专题25 圆的有关计算与证明（第2期）

专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E,AC=2BD．连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若，则∠

2．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA=2二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长AC到点G，使得CG=CB，连接GB，过点C作CD∥GB，交AB于点F，交点⊙O于点D，过点D作DE

(1)求证：DE与⊙O(2)若AC=4，BC=2，求的长．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB的顶角，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．

(1)求证：四边形ODCE是菱形；(2)若⊙O的半径为25．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交BA的延长线于点E，连接BD

(1)求证：EF为⊙O(2)若BE=10，sin∠BDC=26．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且

(1)求证：DE是⊙O(2)若∠ABC=60°，7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为AC的中点，连接ON交AC

(1)如图①，求证BC=2OH；(2)如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交于点E，若DB=DC，求证OD∥(3)如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G．DG=CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF:DF=3:2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR=CM，8．（2023·江苏徐州·统考中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且

(1)求证：EF与⊙O(2)若BF=1，sin∠10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．

(1)写出图中一个度数为30°的角：_______，图中与△ACD全等的三角形是_______(2)求证：△AED(3)连接OA，OB，判断四边形的形状，并说明理由．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．

(1)求证：CD是⊙O(2)若DE=1，，求⊙O的半径长．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角∠APB的大小为__________

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连结PA、PB、PC．求证：．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连结，通过证明△PBC≌△EBA，可推得PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结，∵四边形ABCP是⊙O∴∠∵∠∴∠∵△∴BA=BC∴请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连结PA、PB、PC．若，则PBPC的值为13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC=BD，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD=2∠F，连接

(1)求证：BF是⊙O(2)判断△DGB(3)当时，求FG的长．14．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为(1)求证：DE是⊙O(2)若∠C=30°，CD=23，求BD15．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD=2

(1)求证：CF是⊙O(2)若AF=10，sinF=216．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接．

(1)求证：；（请用两种证法解答）(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半径为3，CP=4，求AP的长．17．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）18．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．

(1)求证：CE是⊙O(2)若BC=6，AC=8，求CE,DE的长．19．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=

(1)求证：△ACD(2)求证：CD是⊙O(3)若，求⊙O的半径．20．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC=4（点C在A的上方）；②连接OC，交⊙O于点D③连接BD，与AC交于点E．(1)求证：BD为⊙O(2)求AE的长度．

专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E,AC=2BD．连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若，则∠DEB=

【答案】66【分析】连接BD，则有∠ADB=90°，然后可得∠A=22°,∠ABD=68°，则∠ADE=44【详解】解：连接BD，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，且是⊙O的切线，∴∠ADB=∵，∴∠A=22∴∠ABD=68∵AC=2∴∠ADC=2∴∠CDB=90∴∠DEB=180故答案为：66．【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角、弧之间的关系，熟练掌握切线的性质、圆周角、弧之间的关系是解题的关键．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA=2，∠【答案】0.1【分析】由已知求得AB与CD的值，代入s=AB+C【详解】∵OA=OB=2，∴AB=22∵C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥∴延长DC可得O在DC上，OC=∴CD=OD-∴s=AB+Cl=90∴l-故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键．二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长AC到点G，使得CG=CB，连接GB，过点C作CD∥GB，交AB于点F，交点⊙O于点D，过点D作DE∥AB．交GB的延长线于点E．

(1)求证：DE与⊙O(2)若AC=4，BC=2，求的长．【答案】(1)见详解(2)5【分析】（1）连接OD，结合圆周角定理，根据CG=CB，可得∠CGB=∠CBG=45°，再根据平行的性质∠ACD=∠CGB=45°，即有∠AOD=2∠ACD=90°，进而可得∠ODE=（2）过C点作CK⊥AB于点K，先证明四边形BEDF是平行四边形，即有BE=DF，求出AB=AC2+BC2=25，即有OD=AO=OB=12AB=5，利用三角形函数有sin∠ABC=ACAB=25【详解】（1）连接OD，如图，

