专题23 圆的基本性质（讲义）

专题23圆的基本性质的核心知识点精讲复习目标1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点梳理考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。考点6：圆角角的概念圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=1推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。考点7：圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边是内接四边形∴典例引领【题型1：垂径定理及推论】【典例1】（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）A．20m B．28m C．35m D．40m即时检测1．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为．2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．23．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于cm．典例引领【题型2：圆周角和圆心角】【典例2】（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°即时检测1．（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°典例引领【题型3：弧、弦、圆心角】【典例3】（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°即时检测1．（2023•泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°2．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32° B．42° C．48° D．52°3．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（）A．140° B．120° C．110° D．70°4．（2023•牡丹江）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（）A．20° B．18° C．15° D．12°典例引领【题型4：圆内接四边形】【典例4】（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（）A．65° B．115° C．130° D．140°即时检测1．（2023•朝阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半径为3，则的长为（）A．π B．2π C．3π D．6π2.（2023•宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140°那么∠CDE＝°．3．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，基础过关一．选择题（共9小题）1．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（）A．38° B．76° C．80° D．60°2．如图，△ABC的三点都在⊙O上，AB是直径，∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．60°3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40° B．50° C．110° D．130°5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．则∠ADC的大小是（）A．130° B．120° C．110° D．100°7．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径长为（）A．2 B．2 C．4 D．108．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（）A．50° B．100° C．130° D．150°9．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．70°二．填空题（共5小题）10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是°．11．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是．12．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为cm．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．14．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝．三．解答题（共1小题）15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？能力提升一．选择题（共10小题）1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（）A．100° B．128° C．104° D．124°2．如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（）A．70° B．65° C．60° D．55°3．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（）A．38° B．40° C．42° D．44°5．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（）A．5 B．3 C．2 D．16．如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（）A． B．π C．2π D．4π7．如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（）A． B． C． D．8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（）A．16° B．24° C．12° D．14°9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝36°，则∠ABO的度数为（）A．36° B．45° C．54° D．72°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°二．填空题（共4小题）11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠B＝35°，∠APD＝77°，则∠A的大小是度．12．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，若AB＝6，则BD的长为．13．绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为m．14．如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数为．三．解答题（共2小题）15．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．16．图1是某希望小学放心食堂售饭窗口外遮雨棚的示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．遮雨棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖遮雨棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．真题感知1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°2．（2023•淄博）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．3．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，则的长为（）A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm4．（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（）A．56° B．33° C．28° D．23°5．（2023•凉山州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，则OC＝（）A．1 B．2 C．2 D．46．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是°．7．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝度．8．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是．9．（2023•永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为cm．10．（2023•常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝．（结果保留一位小数）

专题23圆的基本性质的核心知识点精讲典例引领【题型1：垂径定理及推论】【典例1】（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）A．20m B．28m C．35m D．40m【答案】B【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝（m），在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R＝≈28．故选：B．即时检测1．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为1．【答案】1．【解答】解：如图，连接OB，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OD⊥AB，∴＝，∠OEA＝90°，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，∴OE＝OA＝×2＝1，故答案为：1．2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解答】解：∵AD＝CD＝8，∴OB⊥AC，在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，∴OB＝10，∴BD＝10﹣6＝4．故选：B．3．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于10cm．【答案】10．【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则∠OEC＝90°，∵餐盘与BC边相切，∴点E为切点，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），设餐盘的半径为xcm，则OA＝OE＝xcm，∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴餐盘的半径为10cm，故答案为：10．典例引领【题型2：圆周角和圆心角】【典例2】（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，∴∠AOB＝80°．故选：D．即时检测1．（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：∵∠C＝30°，∴∠AOB＝2∠C＝60°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，故选：C．2．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°【答案】D【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，∴∠AOB＝110°，故选：D．典例引领【题型3：弧、弦、圆心角】【典例3】（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵＝，∴∠D＝∠ABC＝40°，故选：B．即时检测1．（2023•泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】A【解答】解：解法一：如图，连接OC，∵∠ADC＝115°，∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°，∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，∴∠BAC＝∠BOC＝25°，故选：A．解法二：∵∠ADC＝115°，∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，故选：A．2．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32° B．42° C．48° D．52°【答案】A【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°﹣48°＝32°，∵，∴∠B＝∠C＝32°．故选：A．3．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（）A．140° B．120° C．110° D．70°【答案】A【解答】解：连接OC，如图：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，∵C为的中点．∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝70°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，故选：A．4．（2023•牡丹江）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（）A．20° B．18° C．15° D．12°【答案】C【解答】解：∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵∠AOB＝4∠BOC，∴∠BOC＝30°，∴∠BAC＝∠BOC＝15°．故选：C．典例引领【题型4：圆内接四边形】【典例4】（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（）A．65° B．115° C．130° D．140°【答案】C【解答】解：∵∠DCE＝65°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠DCB＝180°，∴∠BAD＝65°，∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故选：C．