中点，∴EH为△BAD的中位线，∴EH∥AD，且EH＝12AD∵AD∥BC，∴EH∥BC，即EH∥FC，∵AD＝2FC，∴EH＝FC，∴四边形EHCF是平行四边形，∴EF∥HC，∴∠GFB＝∠HCB(两直线平行，同位角相等)，在Rt△DCB中，CH为斜边上的中线，∴BH＝CH，∴∠HBC＝∠HCB，∴∠HBC＝∠GFB，∴GBG＝FG；解图②解：EGGF＝【解法提示】

如解图③，取BD中点H，连接EH，AF.

过点F作AD的垂线，垂足为点R.∵BG＝FG，AG＝FG，∴BG＝AG，∵点E是AB中点，不难看出GE垂直平分AB，即FE垂直平分AB，∴BF＝AF.

令AD＝DC＝2，∴EH＝FC＝12AD＝1(参考问题探究的结论)，易知四边形FCDR是矩形，∴RD＝FC＝1，∴AR＝AD－RD＝1，在Rt△ARF中，由勾股定理，得AF＝5，∴BF＝AF＝5.∵EH∥BF，∴EGGF＝EHBF解图③24.抛物线y＝12x2＋2x－52交x轴于A，B两点(A在B的右边)，交y轴于点(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)如图①，连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q.若BC平分线段PQ，求点P的坐标；(3)如图②，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点(点E在x轴下方)，线段DE交抛物线于另一点G，连接FG.若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．24.解：(1)A(1，0)，B(－5，0)，C(0，－52)【解法提示】

由y＝12x2＋2x－52，当x＝0时，y＝－52，则C(0，－52)，当y＝0，即12x2＋2x－52＝0，解得x1＝－5，x2＝1.∵A在B的右边，∴A(1，0)，B(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(1，0)，C(0，－52)代入得，k＋b＝∴