专题20 锐角三角函数（讲义）

专题20锐角三角函数的核心知识点精讲复习目标1.通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比，熟记特殊角30°，45°，60°的三角函数值；2.理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，锐角三角函数的有关知识来解某些简单的实际问题，从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识；3.会用锐角三角函数的有关知识来解决某些简单的实际问题。考点梳理考点1：锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．考点2：特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°考点3：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.注意：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点4：解直角三角形的应用（1）坡度坡角在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.（2）仰角俯角问题仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.（3）方位角问题方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.典例引领【题型1：锐角三角函数的概念】【典例1】（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3即时检测【变式1-1】（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（）A． B． C．60 D．80【变式1-2】（2023•陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（）A． B． C． D．【变式1-3】（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（）A． B． C． D．典例引领【题型2：特殊角的三角函数】【典例2】（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．即时检测【变式2-1】（2022•广东）sin30°＝．【变式2-2】（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．【变式2-3】（2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．典例引领【题型3：解直角三角形】【典例3】（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．即时检测【变式3-1】（2023•牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm．【变式3-2】（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．【变式3-3】（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（）A．2 B．3 C． D．2典例引领【题型4：解直角三角形的应用】【典例4】（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）即时检测【变式4-1】（2023•盐城）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，则线段AB的长约为m．（计算结果保留整数，参考数据：≈1.7）【变式4-2】（2023•贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）【变式4-3】（2023•成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）基础过关一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（）A． B． C． D．2．2sin45°的值为（）A． B．1 C． D．3．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（）A． B． C． D．4．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米5．如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，则边AB的长为（）A． B． C． D．6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝10，CD＝8，则∠OCE的余弦值为（）A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，若，BC＝8，则△ABC的面积为（）A．5 B．8 C．10• D．168．某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝3m，则灯顶A到地面的高度为（）A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25° C． D．9．某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．1210．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（）米．A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5二．填空题（共5小题）11．cos30°＝．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，则sinA＝．13．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则tan∠A的值为．14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）15．某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度BC为米．三．解答题（共5小题）16．计算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．17．为保证车辆行驶安全，现在公路旁设立一检测点A观测行驶的汽车是否超速．如图，检测点A到公路的距离是24米，在公路上取两点B、C，使得∠ACB＝30°，∠ABC＝120°．（1）求BC的长（结果保留根号）；（2）已知该路段限速为45千米/小时，若测得某汽车从B到C用时2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）18．小琪要测量某建筑物的高度．如图，小琪在点A处测得该建筑物的最高点C的仰角为31°，再往该建筑物方向前进30m至点B处测得最高点C的仰角为45°．