实数与实数的运算（提高）知识讲解

实数与实数的运算（提高）【学习目标】1.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应.；2.会用有理数估计一个无理数的大致范围.3.会进行简单的实数四则运算，进一步认识近似数的概念.4.能用实数的运算解决一些简单的实际问题.【要点梳理】【高清课堂：389317立方根、实数，知识要点】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.实数的运算顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减.如果遇到括号，则先进行括号里的运算.【典型例题】类型一、实数概念 1、把下列各数填入相应的大括号．3，﹣，，0.5，2π，3.14159265，﹣|﹣25|，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0）①有理数集合{…}；②无理数集合{…}③正实数集合{…}④负实数集合{…}．【答案与解析】解：①有理数集合{﹣，，0.5，3.14159265，﹣|﹣25|，…}；②无理数集合{3，2π，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0）…}③正实数集合{3，0.5，2π，3.14159265，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0）…}④负实数集合{﹣，，﹣|﹣25|，…}．【总结升华】此题要求学生认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．举一反三：【高清课堂：389317立方根实数，例1】【变式】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示，并说明理由.

(1)无理数都是开方开不尽的数.()

(2)无理数都是无限小数.()

(3)无限小数都是无理数.()

(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.()

(5)不带根号的数都是有理数.()

(6)带根号的数都是无理数.()

(7)有理数都是有限小数.()

(8)实数包括有限小数和无限小数.()

【答案】(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020020002…这类的数也是无理数.(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)(×)0是有理数.(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.(7)(×)有理数还包括无限循环小数.(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示.类型二、实数大小的比较2、实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）A．a+b=0B．b＜aC．ab＞0D．|b|＜|a|【思路点拨】根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2，b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1，即可得出|b|＜|a|．【答案】D；【解析】解：根据图形可知：-2＜a＜-1，0＜b＜1，则|b|＜|a|；故选D．【总结升华】此题主要考查了实数与数轴，解答此题的关键是根据数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大，负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于本身．举一反三：【变式】如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A．a+b＜0B．-a＜-bC．1-2a＞1-2bD．|a|-|b|＞0【答案】C．类型三、实数的运算3、文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入，则输出的结果为（）A．5B．6C．7D．8【思路点拨】根据运算程序得出输出数的式子，再根据实数的运算计算出此数即可．【答案】B；【解析】解：∵输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，

∴输入，则输出的结果为－1=7－1=6．

故选B．【总结升华】本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．举一反三：【变式】计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．【答案】解：