专题31 几何综合压轴题（第2期）

专题31几何综合压轴题（23道）一、解答题1．（2023·江苏·统考中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E、F在边AB上（EF<AB），且点C、D、G、在直线AB的同侧；第二步，设置ABAD=m,EFEH=n，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点O，射线OH与射线AD相交于点P（点P、D不重合），射线OG与射线BC相交于点Q（点Q、C不重合），观测(1)如图2，小丽取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑动矩形EFGH，当点E(2)小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB的中点．她发现对于任意的m≠(3)经过数次操作，小丽猜想，设定m、n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP=CQ总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．2．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM=DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH=2∠BAM，点E在线段BH上，且HE=AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG=∠MAH，EG交AH于点F．(1)线段AM与线段AN的关系是______．(2)若EF=5，FG=4，求AH的长．(3)求证：FH=2BM．3．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD=kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，．

(1)如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α=90°，k=1时，AB与的位置关系是________，________．(2)如图2，点D在线段BC上，当α=60°，k=3时，求证：．(3)当α=60°，k=3时，直线CE与直线AB交于点N．若BC=6，，请直接写出线段CN的长．4．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到，线段交AB于点E，作A'F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接

(1)求证：△ADE(2)求证：AF⋅(3)若AC=8，tanA=12，当A'5．（2023·山东济南·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=2，，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．

(1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；(2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段的长；(3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．6．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD=2AB，小天用该游戏1

折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕交BD于点G．展开后得到图①，发现点F恰为BC的中点．游戏2

在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中∠AGH7．（2023·湖南娄底·统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点

(1)求证：AE(2)若AF=1，求AE的长．(3)求S正五边形8．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图1，在▱ABCD纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C'、D'，射线与射线AD交于点F(1)求证：AF=EF；(2)如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______；(3)如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM交C'D'于点N，连接AN、EN9．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴

探究发现如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．

（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE=_______°，设AC=1，BC=x，那么AE=______（用含x的式子表示）；（2）进一步探究发现：底BC腰AC=5-1拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD中，，AB=1．求这个菱形较长对角线的长．

10．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，EF⊥

(1)当AF=DF时，求∠AED(2)求证：△EHG(3)求证：AEEH11．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接．

(1)当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图①，求证：(2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图②：当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，(3)在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=_______．12．（2023·辽宁营口·统考中考真题）在▱ABCD中，∠ADB=90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG．∠FED=∠ADG，

(1)如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系______；(2)如图2，当k=3时，写出线段AD，DE(3)在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接，求tan∠EBF13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC

14．（2023·辽宁·统考中考真题）在中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A,B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为，当EF:BC=1:3时，请直接写出S115．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．

(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_______(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段之间的数量关系，并说明理由．16．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；(2)当点Q和点D重合时，求tan∠(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．17．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．

18．（2023·山东东营·统考中考真题）（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN=（2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM=（3）用数学的语言表达．如图，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD=BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD，若∠ANM=60°，试判断△CGD19．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接与OB相交于点E．

(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=①求证：；②当OQ=OE时，设EP=a，求的长（用含a的代数式表示）．20．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．

特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE二、填空题21．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，交对角线AC于点F，于M，∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．下列结论：①S△NPF:S△NPC=FM:MC；②CM=PN；③EN⋅CD=EC⋅CF；④若EM=1，MB=4，则PM=