∵AB为⊙O∴∠ACB=90∴∠GCB=90∵CG=CB，∴∠CGB=∵CD∥∴∠ACD=∴∠AOD=2∠ACD=90°，即OD⊥∵DE∥∴∠ODE=∴半径OD⊥∴DE与⊙O（2）过C点作CK⊥AB于点

∵CD∥GB，DE∥∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE=DF，∵AC=4，BC=2，∴AB=A∴OD=AO=OB=1∵CK⊥∴∠CKB=90∴在Rt△ACB，同理cos∠∵在Rt△KCB中，∴KC=BC×sin∠ABC=∴OK=OB-∵CK⊥AB，OD⊥∴OD∥∴△CKF∴OFFK∴OFFK+OF∴OF=5∴在Rt△ODF中，∴BE=DF=5【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB的顶角，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．

(1)求证：四边形ODCE是菱形；(2)若⊙O的半径为2【答案】(1)见解析(2)S【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得△ODC和△OCE都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；（2）连接DE交OC于点F，利用菱形的性质可得OF=1，DE=2DF，，然后在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长，从而求出DE的长，最后根据图中阴影部分的面积=扇形ODE的面积-菱形ODCE【详解】（1）证明：连接OC，

∵⊙O和底边AB相切于点C，∴OC，，∴∠AOC=∵OD=OC，，∴△ODC和△OCE∴OD=OC=DC，OC=OE=CE，，∴四边形ODCE是菱形；（2）解：连接DE交OC于点F，

∵四边形ODCE是菱形，∴OF=12OC=1，DE=2DF在Rt△ODF中，，，∴图中阴影部分的面积=扇形ODE的面积-菱形ODCE的面积，∴图中阴影部分的面积为4π3【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交BA的延长线于点E，连接BD．若．

(1)求证：EF为⊙O(2)若BE=10，sin∠BDC=2【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为4【分析】（1）连接OD，根据同角的补角相等，得到∠BDF=∠BAD，等角的余角相等，得到∠DBF=∠ABD，等边对等角，得到∠DBF=∠ABD=∠ODB，推出OD∥BF，得到∠ODE=（2）连接AC，推出∠E=∠BAC=∠BDC，利用锐角三角函数求出的长，设⊙O的半径为r，证明△ODE∽△【详解】（1）证明：连接OD，

∵，∠EAD+∠∴∠BDF=∵AB为⊙O的直径，DF⊥∴∠ADB=90°，∠BFD=90∴∠BDF+∴∠DBF=∵OB=OD，∴∠DBF=∴OD∥∴∠ODE=∠F=90°，即：OD⊥又OD为⊙O∴EF为⊙O（2）连接AC，则：∠BAC=

∵AB为⊙O∴∠ACB=90∴AC∥∴∠E=在Rt△BFE中，BE=10，∴BF=BE⋅设⊙O的半径为r，则：OD=OB=r,OE=BE-∵OD∥∴△ODE∴ODBF=OE∴r=4；∴⊙O的半径为4．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE

(1)求证：DE是⊙O(2)若∠ABC=60°，AB=4，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OD，根据OB=OD，得出∠OBD=∠ODB．根据BD平分∠ABE，得出∠OBD=∠EBD，则∠EBD=∠ODB．根据DE⊥CB得出∠EBD+∠EDB=90°，进而得出∠ODB+（3）连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，通过证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC=60°，OB=OC=BC=2．求出OF=OB⋅sin60°【详解】（1）解：连接OD，∵OB=OD，∴∠OBD=∵BD平分∠ABE∴∠OBD=∴∠EBD=∵DE⊥∴∠EBD+∴∠ODB+∠EDB=90°，即OD⊥∴DE是⊙O（2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC于点∵AB=4，∴OB=1∵OB=OC，∠ABC=60∴△OBC∴∠BOC=60°，OB=OC=BC=2．∵∠ABC=60°，OF⊥BC，OB=2，∴OF=OB⋅∴S阴影

【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式S=nπ7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为AC的中点，连接ON交AC于点H．