根据测得的数据，计算该建筑物的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．19．如图，一气球到达离地面高度为12米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．气球要竖直上升到与楼顶同一水平高度，应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）20．贵州省遵义市凤凰楼，位于凤凰山主峰，该楼为一幢七层六角型仿古景观建筑，游客登上楼顶后，可以将遵义城区风景一览无余，是当地识别性很高的地标建筑．在一次综合实践活动中，某小组对凤凰楼的楼高进行了如下测量．如图，将测角仪放在楼前平坝C处测得该楼顶端B的仰角为60°，沿平坝向后退50m（CD＝50m）到D处有一棵树，将测角仪放在距地面2m（DE＝2m）的树枝上的E处，测得B的仰角为30°．请你帮助该小组计算凤凰楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：能力提升一．选择题（共10小题）1．如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC＝45°．当梯子底端点B水平向左移动到点B'，端点A沿墙竖直向上移动到点A'，设∠A'B'C＝α，则AA'的长可以表示为（）m．A． B． C． D．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（）A．6.4 B．7 C．7.2 D．83．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．140m B． C． D．4．在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度AE＝CF＝1.65米，AC＝28米，则树BD的高度是（）【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米5．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（）A． B． C． D．6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（）A． B． C． D．7．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠CDB的值为（）A． B． C． D．38．小明喜欢构建几何图形，利用数形结合的思想解决代数问题．在计算tan22.5°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，所以，＝，类比小明的方法，计算tan15°的值为（）A． B． C． D．9．如图，大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝4m，坝高AE＝6m，斜坡AB的坡度，斜坡DC的坡角∠C＝45°，那么坝底BC的长度是（）m．A．6 B．（6+4） C．10 D．（6+10）10．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题）11．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为米．（，结果精确到0.1）12．如图是一个水坝的横截面示意图（AD∥BC），迎水坡AB的坡比i＝1：3，坡面长AB＝30米，背水坡CD的坡角∠BCD＝45°，则背水坡坡面CD长是米．（注：坡比是斜坡的铅直高度与水平宽度的比）13．如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点F处仰望楼顶C，仰角为60°，眼睛D、B离同一水平地面EG的高度为1.6米，FG＝20米，则楼顶C离地面的高度CE约是米（取1.732，取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1）．14．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D1、点E1、点F1分别是EF，EB，FB边的中点，连接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面积记作S1，照此规律作下去，则S2023＝．三．解答题（共3小题）16．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）17．一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为24°．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q处，此时测得该建筑物底端B的俯角为66°．已知建筑物AB的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°，sin66，cos66，tan66°）18．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）真题感知1．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为．2．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为．．3．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝．4．（2022•河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝．5．（2023•枣庄）如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为米．（结果保留根号）6.（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．7．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若＝，则tan∠BCF的值为．8．（2022•东营）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）．9．（2023•青海）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中A，C两处分别向B处铺设，现测得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C两点间的距离．（结果取整数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）10．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的长．