22．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S

23．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE:EQ=3:2，则的值是．

专题31几何综合压轴题（23道）一、解答题1．（2023·江苏·统考中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E、F在边AB上（EF<AB），且点C、D、G、在直线AB的同侧；第二步，设置ABAD=m,EFEH=n，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点O，射线OH与射线AD相交于点P（点P、D不重合），射线OG与射线BC相交于点Q（点Q、C不重合），观测(1)如图2，小丽取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑动矩形EFGH，当点E(2)小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB的中点．她发现对于任意的m≠(3)经过数次操作，小丽猜想，设定m、n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP=CQ总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．【答案】(1)7(2)见解析(3)小丽的猜想正确，理由见解析【分析】（1）证△GOF（2）证△GOF∽△QOB得BQGF=OBOF，同理可得APHE=OAOE，由（3）当m=n时，取AB的中点M，连接MC、MD，由ABAD=EFEH，O恰为边EF的中点，得ABEF=OBOF=BCOF，进而证△GOF∽△CMB【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形，∴EH=FG，BC=AD，∠B=∵ABAD=m=1,EF∴AB=AD=4，FG=EH=1，∴O是EF的中点，∴12EF=∴OB=AB-OA=4∵∠B=∠OFG，∠GOF=∴△GOF∴BQGF=OB∴BQ=5∴CQ=BC-故答案为：73（2）证明：如下图，解：∵小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB的中点，∴OA=OB，OE=OF，∵四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形，∴∠B=∠OFG=90°，AD=BC，GF=HE，∵∠GOF=∴△GOF∴BQGF同理可得APHE∵OA=OB，OE=OF，∴OBOF∴BQGF∵GF=HE，∴BQ=AP，∵AD=BC，∴DP=CQ；（3）解：小丽的猜想正确，当m=n时，DP=CQ总成立，理由如下：如下图，取AB的中点M，连接MC、MD，∵四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形，∴∠B=∠OFG=90°，AD=BC，GF=HE，∵ABAD=m,EF∴ABAD∵O恰为边EF的中点，M是AB的中点，∴MA=MB，OE=OF，∴ABAD∴ABEF∵∠B=∴△GOF∴∠GOF=∴CM∥∴CQOM同理可证：DPOM∵AD=BC，∴CQOM∴DP=CQ，∴小丽的猜想正确．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，比例的性质，平行线的判定及性质以及中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．2．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM=DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH=2∠BAM，点E在线段BH上，且HE=AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG=∠MAH，EG交AH于点F．(1)线段AM与线段AN的关系是______．(2)若EF=5，FG=4，求AH的长．(3)求证：FH=2BM．【答案】(1)AM=AN(2)AH=(3)见解析【分析】（1）求证△ABM≌△ADN(SAS)，即可得证结论AM=AN（2）由题知，EH=EG=9，于是AM=HE=9，可证△AHM∽△EHF，所以AHEH=AM（3）连接GH，令，则∠MAH=∠HEG=2α，△HEG中，∠G=∠EHG=90°-α，可求∠GFH=∠FEH+∠EHF=90°-α，所以∠G=∠GFH，得证FH=GH；延长线段至点I，使BI=BM，可证∠IAM≌△HEG(SAS)，得GH=IM，于是FH=IM=2BM．【详解】（1）解：AM=AN∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM=∠ADC=90°，AB=AD.∴∠又∵BM=DN，∴△∴AM=AN．（2）解：由题知，EH=EG=4+5=9，∴AM=HE=9．∵∠MAH=∠HEG，∠AHM=∴△AHM∴AHEH∴AH9∴AH=81（3）解：连接GH，令，则∠MAH=∠△HEG中，EH=EG，∴∠G=Rt△ABH中，∴∠GFH=∴∠G=∴FH=GH．延长线段至点I，使BI=BM，连接AI，则AB垂直平分IM，∴AI=AM．∴∠IAM=2∴∠IAM=又∵AM=AI=EH=EG，∴∠IAM∴GH=IM．∴FH=IM=2BM．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等；添加辅助线，构造全等三角形，从而求证线段之间的相等关系是解题的关键．3．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD=kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，．

(1)如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α=90°，k=1时，AB与的位置关系是________，________．(2)如图2，点D在线段BC上，当α=60°，k=3时，求证：．(3)当α=60°，k=3时，直线CE与直线AB交于点N．若BC=6，，请直接写出线段CN的长．【答案】(1)垂直，1(2)见解析(3)CN=657【分析】（1）连接并延长交AC于，根据等腰三角形的判定和性质，推出A,B,E,D，四点共圆，进而得到∠ABE=90°，推出AB与垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到FG⊥BC，证明△AFR≌△EFB，得到FG∥DR,FG=12（2）作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于点，连接，同（1）推出FG⊥BC，得到EH∥FG∥AQ，进而得到EH+AQ=2FG，变形得到3EH+3AQ=23FG（3）分点D在线段BC上和在线段BC的延长线上，两种情况进行讨论求解．【详解】（1）解：连接并延长交AC于，

∵AB=AC,∠∴∠ABC=同理：∠AED=45∴∠AED=∴A,B,E,D，四点共圆，∴∠ABE+∵∠ADE=90∴∠ABE=90∴AB与垂直；∵F是AE的中点，∴BF=DF=12AB∵G是BD的中点，∴FG⊥∵∠ABE+∴BE∥∴∠EAR=又AF=EF，∠BFE=∴△AFR∴BF=RF，∴FG∥∴RD⊥∵∠C=45∴，∴，∴FGCD故答案为：垂直，12（2）作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于点，连接，

∵AB=AC,∠∴△ABC∴∠ABC=∠C=60°，BC=2CQ，∵∠ADE=90∴∠AED=60∴A,B,E,D，四点共圆，∴∠ABE=∵F是AE的中点，∴BF=DF=12AB∵G是BD的中点，∴FG⊥∴EH∥∴HGQG∴HG=QG，∴GF是梯形AEHQ的中位线，∴EH+AQ=2FG，∴3EH+∵∠H=90∴BH=3∵HG=QG，BG=DG，∴DQ=BH=3∵∠AQC=90∴CQ=3∴DQ+3CQ=23∴DQ+CQ+2CQ=2∴；（3）①当点D在BC上时，作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于点，作CX⊥EB，交EB的延长线与点X，

