2023年台州市初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2023年台州市初中学业水平考试·数学一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)1.下列无理数中，大小在3与4之间的是()A.7 B.22C.13 D.171.C【解析】∵4<7<9，∴2<7<3，即7在2和3之间，故A不符合题意；∵4<8<9，∴2<22<3，即22在2和3之间，故B不符合题意；∵9<13<16，∴3<13<4，即13在3和4之间，故C符合题意；∵16<17<25，∴4<17<5，即17在4和5之间，故D不符合题意．2.下列各数中，最小的是()A.2 B.1 C.1 D.－22.D【解析】正数大于负数，负数比较大小，其绝对值越大，数值越小．∵|－1|＝1，|－2|＝2，1<2，∴－2<－1<1<2.3.如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是()3.C【解析】从前往后看，有两层，上面一层最左侧有一个小正方形，下面一层有三个小正方形，故其主视图如选项C所示．4.下列运算正确的是()A.2(a－1)＝2a－2 B.(a＋b)2＝a2＋b2C.3a＋2a＝5a2 D.(ab)2＝ab24.A【解析】2(a－1)＝2a－2，故A正确；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≠a2＋b2，故B错误；3a＋2a＝5a≠5a2，故C错误；(ab)2＝a2b2≠ab2，故D错误．5.不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为()5.B【解析】∵x＋1≥2，∴x≥1，在数轴上表示如选项B所示．6.如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为(－2，2)，则“炮”所在位置的坐标为()A.(3，1) B.(1，3) C.(4，1) D.(3，2)6.A【解析】由平面直角坐标系可知，“炮”所在位置的坐标为(3，1)．7.以下调查中，适合全面调查的是()A.了解全国中学生的视力情况B.检测“神舟十六号”飞船的零部件C.检测台州的城市空气质量D.调查某池塘中现有鱼的数量7.B【解析】了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故A不符合题意；检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合全面调查，故B符合题意；检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故C不符合题意；调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故D不符合题意．8.如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为()A.2 B.2C.4＋22 D.4－228.D【解析】如解图，连接OA，OB，延长OB交⊙O于点E，∵四边形ABCD是正方形，点O是四边形ABCD的中心，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∴OA2＋OB2＝AB2＝16，解得OB＝22(负值已舍去)．由题意得，圆上的点到正方形边上的距离最小为BE，最小值为4－22.解图9.如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是()

A.若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBCB.若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BEC.若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBCD.若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE9.A【解析】在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，当CD＝BE时，无法证明△BDC≌△CEB，无法得到∠DCB＝∠EBC，故A是假命题；∵∠DCB＝∠EBC，BC＝CB，∠DBC＝∠ECB，∴△BDC≌△CEB(ASA)，∴CD＝BE，BD＝CE，故B，D是真命题；∵BD＝CE，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(SAS)，∴∠DCB＝∠EBC，故C是真命题．10.抛物线y＝ax2－a(a≠0)与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＜0，则直线y＝ax＋k一定经过()A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限10.D【解析】∵抛物线y＝ax2－a与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，令ax2－a＝kx，整理得ax2－kx－a＝0，∴x1＋x2＝ka＜0，∴k>0，a<0或k<0，a>0，当k>0，a<0时，y＝ax＋k过第一、二、四象限；当k<0，a>0时，y＝ax＋k过第一、三、四象限，∴y＝ax＋k一定过二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)11.因式分解：x2－3x＝________．11.x(x－3)【解析】x2－3x＝x(x－3)．12.一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是________．12.25【解析】∵口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球，且摸到每个球的可能性相同，∴随机摸出一个小球，摸出红球的概率是2513.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．

13.140°【解析】如解图，由折叠的性质得∠1＝∠3＝20°，由题意得AB∥CD，∴∠4＝∠1＋∠3＝40°，∴∠2＝180°－∠4＝140°.解图14.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________．

14.25【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD＝6，AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBC，在△ABE和△FCB中，∠A＝∠BFC，∠AEB＝∠FBC，BE＝CB，∴△ABE≌△FCB，∴BE＝CB＝6，BF＝AE，∴AE＝BE2－AB2＝62－42＝215.3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________

人．15.3【解析】设第一组有x人，根据题意可得，12x＝36x＋6，解得x＝3，经检验x＝3是分式方程的解，且符合题意，所以第一16.如图，点C，D在线段AB上(点C在点A，D之间)，分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b.CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c.