专题20锐角三角函数的核心知识点精讲典例引领【题型1：锐角三角函数的概念】【典例1】（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3【答案】C【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故选：C．即时检测【变式1-1】（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（）A． B． C．60 D．80【答案】D【解答】解：在直角三角ABC中，∵AC＝100，sinA＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，故选：D．【变式1-2】（2023•陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：连接AD，则∠ADB＝90°，∵AD＝＝2，AB＝＝，∴sinB＝＝＝，故选：A．【变式1-3】（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x＝，∴cos∠ADF＝，故选：C．典例引领【题型2：特殊角的三角函数】【典例2】（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．即时检测【变式2-1】（2022•广东）sin30°＝．【答案】．【解答】解：sin30°＝．故答案为：．【变式2-2】（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式2-3】（2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．【答案】0．【解答】解：原式＝1+2﹣1﹣2×1＝1+2﹣1﹣2＝0．典例引领【题型3：解直角三角形】【典例3】（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．【答案】．【解答】解：设AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案为：．即时检测【变式3-1】（2023•牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．【答案】（2+2）．【解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，∴∠BOC＝∠AOC，∵BC∥OA，∴∠BCO＝∠AOC，∴∠BCO＝∠BOC，∴BC＝OB，∵△ODB是等腰直角三角形，∴OB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．故答案为：（2+2）．【变式3-2】（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，则BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：．【变式3-3】（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（）A．2 B．3 C． D．2【答案】C【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故选：C．典例引领【题型4：解直角三角形的应用】【典例4】（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）【答案】（1）47°；（2）3.3米．【解答】解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，答：∠BAD的度数是47°．（2）在Rt△ABC中，，∴．在Rt△ADC中，，∵BD＝4，∴，∴，∴AC≈3.3（米），答：表AC的长是3.3米．即时检测【变式4-1】（2023•盐城）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，则线段AB的长约为15m．（计算结果保留整数，参考数据：≈1.7）【答案】15．【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∠ACB＝∠ADB+∠CAD，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝17.5m，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝AC•sin∠ACB＝AC≈15m，故答案为：15．【变式4-2】（2023•贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）【答案】（1）600m；（2）1049m．【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，∴AB＝（m），即AB的长约为600m；（2）延长BC交DF于G，∵BC∥AE，∴∠CBE＝90°，∵DF⊥AF，∴∠AFD＝90°，∴四边形BEFG为矩形，∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，∴CG＝CD•cos∠DCG＝600×cos45°＝600×＝（m），∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），即AF的长为1049m．【变式4-3】（2023•成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）【答案】阴影CD的长约为2.2米．【解答】解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：在Rt△ABT中，BT＝AB•sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB•cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，∴四边形ATCK是矩形，∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），在Rt△AKD中，∵∠ADK＝45°，∴DK＝AK＝2.6米，∴CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2（米），∴阴影CD的长约为2.2米．基础过关一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴sinA＝＝，故选：D．2．2sin45°的值为（）A． B．1 C． D．【答案】A【解答】解：2sin45°＝2×＝．故选：A．3．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接BC，由题意可得：OB＝OC＝BC，则△OBC是等边三角形，故sin∠AOC＝sin60°＝．故选：D．4．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．∴BC＝30tanα．故选：A．5．如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，则边AB的长为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵sin∠DAC＝，∴tan∠DAC＝，∴＝，∵BD＝6，CD＝3，∴AD＝6，由勾股定理可知：AB2＝BD2+AD2，∴AB＝6，故选：D．