由（2）知：△ABC为等边三角形，∠ABE=90∴∠C=60°，BQ=CQ=1∴DQ=CD-CQ=2，AQ=3∵∠ADE=90°，∠H=∴∠EDH=∴△EHD∴HEDQ∴HE=3∵∠EBH=180∴BE=2HE=433∴CH=BH+BC=8，∴CE=E在Rt△BCX中，BC=6，∴BX=6⋅∴EX=EB+BX=13∵∠ABE=∠CXE=90°，∴CX∥BN，∴CNCE=BX∴CN=42②当点D在BC的延长线上时，作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB于点，作CX⊥EB，交EB的延长线与点X，

同①可知：AQ=33∴DQ=CQ+CD=8,EH∴，∴BE=2HE=1633∴CH=BH-∴CE=E在Rt△BCX中，BC=6，∴BX=6⋅∴EX=EB-∵∠ABE=∴CX∥∴CNCE=BX∴CN=6综上：CN=6577【点睛】本题考查几何的综合应用，难度大，属于中考压轴题，重点考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加合适的辅助线，构造特殊图形．4．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到，线段交AB于点E，作A'F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接

(1)求证：△ADE(2)求证：AF⋅(3)若AC=8，tanA=12，当A'【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据A'F⊥AB，可得∠（2）根据∠BFG=∠ACB=90°，可得点B，C，G，F四点共圆，从而得到∠CBG=∠CFG，∠ABC+∠CGF=180°，从而得到∠AGF=∠ABC，进而得到∠ACF=∠ABG，可证明△ABG（3）连接EG，根据AC=8，tanA=12，可得BC=4,A'D=AD=2DE，A'F=2EF，AB=45，设，则A'D=AD=2x可得AE=A'G=5x，A'【详解】（1）证明：∵线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到，∴，∴∠A+∵A'F⊥AB，即∴∠A∵∠AED=∴∠A=在△ADE和△A∵∠A=∠A'∴△ADE（2）证明：∵∠BFG=∴点B，C，G，F四点共圆，∴∠CBG=∠CFG，∠ABC+∵∠AGF+∴∠AGF=∵∠AGF=∴∠ACF=∵∠A=∴△ABG∴AGAF即AF⋅（3）解：如图，连接EG，

∵△ADE∴DE=DG，AE=A∵AC=8，tanA∴tanA∴BC=4,A'D=AD=2DE∴AB=45设，则A'D=AD=2x∴AE=A'G=5x∴EF=5∴FG=355∵A'G平分四边形∴S△∴12即12解得：x=4∴AD=2x=8【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2023·山东济南·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=2，，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．

(1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；(2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段的长；(3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．【答案】(1)∠BDC=60(2)(3)4【分析】（1）根据矩形的性质得出∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=23，进而根据正切函数得出tan∠BDC=BCDC=3，可求出，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，（2）过点F作FM⊥CG于点M，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°，AE=GF，证明△ABE≌△GMF，进而得出tan∠MDF=tan60°=MFMD=3，设DM=x（3）连接AC，先证明△AGC是等边三角形，AG=AC=4，得出PE=EF=AG=4，将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与重合，得到△CEP'，进而求出PA=P'C，∠PEP'=120°，EP=EP'=4，得出PP【详解】（1）解：∵矩形ABCD中，AB=2，，∴∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=23∴tan∠∴，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，∠ABE=∴∠EAG-∠EAD=∠BAD-∠EAD，即∠DAG=∴△ADG∴DGBE（2）解：如答案图1，过点F作FM⊥CG于点M，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，∠ABE=AE=GF，∴∠BAE=∠DAG=∠CGF，∠ABE=∴△ABE∴BE=MF，AB=GM=2，∴∠MDF=∠BDC=60°，FM⊥∴tan∠∴MF=3设DM=x，则BE=MF=3∴DG=GM+MD=2+x，∵DGBE∴2+x3解得x=1，∴BE=3（3）解：如答案图2，连接AC，∵矩形ABCD中，AD=BC=23，AB=2∴∠ACB=30°，AC=2AB=4，∵EA=EC，∴∠EAC=∠ACE=30°，∠AEC=120∴∠ACG=∴△AGC是等边三角形，AG=AC=4，∴PE=EF=AG=4，将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与重合，得到△CEP∴PA=P'C，∠PE∴PP∴当点P，C，P'三点共线时，PA+PC的值最小，此时为PA+PC=P

【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．6．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD=2AB，小天用该游戏1