(1)若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为________．(2)若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为________．16.(1)5a＋5b＝7c；(1)如解图，∵△ADE和△BCF是等边三角形，∴∠A＝∠ADE＝∠B＝∠BCF＝60°，∴AG∥CF，BG∥DE，△CDH是等边三角形，∴四边形EHFG是平行四边形，∴EG＝FH，EH＝GF，∵AE＝a，AG＝c，∴FH＝EG＝c－a，又∵CF＝b，∴CH

＝b－(c－a)＝a＋b－c，∴等边三角形CDH的周长是3a＋3b－3c，FG＝EH＝DE－DH＝a－(a＋b－c)＝c－b，∴平行四边形EHFG的周长为2(c－a)＋2(c－b)，∴2(c－a)＋2(c－b)＝3a＋3b－3c，∴5a＋5b＝7c；(2)a2＋b2＝c2(2)过点F作FM⊥AG，过点H作HI⊥CD，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABG为等边三角形，∴∠G＝60°，由(1)知，FG＝c－b，∴MF＝32(c－b)，∴平行四边形EHFG的面积为32(c－b)(c－a)，∵△CDH是等边三角形，CH

＝a＋b－c，∴△CDH的面积为34(a＋b－c)2，∵四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，∴32(c－b)(c－a)＝34(a＋b－c)2，∴a2＋b解图三、解答题(本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分)17.计算：22＋|－3|－25.17.解：原式＝4＋3－5＝2.18.解方程组：x18.解：x①＋②，得3x＝9.∴x＝3.把x＝3代入①，得y＝4.∴这个方程组的解是x19.教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°.黑板上投影图像的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC长．(结果精确到1cm.参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67)

19.解：在Rt△ABC中，AB＝120，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，∴AC＝AB·tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80∴AC的长约为80cm.20.科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm.

(1)求h关于ρ的函数解析式．(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ.

20.解：(1)设h关于ρ的函数解析式为h＝kρ(ρ＞0)把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，∴h关于ρ的函数解析式为h＝20ρ(ρ＞0)(2)把h＝25代入h＝20ρ，得25＝20解得ρ＝0.8.答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3.21.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．

(1)证明：四边形ABCD是平行四边形．(2)已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上(保留作图痕迹，不要求写作法)．21.(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵∠A＝∠C，∴180°－(∠ADB＋∠A)＝180°－(∠CBD＋∠C)，∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；(2)解：如解图，四边形BEDF就是所求作的菱形．解图22.我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点(不与点A重合，且在直径AB的同侧)，分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D.

(1)如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长．(2)如图2，当AQAB＝34，B⏜＝P⏜时(3)如图3，当sin∠BAQ＝64，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出PQB22.解：(1)如解图①，连接OP，设∠BOP的度数为n，∵AB＝6，BP长为π，BP为圆心角为n的圆弧，∴n·π·3180＝π，∴n＝60°，即∠BOP＝60°，∴∠BAP＝∵直线l是⊙O的切线，B为切点，AB是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴BC＝AB3＝2解图①(2)如解图②，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，∵AB为⊙O的直径，∴∠BQA＝90°，∴cos∠BAQ＝AQAB＝∵B⏜＝P⏜，∴∠BAC＝∠∵CF⊥AD，AB⊥BC，∴CF＝CB.∵∠BAQ＋∠ADB＝90°，∠FCD＋∠ADB＝90°，∴∠FCD＝∠BAQ，∴BCCD＝FCCD＝cos∠FCD＝cos解图②(3)104【解法提示】如解图③，连接BQ，∵AB为⊙O的直径，l为⊙O的切线，∴∠AQB＝∠APB＝∠ABC＝90°，∵∠BAQ＝∠BAD，∴∠ABQ＝∠ADB，∵∠APQ＝∠ABQ，∴∠APQ＝∠ADB，∵∠PAQ＝∠DAC，∴△PAQ∽△DAC，∴PQDC＝APAD，∵∠APB＝∠ABC，∠BAP＝∠CAB，∴△APB∽△ABC，∴PBBC＝APAB，∵BC＝CD，∴PQBP＝ABAD＝cos∠BAQ，∵sin∠BAQ＝解图③23.为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试(前测，总分25分)，经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试(后测)，得到前测和后测数据并整理成表1和表2.表1：前测数据测试分数x0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤2020＜x≤25控制班A289931实验班B2510821表2：后测数据测试分数x0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤2020＜x≤25控制班A14161262实验班B6811183(1)A，B两班的学生人数分别是多少？(2)请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．(3)通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．23.解：(1)A班的人数：28＋9＋9＋3＋1＝50(人)B班的人数：25＋10＋8＋2＋1＝46(人)答：A班的学生人数是50人，B班的学生人数是46人；(2)xA＝14×2.5xB＝6×从平均数看，B班成绩好于A班成绩；从中位数看，A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，B班成绩好于A班成绩；A班：2＋650B班：18＋从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩；(3)前测结果中：xA＝(28×2.5＋9×7.5＋9×12.5＋3×17.5＋1×22.5)÷50＝6.5xB＝(25×2.5＋10×7.5＋8×12.5＋2×17.5＋1×22.5)÷46≈6.4从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．从中位数看，两班前测中位数均在0＜x≤5这一范围，后测A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．A班：（6＋2B班：（18＋3从百分率看，A班15分以上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．24.【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为

30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm(观察值)302928.12725.8

任务1分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：

“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察