(1)如图①，求证BC=2OH；(2)如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交于点E，若DB=DC，求证OD∥AC(3)如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G．DG=CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF:DF=3:2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR=CM，AT=42【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）连接OC，根据N为AC的中点，易证AH=HC，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC，先证△DOB≌△DOC得∠BDO=∠CDO，再根据OB=OD得∠DBO=∠BDO，根据∠ACD=（3）连接AD，先证△DOB≌△DOC，再证四边形ADFE是矩形，过A作AS⊥DE垂足为S，先证出FR=AS，再能够证出△CAS≌△TCM从而CT=AC，得到等腰直角△ACT，利用三角函数求出AC，再根据∠EDF=∠BAC求出BC，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC，

∵N为AC的中点，∴AN，∵OA=OC∴AH=HC，∴OH是△ABC∴BC=2OH（2）证明：如图，连接OC，

设∠BDC=2α∵BD=DC，DO=DO，OB=OC，∴△∴∠∵OB=OD，∴∠DBO=∵∠ACD=∠ABD=α，

∴∠CDO=∴DO（3）解：连接AD，

∵FG∴∠∵∠∴∠∵∠FDG=∠ECH，DG=CH，∴△∴DF=CE∵AH=CH∴OH∴CE=AE=DF∵∠∠AED=∴∠∴DF∴四边形ADFE是平行四边形，是⊙O的直径，∴∠∴四边形ADFE是矩形，，∴tan过点A作AS⊥DE垂足为∴sin∵FR∴sin∵FD∴∠∴sin∴FR=AS是⊙O的直径，，∴∠BCE+，∴∠CAS+∴∠∵∠∴∠∵TM∴∠∴∠∵FR=CM∴AS=CM∴△∴CT=AC∵∠∴∠∴AC=AT∵∠∴tan∴BC∴BC=6∴AB=【点睛】本题是圆的综合题，考查圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、垂径定理、三角函数、勾股定理、圆周角定理等知识，构造辅助线解决问题是解题关键．8．（2023·江苏徐州·统考中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为π×32-12=8π；环的∴它们的面积之比为8π:6.75π=32:27；故答案为32:27；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB,AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一

由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交AB于点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：

【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且

(1)求证：EF与⊙O(2)若BF=1，sin∠【答案】(1)见解析(2)BC=【分析】（1）利用圆周角定理得到∠EOB=2∠EAB，结合已知推出∠CAB=∠EOB，再证明△OFE∽△ABC，推出∠（2）设⊙O半径为x，则OF=x+1，在Rt△OEF中，利用正弦函数求得半径的长，再在【详解】（1）证明：连接OE，

∵BE=BE，∴∵∠CAB=2∴∠CAB=∵AB是⊙O∴∠C=90∵∠AFE=∴△OFE∴∠OEF=∵OE为⊙O∴EF与⊙O（2）解：设⊙O半径为x，则OF=x+1，∵∠AFE=∠ABC，sin∠∴sin∠在Rt△OEF中，∠OEF=90°，∴OEOF=4解得x=4，经检验，x=4是所列方程的解，∴⊙O半径为4，则AB=8，在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠∴AC=AB⋅∴BC=A【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．

(1)写出图中一个度数为30°的角：_______，图中与△ACD全等的三角形是_______(2)求证：△AED(3)连接OA，OB，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)∠1、∠2、∠3、；△BCD(2)证明见详解(3)四边形是菱形【分析】（1）根据外接圆得到CO是∠ACB的角平分线，即可得到30°的角，根据垂径定理得到∠ADC=（2）根据（1）得到∠3=∠2，根据垂径定理得到（3）连接OA，OB，结合∠5=∠6=60°得到△OAE，△OBE是等边三角形，从而得到OA=OB=AE=EB=r，即可得到证明；【详解】（1）解：∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴CO是∠ACB的角平分线，∠ACB=∴∠1=∵CE是⊙O∴∠CAE=∴∠3=∴30°的角有：∠1、∠2、∠3、，∵CO是∠ACB∴∠ADC=∠BDC=90°，∠5=在△ACD与△BCD∵∠1=∴△ACD故答案为：∠1、∠2、∠3、，△BCD；（2）证明：∵∠5=∠6，∠3=∴△AED（3）解：连接OA，OB，∵OA=OE=OB=r，∠5=∴△OAE，△OBE∴OA=OB=AE=EB=r，∴四边形是菱形．