折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕交BD于点G．展开后得到图①，发现点F恰为BC的中点．游戏2

在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中∠AGH【答案】(1)证明见详解(2)120°【分析】（1）由折叠的性质可得AF⊥BD，根据题意可得，再设AB=a，然后表示出AD、BD，再由锐角三角函数求出即可；（2）由折叠的性质可知，BF=HF，从而可得出，进而得到BD∥HF，，由（1）知AF⊥BD，可得AF⊥HF，在RtΔGFH中求出∠GHF的正切值即可解答．【详解】（1）证明：由折叠的性质可得AF⊥∴∠∵四边形ABCD是矩形，∴∠，∵AD=设AB=a，则AD=2a，，即BGAB∴，解得BG=3根据勾股定理可得AG=6，即，∴．解得BF=2，∴BF=∴点F为BC的中点．（2）解：∠AGH=120连接HF，如图：由折叠的性质可知，BF=HF，，∠FBH=∠，∴BD，由（1）知AF⊥BD，可得AF⊥∴∠设AB=a，则，，，，在RtΔGFH中，，∴∠DGH=30．【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．7．（2023·湖南娄底·统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点

(1)求证：AE(2)若AF=1，求AE的长．(3)求S正五边形【答案】(1)见解析(2)AE=(3)5【分析】（1）根据正多边形的性质可以得到∠FAE=∠FEA=72°，再利用三角形的内角和以及角平分线的定义得到∠MAE=∠F，再根据∠（2）根据等角对等边可以得到AF=FE=1，AE=AM=FM，再由（1）得结论得到AE（3）设S△AEF=S，AF=a连接AD，AC，根据正多边形可以推导出△AFE≌△【详解】（1）证明：∵ABCDE是正五边形，∴∠FAE=∴∠F=180又∵∠EAF的平分线交EF于点M∴∠FAM=∴∠MAE=又∵∠FEA=∴△AEM∴AEFE即AE（2）解：∵∠F=∴∠AME=72∴AF=FE=1，AE=AM=FM，∵AE∴AE解得：AE=5-1∴AE=5（3）设S△AEF=S，AF=a，连接AD则根据（2）中计算可得AE=5∵ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=EA=5∴∠∴∠ACD=∴△AFE≌△ACD∴S△∴S△∴S正五边形∴S正五边形

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．8．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图1，在▱ABCD纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C'、D'，射线与射线AD(1)求证：AF=EF；(2)如图2，当EF⊥AF时，DF的长为(3)如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM交C'D'于点N，连接AN【答案】(1)证明见解析(2)5(3)13【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，得到∠FAE+∠AEC=180°，再根据折叠的性质，得到∠AEC'=∠（2）作AG⊥CB，交CB的延长线于G，先证明四边形AGEF是正方形，再利用特殊角的三角函数值，求出AG=53，进而得到AF=5（3）作AQ⊥CB，交CB的延长线于Q，作MT⊥AF于T，交HD的延长线于G，作HR⊥MT于，解直角三角形ABQ，依次求出BQ、AQ、EQ、AE的值，进而求得AM的值，根据cos∠DAE=cos∠AEQ和sin∠DAE=sin∠AEQ，求得AT=92、MT=532，进而得出DT的值，解直角三角形DGT，求出GT的值，进而得出MG的值，根据tan∠FMT=tan∠AEQ【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∴∠由折叠性质可知，∠AE∴∠∵∠∴∠∴AF=EF（2）解：如图1，作AG⊥CB，交CB的延长线于∵AD∥BC∴∠ABG=∠∵AG∴∠∴∠∴四边形AGEF是矩形，由（1）可知：AF=EF，∴矩形AGFE是正方形，∵sin∠ABG=∴AG=AB⋅∴AF=AG=5∵AD=6∴DF=AF故答案为：53（3）解：如图2，作AQ⊥CB，交CB的延长线于Q，作MT⊥AF于T，交HD的延长线于G，作∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=10，AD=BC=6，AB∥CD，CB∥∴∠在Rt△AQB中，BQ=AB⋅cos∵∴EQ=BC+BQ在Rt△AQE中，由（1）可知：AF=EF，∵FM∴AM=EM=又∵▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C'，D∴HM=MN∵AD∴∠∴cos∠DAE∴ATAM∴AT39∴AT=92，∴DT=AD∵AB∴∠在Rt△DGT中，∴GT=DT∴MG=GT+MT=∵∠FMT+∠AMT=90°，∠DAE+∴∠∴∠∵tan∴HR∴设HR=53k，∵MG⊥AF，HG⊥∴HR∴∠∴tan∴GR∴GR=∵GR+RM=MG∴15k+9k=4∴k=∴HR=5∵sin∴HR∴5∴HM=∴MN=∴S【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形、轴对称的性质等知识，正确作辅助线，熟练解直角三角形是解题关键．9．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°

