2024年北京市初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2024年北京市初中学业水平考试·数学全卷总分:120分考试时间:80分钟第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()1.B2.如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为()A.

29° B.

32° C.

45° D.

58°2.B3.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正解的是()A.b>－1

B.|b|＞2

C.a＋b＞0

D.ab＞03.C4.若关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为()A.

－16 B.

－4 C.

4 D.

164.C5.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是()A.14 B.C.12 D.5.A6.为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位)，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为()A.

8×1016 B.

2×1017C.

5×1017 D.

2×10186.D7.下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；(2)作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；(3)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是()A.

三边分别相等的两个三角形全等B.

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C.

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D.

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等7.A8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点，将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H.对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是()A.

①③

B.

①④

C.

②③

D.

②④8.B【解析】如解图，连接A′B，C′D，OH，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，∴A，D′，B′C四点共线，A′，B，D，C′四点共线，且OD＝OD′＝OB＝OB′，OA＝OA′＝OC＝OC′，∴AD′＝C′D，∠D′AH＝∠DC′H＝30°，∵∠D′HA＝∠DHC′，∴△AD′H≌△C′DH，∴D′H＝DH，C′H＝AH，同理可证D′E＝BE，BF＝B′F，B′G＝DG，∵∠EA′B＝∠HC′D＝30°，A′B＝C′D，∠A′BE＝∠C′DH＝120°，∴△A′BE≌△C′DH，∴DH＝BE，∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，∴该八边形各边长都相等，故①正确；根据题意，得∠ED′H＝120°，∵∠D′OD＝90°，∠OD′H＝∠ODH＝60°，∴∠D′HD＝150°，∴该八边形各内角不相等，∴②错误；∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，∴△D′OH≌△DOH，∴∠D′OH＝∠DOH＝45°，∠D′HO＝∠DHO＝75°，故OD≠OH，∴点O到该八边形各顶点的距离都相等错误，∴③错误；∵OD＝OD′＝OB＝OB′，且∠ED′H＝∠HDG＝∠GB′F＝∠FBE，根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，∴④正确．解图第二部分非选择题二、填空题(共16分，每题2分)9.若x－9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是9.x≥910.分解因式：x3－25x＝________．10.x(x＋5)(x－5)11.方程12x＋3＋1x＝11.x＝－112.在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(3，y1)和(－3，y2)，则y1＋y2的值是

12.013.某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位：g)，得到的数据如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x(单位：g)满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是________．13.16014.如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝________°.14.55【解析】∵直径AB平分弦CD(不是直径)，∴AB⊥CD，∴∠B＝90°－∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°.15.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G.若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为________．15.27【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD＝∠DGC＝90°，∵∠CDG＋∠ADF＝90°，∠CDG＋∠DCG＝90°，∴∠ADF＝∠DCG，∴△DAF≌△CDG，∴DF＝CG＝4，由勾股定理得，AF＝3，∵∠DAF＋∠FAE＝∠FAE＋∠FEA＝90°，∴∠DAF＝∠AEF，且∠DFA＝∠AFE＝90°，∴△DAF∽△AEF，∴DFAF＝AFEF，即AF2＝DF·EF，∴EF＝94，∴S△AEF＝3×916.联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长(单位：min)如下：节目ABCD演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).若节目按“A－B－C－D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为________min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排．16.60；C－A－B－D【解析】D演员的候场时间为30＋20＋10＝60min；若使这23位演员的候场时间之和最小，就要将人数比较多的C和A放在B和D前面，第一个节目不需要候场，第二个节目的候场时间是第一个节目的彩排时间，∴将彩排时长较短的C排在A前面，同理将B排在D前面，∴顺序是C－A－B－D.三、解答题(共68分，第17－19题每题5分，第20－21题每题6分，第22－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：(π－5)0＋8－2sin

30°＋|－2|.17.解：原式＝1＋22－2×12＋＝1＋22－1＋2＝32.18.解不等式组：318.解：令3（解①得，x<7，解②得，x>－1，∴不等式组的解集为－1<x<7.19.已知a－b－1＝0，求代数式3（a－19.解：3＝3＝3a∵a－b－1＝0，∴a－b＝1，∴原式＝3.20.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC.(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；(2)若∠EFB＝90°，tan

∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．20.(1)证明：∵DF＝FB，∴F是BD的中点，∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，即CF∥AD，∵AF∥DC，∴四边形AFCD

为平行四边形；(2)解：由(1)得，AD＝CF＝2EF＝2，∵在Rt△EFB中，tan

∠FEB＝BFEF＝3，EF＝1，∴BF∴在Rt△CFB中，由勾股定理，得BC＝CF2＋B21.为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．21.解：改进后A类物质排放量符合“标准”，理由如下：设改进前A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为(92－x)mg/km，根据题意有(1－50%)x＋(1－75%)(92－x)＝40,解得x＝68，∴改进后A类物质排放量是(1－50%)×68＝34mg/km，∵34＜35，∴改进后A类物质排放量符合“标准”．22.在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝－kx＋3的图象交于点(2，1).(1)求k，b的值；(2)当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝kx＋b的值，也大于函数y＝－kx＋3的值，直接写出m的取值范围．22.解：(1)∵函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝－kx＋3的图象交于点(2，1)，∴把(2，1)代入y＝－kx＋3，得k＝1，把k＝1，(2，1)代入y＝kx＋b，得b＝－1；(2)m≥1.【解法提示】∵当x>2时，函数y＝mx(m≠0)的值大于函数y＝kx＋b和函数y＝－kx＋b的值，且k＝1，－k＝－1，∴m≥1.23.某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．教师评委打分：86889091919191929298b．学生评委打分的频数分布直方图如下(数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100)：c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m的值为________，n的值位于学生评委打分数据分组的第________组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x，则x______91(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是________，表中k(k为整数)的值为________．23.解：(1)①91，4；【解法提示】教师评委打分中，91出现的次数最多，∴众数是91；45个学生评委打分的数据，按照从小到大的顺序排列，中位数是第23位，∴在第4组．②＜；【解法提示】x＝88＋90＋91(2)甲；92.【解法提示】x甲＝93＋90＋92＋93＋925＝92，x乙＝91＋92＋92＋92＋925＝91.8，s甲2＝15[(93－92)2＋(90－92)2＋(92－92)2＋(93－92)2＋(92－92)2]＝1.2，s乙2＝15[(91－91.8)2＋(92－91.8)2＋(92－91.8)2＋(92－91.8)2＋24.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.(1)求证：OD∥BC；(2)延长DO交于⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P，若OFBF＝56，PE＝1，求⊙24.(1)证明：∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝12∠AOC∵A⌢＝A⌢，∴∠ABC＝12∠AOC＝∠AOD，∴OD(2)解：如解图，连接AC，设⊙O的半径为r.∵OD∥BC，∴△FEO∽△FCB，∴OFBF＝OEBC＝56，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴在Rt△ACB中，sin