【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．

(1)求证：CD是⊙O(2)若DE=1，，求⊙O的半径长．【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）连接OC，根据弦、弧、圆周角的关系可证∠DAC=∠CAF，根据圆的性质得∠OAC=∠OCA，证明OC∥AD，得到∠OCF=（2）连接BC，CE，根据勾股定理得到CE=5的长，根据等弧对等弦得到5，根据圆内接四边形对角互补得∠ABC+∠AEC=180°，推出∠DEC=∠ABC，证明△DEC【详解】（1）证明：连接OC，

∵点C为EB的中点，∴EC=∴∠DAC=∵OA=OC，∴∠∴∠∴OC∥∴∠OCF=∵OC为半径，∴DC为⊙O（2）解：连接BC，CE，

∵CD⊥∴∠D=90∵DE=1，，∴CE=C∵D是BC的中点，∴EC=∴5，∵AB为⊙O∴∠ACB=90∵∠DEC+∠AEC=180°，∠ABC+∴∠DEC=∴△DEC∴DEBC∴15∴AB=5，AO=∴⊙O的半径长为52【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角∠APB的大小为__________

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连结PA、PB、PC．求证：．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连结，通过证明△PBC≌△EBA，可推得PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结，∵四边形ABCP是⊙O∴∠∵∠∴∠∵△∴BA=BC∴请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连结PA、PB、PC．若，则PBPC的值为【答案】感知：45；探究：见解析；应用：2【分析】感知：由圆周角定理即可求解；探究：延长PA至点E，使AE=PC，连结，通过证明△PBC≌△EBA(SAS)，可推得PBE应用：延长PA至点E，使AE=PC，连结，通过证明△PBC≌△EBA(SAS)得，可推得PBE是等腰直角三角形，结合PE=PA+PC与PE=2PB可得PC=3PA【详解】感知：由圆周角定理可得∠APB=故答案为：45；探究：证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结，∵四边形ABCP是⊙O∴∠∵∠∴∠∵△∴BA=BC∴△∴PB=EB，∠PBC=∴∠∴△∴PB=PE∴PB=PE=PA+AE=PA+PC即；应用：延长PA至点E，使AE=PC，连结，∵四边形ABCP是⊙O∴∠∵∠∴∠，∴△PBC∴PB=EB，∠PBC=∴∠∴△∴P∴2P即PE=2∵PE=PA+AE=PA+PC∴PA+PC=∵PB=2∴PA+PC=∴PC=3PA∴PB故答案为：22【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造△PBC13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC=BD，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD=2∠F，连接

(1)求证：BF是⊙O(2)判断△DGB(3)当时，求FG的长．【答案】(1)见解析(2)△DGB(3)FG=4【分析】（1）连接CO，根据圆周角定理得出∠BOD=∠BOC=2∠BAC，根据已知得出∠F=∠BAC，根据DE⊥AC得出∠AEG=90°，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得∠FBG=（2）根据题意得出AD=AC，则∠ABD=∠ABC，证明EF∥BC，得出∠AGE=∠ABC，等量代换得出（3）根据∠FGB=∠ABD，AB⊥BF，设∠FGB=∠ABD=α，则∠DBF=∠F=90°-α，等边对等角得出DB=DF，则FG=2DG=2DB=4．【详解】（1）证明：如图所示，连接CO，