探究发现如图1，在△ABC中，∠A=36°

（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE=_______°，设AC=1，BC=x，那么AE=______（用含（2）进一步探究发现：底BC腰AC=5-1拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD中，，AB=1．求这个菱形较长对角线的长．

【答案】（1）72°,1-x【分析】（1）利用等边对等角求出∠ABC,∠ACB的长，翻折得到∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∠BDC=（2）证明△BDC∽△ABC拓展应用：连接AC，延长AD至点E，使AE=AC，连接CE，得到△ACE为黄金三角形，进而得到CEAC=5【详解】解：（1）∵∠A=36°，∴∠ABC=∵将△ABC折叠，使边BC落在边BA∴∠ABD=∠CBD=∴∠BDC=∠BDE=180故答案为：72°（2）证明：∵∠BDC=72∴BD=BC=x，∵∠A=∴△BDC∴BCAC∵∠ABD=∴AD=BD=BC=x，∴，∴x1整理，得：x2解得：（负值已舍掉）；经检验是原分式方程的解．∴底BC拓展应用：如图，连接AC，延长AD至点E，使AE=AC，连接CE，

∵在菱形ABCD中，，AB=1，∴∠CAD=∴∠EDC=∴∠EDC=∴CE=CD=1，∴△ACE∴CEAC∴AC=25-【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为．10．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，

(1)当AF=DF时，求∠AED(2)求证：△EHG(3)求证：AEEH【答案】(1)60(2)见详解(3)见详解【分析】（1）先证明EA=ED，再证明GC是线段ED的垂直平分线，即有EA=AD=DE，即△EAD（2）根据垂直可得∠AGE=∠AGD=∠AFH=90（3）过H点作HK⊥BC于点K，先表示出∠EHK=45°-∠HEG，根据GC是线段ED的垂直平分线，可得∠EAG=∠DAG，即可得∠BAE=45°-∠HEG=【详解】（1）∵EF⊥∴∠EFA=∵EF=EF，AF=DF，∴△EFA∴EA=ED，∵△ABC、△∴∠ACB=∠BAC=45∴∠EGC=180∴GC⊥∴等腰直角△CDE中，EG=GD∴GC是线段ED的垂直平分线，∴EA=AD，∴EA=AD=DE，即△EAD∴∠AED=60（2）在（1）中有GC⊥DE，∴∠AGE=又∵∠EHG=∴∠HEG=∴△EHG（3）过H点作HK⊥BC于点

∵HK⊥BC，∴∠HKB=∴∠KHC=∠KCH=45∴HK=KC，∵∠EHK=180°-∠HKE-∴∠EHK=45∵GC是线段ED的垂直平分线，∴∠EAG=在（1）中已证明∠HEG=∴∠HEG=∵∠BAE=∴∠BAE=45∵∠B=∴△ABE∴AEHE∵AB=BC，HK=KC，∴AEHE∵HK⊥BC，∴，∴△ABC∴BCKC∴AEHE【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键．11．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到

(1)当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图①(2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图②：当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE(3)在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=_______．【答案】(1)见解析(2)图②：AE-EC=BF，图③(3)1或7【分析】（1）求证∠BEF=∠AED，，得△BEF≌△AEDSAS，所以（2）如图②，当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，同（1），△BEF≌△AEDSAS，得AD=BF，结合平行四边形性质，得AD=BC=BF，所以AE-EC=BF；如图③，当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，求证∠BAE=∠（3）如图①，Rt△EBF中，勾股定理，得BF=EF2-BE2=4，求得EC=BF-AE=1；如图②，BE=3，则AE=3,Rt△ADE中，AD=DE【详解】（1）证明：∵AE∴∠∵∠∴∠∴∠∴∠∵∠．．∵EF=ED∴△BEF∴BF=AD∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=BF∴AE+CE=BE+CE=BC=BF（2）如图②，当点E在线段BC延长线上，∠ABC

同（1），，△BEF∴AD=BF∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=BF∴AE即AE-如图③，当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135

∵∠∴∠∵AE∴∠∴∠∴∠∴同（1）可证，△∴BF=AD∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=BF∴EC即EC（3）如图①，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠∵△∴∠Rt△EBF中，EF=DE=5,BE=AE=3由AE+EC=BF，得EC=BF-如图②，BE=3，则AE=3,Rt△ADE中，∴BC=AD=4,与BE=3矛盾，故图②中，不存在BE=3，DE=5的情况；如图③，∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∴∠∵∠∴∠Rt△AED中，AE=BE=3∴BF=AD=4由EC-AE=BF知，EC=AE+BF=3+4=7．综上，或7．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的判定是解题的关键．12．（2023·辽宁营口·统考中考真题）在▱ABCD中，∠ADB=90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG．∠FED=∠ADG，