6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝10，CD＝8，则∠OCE的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵AB＝10，∴OC＝AB＝5，∵AB⊥CD，且AB为⊙O的直径，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝CD＝4，∴cos∠OCE＝＝，故选：B．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，若，BC＝8，则△ABC的面积为（）A．5 B．8 C．10• D．16【答案】D【解答】解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AE，在Rt△CEF中，，∴设EF＝3k，则DF＝4k，由勾股定理得：，∵DE垂直平分AB，∴∠BDE＝90°，BE＝AE，在Rt△BDE中，，在Rt△CEF中，，∵点D为AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD，∴∠B＝∠BCD，∴sin∠B＝sin∠BCD，即：，∴，∴，即：，又∵BC＝8，∴CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝5，∴AE＝BE＝5，在Rt△ACE中，CE＝3，AE＝5，由勾股定理得：，∴．故选：D．8．某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝3m，则灯顶A到地面的高度为（）A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25° C． D．【答案】B【解答】解：连接AB，延长DC交AB于点E，由题意可知：∠ACE＝∠ACB＝65°，在Rt△ACD中，cos∠ACE＝cos65°＝，∴CE＝1.2cos65°（m），∴点A到地面的高度为：CE+CD＝（1.2cos65°+3）m，∵cos65°＝sin25°，∴CE+CD＝（1.2sin25°+3）m，故选：B．9．某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【解答】解：由在Rt△ABC中，cos∠ACB＝＝，设BC＝4x，AC＝5x，则AB＝3x，则sin∠ACB＝＝；又∵AB＝6m，∴AC＝10m．故选：C．10．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（）米．A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5【答案】A【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos∠BAM＝5米，BM＝AB•sin∠BAM＝5米．在Rt△ADE中，AE＝10米，∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan∠DAE＝10米．在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5）米，∠CBN＝45°，∴CN＝BN•tan∠CBN＝（10+5）米，∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+5+5﹣10＝（15﹣5）米．故选：A．二．填空题（共5小题）11．cos30°＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：cos30°＝．故答案为：．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，则sinA＝．【答案】．【解答】解：sinA＝＝．故答案为：．13．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则tan∠A的值为．【答案】．【解答】解：设AB边上靠近点B的格点为D，连接CD，如图：∵网格中小正方形的边长为1，∴，，∵BD，CD为小正方形的对角线，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，，，∴．故答案为：．14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为49cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）【答案】49．【解答】解：如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB＝90°，∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°，∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm），故答案为49．15．某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度BC为8米．【答案】8．【解答】解：∵坡度为i＝1：2，AC＝4米，∴BC＝4×2＝8（米），故答案为：8．三．解答题（共5小题）16．计算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．【答案】1．【解答】解：3tan30°+tan45°﹣2sin60°＝3×+1﹣2×＝+1﹣＝1．17．为保证车辆行驶安全，现在公路旁设立一检测点A观测行驶的汽车是否超速．如图，检测点A到公路的距离是24米，在公路上取两点B、C，使得∠ACB＝30°，∠ABC＝120°．（1）求BC的长（结果保留根号）；（2）已知该路段限速为45千米/小时，若测得某汽车从B到C用时2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）【答案】（1）16；（2）超速．【解答】解：（1）过点A作BC的垂线，垂足即为点D．由题意得，AD＝24m，在Rt△ADC中，，解得．在Rt△ABD中，，解得，所以BC＝CD﹣BD＝（米）；（2）汽车从B到C用时2秒，所以速度为（米/秒），因为13.6米/秒＝48.96千米/小时＞45千米/小时，（或因为45千米/小时＝12.5米/秒＜13.6米/秒），所以此汽车超速．18．小琪要测量某建筑物的高度．如图，小琪在点A处测得该建筑物的最高点C的仰角为31°，再往该建筑物方向前进30m至点B处测得最高点C的仰角为45°．根据测得的数据，计算该建筑物的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．【答案】该建筑物的高度CD是45米．【解答】解：设BD＝xm，∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，∴BD＝CD＝xm，在Rt△ACD中，∠CAD＝31°，∴tan31°＝＝，解得：x≈45m，答：该建筑物的高度CD是45m．19．如图，一气球到达离地面高度为12米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．气球要竖直上升到与楼顶同一水平高度，应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）【答案】气球应至少再上升5.2米．