即时检测1．（2023•朝阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半径为3，则的长为（）A．π B．2π C．3π D．6π【答案】B【解答】解：∵∠C＝120°，∴∠A＝180°﹣∠C＝60°，∴∠BOD＝2∠A＝120°，∴的长为＝2π，故选：B．2.（2023•宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140°那么∠CDE＝70°．【答案】70．【解答】解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，∴∠CDE＝70°．故答案为：70．3．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，【答案】C【解答】解：连接OB，OC，∵BC∥AD，∴∠DBC＝∠ADB，∴＝，∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，∵DB⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠CAD＝∠BDA＝45°，∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，∵OA＝OD，∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴AD＝OA＝，∴OA＝1，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故选：C．基础过关一．选择题（共9小题）1．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（）A．38° B．76° C．80° D．60°【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，∴∠AOB＝76°，故选：B．2．如图，△ABC的三点都在⊙O上，AB是直径，∠BAD＝50°，则∠ACD的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠BAD＝∠BCD＝50°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°．故选：A．3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【答案】B【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40° B．50° C．110° D．130°【答案】D【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：D．5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：C．6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．则∠ADC的大小是（）A．130° B．120° C．110° D．100°【答案】B【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，故选：B．7．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径长为（）A．2 B．2 C．4 D．10【答案】B【解答】解：连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝4，∴CE＝DE＝CD＝2，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∴△DOE为等腰直角三角形，∴OD＝DE＝2，即⊙O的半径为2，故选：B．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（）A．50° B．100° C．130° D．150°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°．故选：B．9．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．70°【答案】B【解答】解：如图，连接OA，OB，OB，OD，∵OA＝OC，∠AOC＝100°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠E＝30°，∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，故选：B．二．填空题（共5小题）10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是105°．【答案】105．【解答】解：∵∠BAD＝105°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．故答案为：105．11．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠ABD＝62°，则∠C的度数是28°．【答案】28°．【解答】解：连接AD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ABD＝62°，∴∠D＝90°﹣∠ABD＝28°，∴∠C＝∠D＝28°，故答案为：28°．12．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8cm，则槽的深度CD为2cm．【答案】2．【解答】解：如图，由题意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，则cm，在Rt△ADO中，由勾股定理得，OD＝＝3（cm），∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）．故答案为2．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2，1）．【答案】（2，1）．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．14．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝100°．【答案】100°．【解答】解：∵∠ABD＝50°，∴∠ACD＝50°，∵∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故答案为：100°．三．解答题（共1小题）15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．能力提升一．选择题（共10小题）1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（）A．100° B．128° C．104° D．124°【答案】C【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，故选：C．2．如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（）A．70° B．65° C．60° D．55°【答案】D【解答】解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∵E是的中点，∴，∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE＝55°，故选：D．3．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在AB上，若四边形ACBO为菱形，则∠APB为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：连接CO，∵四边形ACBO为菱形，∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，∴△OBC与△OAC是等边三角形，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，故选：C．4．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（）A．38° B．40° C．42° D．44°【答案】A【解答】解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝26°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠DCA＝∠B﹣∠BAC＝64°﹣26°＝38°，故选：A．5．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：连接OD交AC于F，如图，∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，∴AF＝CF，∵AB是直径，∴∠C＝90°，∴OD∥BC，∴∠D＝∠CBE，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，∵∠BEC＝∠DEF，∴△BCE≌△DFE（ASA），∴BC＝DF，∵OF＝BC，∴OF＝DF，∴OF＝OD，设BC＝x，则OD＝x，∴AB＝2OD＝3x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（3x）2＝（4）2+x2，解得x＝2，BC＝2．故选：C．6．如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（）A． B．π C．2π D．4π【答案】A【解答】解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，如图，∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，∴ED＝EO，∴OE＝OB，∵OD⊥BC，∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AC＝3．故选：A．7．如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵∠ACD＝30°，∠C＝∠AOD，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∵AN⊥OD，∴ON＝DN＝2，∴OA＝OD＝ON+DN＝4，∵M平分ON，∴MN＝ON＝1，∵△AOD是等边三角形，AN⊥OD，∴AN＝OA＝2，∴AM＝＝．故选：A．8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（）A．16° B．24° C．12° D．14°【答案】D【解答】解：∵AF为圆的直径，∴∠ABF＝90°，＝，∵＝，∴＝，∴∠DAF＝∠BAF＝32°，∴∠BAD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．故选：D．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝36°，则∠ABO的度数为（）A．36° B．45° C．54° D．72°【答案】C【解答】解：连接OA，∵∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2∠ACB＝72°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝54°，故选：C．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】D【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，由圆周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，故选：D．二．填空题（共4小题）11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠B＝35°，∠APD＝77°，则∠A的大小是42度．【答案】42．【解答】解：∵∠B＝35°，∠APD＝77°，∴∠A＝∠D＝∠APD﹣∠B＝77°﹣35°＝42°，故答案为：42．12．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，若AB＝6，则BD的长为3．【答案】3．【解答】解：连接AD，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∴△ADB是等腰直角三角形，∴2BD2＝AB2，即2BD2＝36，解得BD＝3．故答案为：3．13．绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为8m．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OA，∵CD＝8m，OA＝OC＝5m，∴OD＝8﹣5＝3（m），在Rt△AOD中，由勾股定理得，AD＝＝＝4（m），∴AB＝2AD＝8（m），故答案为：8．14．如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数为140°．【答案】140°．【解答】解：∵点A是⊙O中优弧BAD的中点，即＝，∴∠ADB＝∠ABD＝70°，∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝40°，∵∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣40°＝140°．故答案为：140°．三．解答题（共2小题）15．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【答案】0.4米．【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．16．图1是某希望小学放心食堂售饭窗口外遮雨棚的示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．遮雨棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖遮雨棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于F，如图，由垂径定理，可知：E是AB中点，F是中点，∴EF是弓形高，∴AE＝AB＝2，EF＝2，设半径为R米，则OE＝（R﹣2）米，在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝（R﹣2）2+（2）2，解得R＝4，∵sin∠AOE＝，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120度．∴的长为＝π（m），∴帆布的面积为π×60＝160π（平方米）．真题感知1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°【答案】D【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC＝∠BOC＝26°，故选：D．2．（2023•淄博）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延