∠BAC＝BCAB＝65∵BP为⊙O的切线，∴∠PBO＝90°.∵∠POB＝∠ABC，∴∠P＝∠BAC，∴sinP＝sin

∠BAC＝35∵在Rt△POB中，sinP＝BOPO＝rr＋1＝35解图25.小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯(记为2号杯)示意图如下．当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1(单位：cm)和2号杯的水面高度h2(单位：cm)，部分数据如下：V/mL040100200300400500h1/cm02.55.07.510.012.5h2/cm02.84.87.28.910.511.8(1)补全表格(结果保留小数点后一位)；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为________cm(结果保留小数点后一位)；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为________cm(结果保留小数点后一位).25.解：(1)1.0；【解法提示】由题意得，设V与h1的函数关系式为V＝kh1(k≠0)，由表格数据得：100＝2.5k，解得k＝40，∴V＝40h1，∴当V＝40时，40h1＝40，∴h1＝1.0cm.(2)画出函数图象如解图①；解图①(3)①1.2；【解法提示】①当V＝320

mL时，h1＝32040＝8

cm，由解图②可知高度差CD≈1.2

cm②8.5.【解法提示】②由解图②可知，当两个水杯的水面高度相同时，高度约为8.5cm.解图②26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0).(1)当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知M(x1，y1)和N(x2，y2)是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围．26.解：(1)∵当a＝1时，y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴此时顶点坐标为(1，－1)；(2)∵y＝ax2－2a2x＝a(x－a)2－a3，∴对称轴为直线x＝a，分两种情况：①当a>0时，如解图①，∵x1＝3a，3≤x2≤4，y1<y2，∴此时3a<3，∴a<1，又∵a>0，∴0<a<1；②当a<0时，如解图②，∵x1＝3a，3≤x2≤4，y1<y2，∴此时－a>4，解得a<－4，又∵a<0，∴a<－4.综上，a的取值范围是0<a<1或a<－4.27.已知∠MAN＝α(0°＜α＜45°)，点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°－2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E.(1)如图①，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；(2)如图②，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明．27.(1)证明：如解图①，连接CD，∵线段BC绕点B顺时针旋转180°－2α得到线段BD，∴BC＝BD，∴∠BDC＝180°－（180°－2α）2＝α，∴∠∵∠CDE＝90°－∠BDC＝90°－α，∠AED＝90°－∠A＝90°－α，∴∠CDE＝∠AED，∴CD＝CE，∴CA＝CE，即C是AE的中点；解图①(2)解：EF＝2AC，证明：如解图②，将射线BA绕B点顺时针旋转180°－2α交AE于点H，连接DH，取EF的中点G，连接DG.∵∠A＝α，∠ABH＝180°－2α，∴∠BHA＝α，∴BA＝BH.∵BC＝BD，∠CBD＝180°－2α，∴∠CBA＝∠DBH，∴△CBA≌△DBH(SAS)，∴CA＝DH，∠DHB＝α，∴∠FHD＝2α.∵∠A＝α，DF∥AN，∴∠EFD＝α，∠FDE＝90°.∵G为EF的中点，∴GE＝GF＝GD＝12EF，∴∠DGE＝2α∴DG＝DH，∴AC＝DG＝12EF，即EF＝2AC解图②28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”．(1)如图，点A(0，1)，B(1，0).①在点C1(2，0)，C2(1，2)，C3(12，0)中，点________是弦AB的“α可及点”，其中α＝________°②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为________；(2)已知P是直线y＝3x－3上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围．28.解：(1)①C2，45；【解法提示】

如解图①，作出⊙O关于弦AB的对称圆⊙O′，连接O′A，O′B，O′C1，O′C2，O′C3.∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，∴点C应在⊙O′的圆内或圆上，∵点A(0，1)，B(1，0)，∴OA＝OB＝1，而∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，由对称得：∠O′BA＝∠O′AB＝45°，∴△O′BA为等腰直角三角形，∴O′(1，1)，则C1O′＝12＋12＝2>1，故C1在⊙O′外，不符合题意；C2O′＝2－1＝1，故C2在⊙O′上，符合题意；C3O′＝（12）2＋12＝52>1，故C3在⊙O′外，不符合题意，∴点C2是弦AB的“α可及点”，可知B，O′，C2三点共线，连接AC2，∵A⌢＝A⌢，∴α解图①②1＋【解法提示】如解图②，取AB的中点H，以点H为圆心，HA为半径，作⊙H，在⊙H上取一点D，连接DH，AD，BD，则∠ADB＝90°，