【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为点D，过A作AE⊥EC，垂足为点E，∴四边形AECD是矩形，∴CD＝AE，由题意可知：CD＝AE＝12，∠CAD＝60°，∠BAD＝37°，在Rt△ADC中，∴，在Rt△ADB中，∴BD＝AD×tan37°＝6.94×0.75＝5.205≈5.2（米）．答：气球应至少再上升5.2米．20．贵州省遵义市凤凰楼，位于凤凰山主峰，该楼为一幢七层六角型仿古景观建筑，游客登上楼顶后，可以将遵义城区风景一览无余，是当地识别性很高的地标建筑．在一次综合实践活动中，某小组对凤凰楼的楼高进行了如下测量．如图，将测角仪放在楼前平坝C处测得该楼顶端B的仰角为60°，沿平坝向后退50m（CD＝50m）到D处有一棵树，将测角仪放在距地面2m（DE＝2m）的树枝上的E处，测得B的仰角为30°．请你帮助该小组计算凤凰楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：【答案】46米．【解答】解：设BF＝xm，在Rt△BEF中，tan30°＝，∴EF＝＝x（m），∵EF∥AD，ED∥AF，∠BAD＝90°，∴四边形EFAD是矩形，∴AD＝EF＝x（m），ED＝AF＝2m，∴AB＝（x+2）m，在Rt△ABC中，AC＝＝（m），∴＝50+，解得x＝25+1，∴AB＝x+2＝25+1+2＝25+3≈46（m），答：凤凰楼的高度AB约为46米．能力提升一．选择题（共10小题）1．如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC＝45°．当梯子底端点B水平向左移动到点B'，端点A沿墙竖直向上移动到点A'，设∠A'B'C＝α，则AA'的长可以表示为（）m．A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝A′B′，在Rt△ACB中，AC＝1m，∠ABC＝45°，∴AB＝＝＝（m），∴AB＝A′B′＝m，在Rt△A′CB′中，∠A′B′C＝α，∴A′C＝A′B′•sinα＝sinα（m），∴AA′＝A′C﹣AC＝（sinα﹣1）m，故选：B．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（）A．6.4 B．7 C．7.2 D．8【答案】D【解答】解：如图所示，连接DO并延长交⊙O于F，连接EF，∵DO是直径，∴∠DEF＝90°，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，∴AB＝＝15，∴sin∠ABC＝＝，∵四边形BDFE是圆内接四边形，∴∠F+∠DBE＝180°，又∵∠ABC+∠DBE＝180°，∴∠ABC＝∠F，∴sin∠ABC＝sinF，在Rt△DEF中，sinF＝＝，∴DE＝DF＝10×＝8，故选：D．3．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．140m B． C． D．【答案】B【解答】解：如图：∵该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，∴BC＝×140＝70（m），∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴AC＝BC•tan60°＝70（m），∴则金字塔原来高度为70m，故选：B．4．在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度AE＝CF＝1.65米，AC＝28米，则树BD的高度是（）【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米【答案】D【解答】解：连接EF交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.65米，EF＝AC＝28米．设DM＝x米，∵在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，∴EM＝DM＝x米，∴MF＝（28﹣x）米，在Rt△DFM中，∠DFM＝37°，∴，即：，解得x＝12，即DM＝12米．∴BD＝DM+BM＝12+1.65＝13.65（米）．∴树BD的高度约为13.65米．故选：D．5．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如图，连接BE、AE．则：EB＝，AB＝．∵CD、BE、AE都是正方形的对角线，∴∠CDE＝∠BEF＝∠AEO＝∠BEO＝45°．∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEO+∠BEO＝90°．∴∠AOD＝∠ABE，△ABE是直角三角形．∴cos∠ABE＝＝＝．故选：D．6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，作OH⊥AB于H．由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝4，∵AH2+OH2＝OA2，∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），∴OA+OH＝，∴OA＝，OH＝，∴cos∠OAB＝＝＝，故选：B．7．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠CDB的值为（）A． B． C． D．3【答案】C【解答】解：∵∠CBD＝∠A，CD＝CD，∠C＝90°，∴△ABC∽△CDB，∴∠CDB＝∠B，∴sin∠CDB＝sin∠B，∵tanA＝＝，设CD＝1，则AC＝3，∴AB＝＝＝，∴sin∠B＝＝＝，∴sin∠CDB＝．故选：C．8．小明喜欢构建几何图形，利用数形结合的思想解决代数问题．在计算tan22.5°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，所以，＝，类比小明的方法，计算tan15°的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝1，∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，∵∠ABC是△ABD的一个外角，∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝30°，∵BA＝BD＝2，∴∠D＝∠BAD＝15°，在Rt△ACD中，∠D＝15°，∴tan15°＝＝＝＝2﹣，故选：C．9．如图，大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝4m，坝高AE＝6m，斜坡AB的坡度，斜坡DC的坡角∠C＝45°，那么坝底BC的长度是（）m．A．6 B．（6+4） C．10 D．（6+10）【答案】D【解答】解：如图，过D作DF⊥BC于F，∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE∥DF，∴四边形AEFD为平行四边形，又∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFD为矩形，∴AE＝DE＝6m，AD＝EF＝4m，∵斜坡AB的坡度，∴AE：BE＝，∴BE＝，∵斜坡DC的坡角∠C＝45°，∴△DFC为等腰直角三角形，∴FC＝DF＝6m，∴BC＝BE+EF+CF＝6+4+6＝．故选：D．10．