(1)如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系______；(2)如图2，当k=3时，写出线段AD，DE(3)在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接，求tan∠EBF【答案】(1)AG=DF(2)AD=2(3)3【分析】（1）当k=1时，AD=BD,DG=EF，在AD上截取DH=DE，连接HG，证明△DHG≌△EDFSAS，推出∠DHG=∠EDF=135°，DF=HG，得到AG=GH=DF（2）当k=3时，得到∠A=30°，∠CDB=∠DBA=60°，过点G作GM⊥AB交AD于点M，证明△DMG∽△EDF，推出MGDF=DMDE=DG（3）由（2）得DB=2DF+DE，设DE=x，由点G是AB的中点，得到∠ADG=30°，推出DE=DF=x，DB=3x，过点E作EN⊥BD于N，根据30°角的性质及勾股定理求出DN=12DE=12【详解】（1）解：当k=1时，AD=BD,DG=EF，∵在▱ABCD中，∠ADB=90∴∠A=∠ABD=45°，AB∥∴∠∴∠CDF=135

在AD上截取DH=DE，连接HG，∵∠FED=∴△DHG∴∠DHG=∠EDF=135°，DF=HG，∴∠AHG=45°，∠AGH=90∴AG=GH=DF，故答案为：AG=DF；（2）AD=23当k=3时，AD∴∠A=30°，∠CDB=过点G作GM⊥AB交AD于点M，

∴∠DMG=120∵∠FDE=120∴∠FDE=又∵∠FED=∴△DMG∴MGDF∴MG=3∵∠A=30∴AM=2MG=23∵AD=AM+DM，∴AD=2（3）∵AD=3DB，∴DB=2DF+DE，设DE=x，∵点G是AB的中点，∴AG=DG=BG，∴∠ADG=30∴∠DFE=30∴DE=DF=x，DB=3x，过点E作EN⊥BD于

∵∠BDE=∴∠DEN=30∴DN=12DE=∴BN=BD-∴tan∠【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，求角的正切值，熟练掌握各知识点是解题的关键．13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC

【答案】探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用：200【分析】探究发现：作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则∠AEB=∠CFD=90°，证明Rt△ABE≌拓展提升：延长BO到点C，使OD=BO，证明四边形ABCD是平行四边形，由【探究发现】可知，AC2+BD2尝试应用：由四边形ABCD是矩形，AB=8,BC=12，得到AB=CD=8,BC=AD=12，∠A=∠D=90°，设AP=x，PD=12-x，由勾股定理得到PB【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下：作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则∠AEB=

∵四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，∴AB=DC=a,AD∥∵AE⊥BC，DF⊥∴，∴Rt△∴BE=CF，∴A==A=A=A=2=2a拓展提升：延长BO到点C，使OD=BO，

∵BO为△ABC∴OA=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=a,BC=b,AC=c．∴由【探究发现】可知，AC∴c2∴c2∴；尝试应用：∵四边形ABCD是矩形，AB=8,BC=12，∴AB=CD=8,BC=AD=12，∠A=设AP=x，则PD=AD-∴P=2x∵2>0，∴抛物线开口向上，∴当x=6时，PB2故答案为：200【点睛】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键．14．（2023·辽宁·统考中考真题）在中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A,B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1【答案】(1)EF=(2)见解析(3)59或【分析】（1）可先证△BCD≌△BCE，得到BD=BE，根据锐角三角函数，可得到和EF的数量关系，进而得到线段AD与线段EF的数量关系．（2）可先证△ACD≌△GEC，得到DA=CG，进而得到CG+BD=DA+BD=AB，问题即可得证．（3）分两种情况：①点D在线段AB上，过点C作CN垂直于FG，交FG于点N，过点E作EM垂直于BC，交BC于点M，设EF=a，利用勾股定理，可用含a的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段BA的延长线上，过点E作EJ垂直于BC，交BC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接,设EF=b，可证△CDA≌△CEB，进一步证得△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ，利用勾股定理，可用含b的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案【详解】（1）解：EF=2理由如下：如图，连接．根据图形旋转的性质可知CD=CE．由题意可知，△ABC∵CD为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，∴∠BCD=45°，AD=BD．又∠DCE=90．在△BCD和△BCE中，∴△∴BD=BE，∴∠∴EF=BE∴EF=（2）解：∵CO为等腰直角三角形△ABC斜边AB上的中线，∴AO=BO∵∠∴∠∵BC⊥l，EF⊥∴BC∴∠G=∠OCB=45°，∠GEC=∴∠G=∠A，∠ACD=在△ACD和△GEC中，∴△∴DA=CG∴CG+BD=DA+BD=AB=（3）解：当点D在线段AB延长线上时，不满足条件EF:BC=1:3，故分两种情况：①点D在线段AB上，如图，过点C作CN垂直于FG，交FG于点N；过点E作EM垂直于BC，交BC于点M．设EF=a，则BC=AC=3a．根据题意可知，四边形BFEM和CMEN为矩形，△GCN∴EF=BM=a，CM=NE=2a．由（2）证明可知△ACD∴AC=GE=3a∴NG=NC=a∴NC=EM=a根据勾股定理可知CE=E△CDE的面积S1与△ABC的面积之比②点D在线段BA的延长线上，过点E作EJ垂直于BC，交BC延长线于点J,令EF交AC于点I,连接,由题意知，四边形FBJE，FBCI是矩形，∵∠∴∠即∠又∵CD=CE，CA=CB∴△∴∠而∠∴∠∠∴△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ设EF=b，则BC=IF=3b，EJ=BJ=CI=b∴EI=EF+IF=4bRt△CIE△CDE的面积S1与△ABC的面积之比【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．15．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．