∵BC=∴∠BOD=∵∠BOD=2∴∠F=∵DE⊥∴∠AEG=90∵∠∴∠FBG=即AB⊥BF，又AB是⊙O∴BF是⊙O（2）∵BC=BD，AB是∴AD=AC，∴∠ABD=∵DE⊥AC，BC⊥∵EF∥∴∠AGE=又∠AGE=∴∠FGB=∴△DGB（3）∵∠FGB=∠ABD，AB⊥设∠FGB=∠ABD=α，则∠DBF=∴DB=DF，∴FG=2DG=2DB=4．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为(1)求证：DE是⊙O(2)若∠C=30°，CD=23，求BD【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）如图：OD，然后根据等边对等角可得∠B=∠ODB、∠B=∠C即∠ODB=∠C，再根据OD∥AC可得∠ODE=∠DEC，进而得到∠ODE=90（2）如图：连接AD，有圆周角定理可得AD⊥BC，再解直角三角形可得AC=4，进而得到OB=12AB=【详解】（1）证明：如图：连接OD

∵OB=OD，∴∠B=∵AB=AC，∴∠B=∴∠ODB=∴OD∥∴∠ODE=∵DE⊥∴∠DEC=90∴∠ODE=90∵OD是⊙O∴DE是⊙O（2）解：如图：连接AD∵AB是⊙O∴AD⊥在中，∠C=30°，CD=23，∴cos3∴AC=4，∴OB=1∵∠C=30∴∠B=∴∠BOD=120∴lBD【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．15．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD=2

(1)求证：CF是⊙O(2)若AF=10，sinF=2【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出∠COB=2∠DAF，利用已知条件进行等量转换即可求出∠COB=∠FCD，最后利用CD⊥AB可证明∠FCD+∠OCE=90°，从而证明CF是⊙O（2）根据互余的两个角相等，利用sinF=23可求出CECF=OEOC=23，设参数表示出OE和OC【详解】（1）解：连接OC，OD，如图所示，

∵CD⊥AB，AB为⊙O∴BC∴∠∵∠∴∠∵∠∴∠∵CD∴∠∴∠，是⊙O切线．（2）解：连接OC，如图所示，

由（1）得，OC⊥，∴∠OCF=∴∠∵sin∴CE设OE=2x则OC=OA=3x，∴在Rt△OCE中，∴CF=∴在Rt△CEF中，，∴AF=AO+OE+EF=3x+2x+∴x=∴CE=，∴CE=ED=∴CD=故答案为：853【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于利用参数表达线段长度．16．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接．

(1)求证：；（请用两种证法解答）(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半径为3，CP=4，求AP的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】（1）证法一：连接BD，得到∠ADB=90°，因为∠BAC=∠BDC，所以；证法二：连接BC，可得∠ADC+∠ABC=180°，则∠ABC=180°-∠ADC，根据∠ACB=90°，可得∠BAC+∠（2）连接OC，根据角度间的关系可以证得△OCP为直角三角形，根据勾股定理可得边OP的长，进而求得结果．【详解】（1）证法一：如图，连接BD，∵BC=∴∠BDC=∵AB是⊙O∴∠ADB=90∴∠∵∠BAC=∴∠ADC=90∴，

证法二：如图，连接BC，∵四边形ABCD是⊙O∴∠ADC+∴∠ABC=180∵AB是⊙O∴∠ACB=90∴∠BAC+∴∠BAC+180∴，

（2）解：如图，连接OC，∵∠ACP=∠ADC∴∠ACP∵OA=OC，∴∠BAC=∴∠ACP∴∠OCP=90∵⊙O的半径为3∴AO=OC=3，在中，OP2∵CP=4，∴OP∴OP=5，∴AP=AO+OP=8，

【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．17．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【答案】(1)∠(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；（2）作BC⊥OM于点C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的长，在Rt△【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，∴每秒旋转360°当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，∠AOB=360∵∠AOM=30∴∠BOM=75（2）解：作BC⊥OM于点C，设OM与水平面交于点D，则OD⊥

在Rt△OAD中，∠AOD=30°，∴AD=12OA=1在Rt△OBC中，∠BOC=45°，∴BC=OC=2∴CD=OD-OC=3-2答：该盛水筒