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠BEA，∴△ABE∽△ACD，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝＝，设AD＝2a，则AC＝5a，根据勾股定理得到CD＝a，因而sinA＝＝．故选：B．二．填空题（共5小题）11．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为4.4米．（，结果精确到0.1）【答案】4.4．【解答】解：在直角三角形DCF中，∵CD＝5.4m，∠DCF＝30°，∴sin∠DCF＝＝＝，∴DF＝2.7，∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，∵AD＝BC＝2，∴cos∠ADE＝＝＝，∴DE＝，∴EF＝ED+DF≈2.7+1.73≈4.4（米）．答：车位所占的宽度EF约为4.4米．故答案为：4.4．12．如图是一个水坝的横截面示意图（AD∥BC），迎水坡AB的坡比i＝1：3，坡面长AB＝30米，背水坡CD的坡角∠BCD＝45°，则背水坡坡面CD长是6米．（注：坡比是斜坡的铅直高度与水平宽度的比）【答案】6．【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，∵迎水坡AB的坡比i＝1：3，∴＝，∴设AE＝x米，则BE＝3x米，在Rt△ABE中，AB＝＝＝x（米），∵AB＝30米，∴x＝30，∴x＝3，∴AE＝3米，∵AD∥BC，∴AE＝DF＝3米，在Rt△CDF中，∠DCF＝45°，∴CD＝＝＝6（米），故答案为：6．13．如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点F处仰望楼顶C，仰角为60°，眼睛D、B离同一水平地面EG的高度为1.6米，FG＝20米，则楼顶C离地面的高度CE约是48.9米（取1.732，取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1）．【答案】48.9．【解答】解：在直角△ABC中，∠CBA＝60°，设AB＝x，∴AC＝AB＝x，在直角△CDA中，∠CDA＝45°，则CA＝DA＝x，∴BD＝AD﹣AB＝x﹣x＝20，解得：x＝10（+1），∴AC＝x＝30+10，则CE＝AC+1.6＝30+17.32+1.6＝48.92≈48.9（米）．答：楼顶C离地面的高度CE约是48.9米．故答案为：48.9．14．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接DE，如图所示：在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°，同理得：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝＝a，∴sin（α+β）＝＝＝．故答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D1、点E1、点F1分别是EF，EB，FB边的中点，连接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面积记作S1，照此规律作下去，则S2023＝×（）2023．【答案】×（）2023．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，∴BC＝AC•tan60°＝2×＝2，由题意可得，S＝＝＝，S1＝×，S2＝×（）2，S3＝×（）3，…，∴Sn＝×（）n，∴S2023＝×（）2023，故答案为：×（）2023．三．解答题（共3小题）16．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【答案】（1）10米．（2）18.7米．【解答】解：（1）过点A作AH⊥PO于点H，由题意得，AP＝26米，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴＝，设AH＝5a米，则PH＝12a米，∴AP＝＝＝26，解得a＝2，∴AH＝10米．∴坡顶A到地面PO的距离为10米．（2）延长BC交PO于点D，由题意得，CD＝AH＝10米，AC＝DH，∠BPD＝45°，∠BAC＝76°，设BC＝x米，则BD＝（x+10）米，在Rt△BPD中，∠BPD＝45°，∴BD＝PD＝（x+10）米，∵PH＝24米，∴DH＝AC＝（x+10）﹣24＝（x﹣14）米，在Rt△ABC中，tan76°＝≈4.01，解得x≈18.7，经检验，x≈18.7是原方程的解且符合题意．∴网络信号塔BC的高度约为18.7米．17．一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为24°．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q处，此时测得该建筑物底端B的俯角为66°．已知建筑物AB的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°，sin66，cos66，tan66°）【答案】72．【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：设AC＝x米，∵∠APC＝24°，∠BQC＝66°，∴在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan24°≈，∴PC＝x（米），在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan66°≈，∴QC＝BC＝（AB+AC）＝（36+x）＝（16+x）米，∵PQ＝48米，∴PC﹣QC＝PQ＝48米，∴x﹣（16+x）＝48，解得：x＝36，∴BC＝AC+CB＝36+36＝72（米），答：无人机飞行时距离地面的高度约为72米．18．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）【答案】（1）观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在83分钟之内到达C处，理由见解答．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在83分钟之内到达C处，理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟，∴补给船能在83分钟之内到达C处．真题感知1．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sinA＝．故答案为：．2．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为．．【答案】．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案为：．3．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝3+3或3﹣3．【答案】3+3或3﹣3．【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②当△ABC为钝角三角形时，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，∵AB＝