(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_______(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；135(2)PA=PE；理由见解析(3)BA-BE=2BP或【分析】（1）根据题意画图即可；先求出∠ABC=∠BAC=12×90°=45°，根据∠ABD=90°（2）根据∠APE=90°，∠ABE=90°，证明A、P、B、E四点共圆，得出∠AEP=∠ABP=45°，求出∠AEP=（3）分两种情况，当点P在线段BC上时，当点P在线段BC延长线上时，分别画出图形，求出之间的数量关系即可．【详解】（1）解：如图所示：

∵，∴∠ABC=∵BD⊥∴∠ABD=90∴∠CBE=故答案为：135．（2）解：PA=PE；理由如下：连接AE，如图所示：

根据旋转可知，∠APE=90∵∠ABE=90∴A、P、B、E四点共圆，∴∠AEP=∴∠EAP=90∴∠AEP=∴PA=PE．（3）解：当点P在线段BC上时，连接AE，延长CB，作于点F，如图所示：

根据解析（2）可知，PA=PE，∵∠EFP=∴∠EPF+∴∠PEF=∵∠EFP=∴△PEF∴EF=PC，∵∠EBF=180°-∠CBE=45°，∠EFB=90∴△EBF∴BE=2∵△ABC∴BA=2即BA-当点P在线段BC延长线上时，连接AE，作于点F，如图所示：

根据旋转可知，∠APE=90∵∠ABE=90∴A、B、P、E四点共圆，∴∠EAP=∴∠AEP=90∴∠AEP=∴PA=PE，∵∠EFP=∴∠EPF+∴∠PEF=∵∠EFP=∴△PEF∴PF=AC，∵BC=AC，∴PF=BC，∵∠EBF=45°，∠EFB=90∴△EBF∴BE=2即BE=BA+2综上分析可知，BA-BE=2BP或【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论．16．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；(2)当点Q和点D重合时，求tan∠(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．【答案】(1)13(2)2(3)见解析(4)0<t≤9-352或【分析】（1）证明四边形ABEQ是矩形，进而在Rt△（2）证明△PBE∽△ECD，得出tan∠（3）过点P作PH⊥BC于点，证明△PHE≌△ECQ得出PE=QE，即可得出结论（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P在上时，②当P点在AB上时，当F,A重合时符合题意，此时如图，③当点P在AD上，当重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接BQ，

∵四边形ABCD是矩形∴∠∵∠PEQ=90∴四边形ABEQ是矩形，当点P和点B重合时，∴QE=AB=3，BE=2在Rt△QBE中，故答案为：13．（2）如图所示，

∵∠PEQ=90°，∠PBE=∴∠1+∴∠∴△PBE∴PEDE∵BE=2，，∴tan∠（3）如图所示，过点P作PH⊥BC于点

∵∠PEQ=90°，∠PHE=∴∠1+则四边形ABHP是矩形，∴PH=AB又∵EC=BC∴PH=EC，∴△∴PE=QE∴△PQE（4）①如图所示，当点P在上时，

∵QE=QF=3,AQ=BE=2，在Rt△AQF中，则BF=3-∵PE=t，则，PF=PE=t，在Rt△PBF中，∴t解得：t=当t<9-352∴0<t≤②当P点在AB上时，当F,A重合时符合题意，此时如图，

则PB=t-BE=t-2，AP=AB-PB=3在Rt△PBE5-解得：t=17③当点P在AD上，当重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，此时t=2+3+2=7

综上所述，0<t≤9-352或t=【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．17．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．

【答案】（1）四边形ABCD是正方形，证明见解析；（2）FH=AH+CF；（3）MC=2【分析】（1）证明，可得AD=CD，从而可得结论；（2）证明四边形DGHF是矩形，可得∠G=90°=∠DFC，同理可得：∠ADG=∠CDF，证明，DG=DF，AG=CF，证明四边形DGHF是正方形，可得HG=HF，从而可得结论；（3）如图，连接AC，证明∠AHE=∠ABC=90°，ACAB=2，∠BAC=45°，△AHE∽△CBE，可得AECE=HEBE，再证明△HEB∽△AEC【详解】解：（1）∵GD⊥DF，，AG⊥DG∴，∠ADG+∠∵矩形ABCD，∴∠ADC=90∴∠ADG=∵AG=CF，∴，∴AD=CD，∴矩形ABCD是正方形．（2）∵，AH⊥CE，GD⊥DF∴∠DFH=∴四边形DGHF是矩形，∴∠G=90同理可得：∠ADG=∵正方形ABCD，∴AD=CD，∴，∴DG=DF，AG=CF，∴四边形DGHF是正方形，∴HG=HF，∴FH=HG=AH+AG=AH+CF．（3）如图，连接AC，∵AH⊥CE，正方形ABCD，∴∠AHE=∠ABC=90°，ACAB=2∵，∴△AHE∴AECE

∵∠BEH=∴△HEB∴∠HBE=∵AH⊥∴∠HAM=45∴∠HAE=∴△AHB∴HBMC∴MC=2【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键．18．（2023·山东东营·统考中考真题）（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN=（2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM=（3）用数学的语言表达．如图，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD=BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD，若∠ANM=60°，试判断△CGD【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）△CGD【分析】（1）根据中位线定理即可求出PM=PN，利用等腰三角形的性质即可证明∠PMN=（2）根据中位线定理即可求出∠PNM=∠F和∠PMN=∠AEM，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明∠AEM=（3）根据中位线定理推出PM∥AD和PN∥BC从而求出∠PNM=∠PMN=∠ANM=∠CGN=∠GNC=60°，证明△CGN是等边三角形，利用中点求出∠NGD=30°，从而求出∠DGC度数，即可求证△CGD的形状【详解】证明：（1）∵P的中点，M是AB的中点，∴PM=同理，PN=1，∴PM=PN∴∠（2）∵P的中点，M是AB的中点，∴PN∴∠同理，∠PMN=由（1）可知∠PMN=∴∠（3）△CGD如图，取BD的中点P，连接PM，PN，M是AB的中点，∴PM∥AD，PM=1同理，PN∥BC，PN=1，∴PM=PN∴∠∵PM∴∠∴∠∵PN∴∠又∵∠CNG=∴△∴CN=GN又∵CN=DN.∴∠NDG=∴∠∴△CGD故答案为：△CGD是直角三角形【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理.19．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接与OB相交于点E．

(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=①求证：；②当OQ=OE时，设EP=a，求的长（用含a的代数式表示）．【答案】(1)点Q在线段PC的垂直平分线上(2)①证明见解析，②【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；（2）①根据菱形的性质得出，再由各角之间的关系得出∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接QC．利用等边三角形的判定和性质得出AE=2a,AP=3a，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图，点Q在线段PC的垂直平分线上．理由如下：连接QC．∵四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，∴．∵QA=QP∴QC=QP∴点Q在线段PC的垂直平分线上．

（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∵BD∴∠．，∴∠BAP=，∵∠APB=90∴∠．在Rt△BPE中，．∵AE=BE∴EP=∴AE=2EP

②如图，连接QC．∵AB=BC,∴△ABC∵∠APB=90∴BP=CP，∴在Rt△APB中，∵tan∴BP=∴∵AO=CO，∠AOE=∴△∴AE=CQ=2a,∴AE∵∠．在Rt△PCQ中，由勾股定理得PQ∴．

【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．20．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．

特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE【答案】（1）见解析；（2）△APE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）△APE【分析】（1）连接BD，，BP，根据正方形的性质求出∠DBF=90°，证明△APD≌△APB，推出，再利用余角的性质求出∠PBF=∠PFB，推出PB=PF即可；（2）根据正方形的性质直接得到∠CAE=∠PEA=45°，推出AP=EP,∠APE=90°，得到△APE（3）延长EP至点M，使PM=EP，连接MA,MD，证明△MPD≌△EPFSAS，得到DM=EF,∠DMP=∠PEF，推出BG∥DM，设DF交BC于点H，交BG于点N，得到∠MDN=∠DNB，由AD∥BC得到∠ADN=∠BHN，推出∠ADM=∠BHN+∠BNH=180°-∠HBN，进而得到∠ADM=∠ABE，再证明△ADM≌△ABESAS，得到，∠DAM=∠BAE，证得∠APE=90°