初中数学++余角和补角（同步课件）+七年级数学上册同步备课系列（人教版）

数学

人教版

七年级上册

几何图形初步第六章6.3.3余角和补角第6章

几何图形初步情境引入台球比赛中，一次被击打母球的线路如图．若角∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？α（）β新知探究观察，∠1+∠2与

直角∠AOB

相等吗？你是怎样判断的？12AOB观察，∠α+∠β与

∠AOB

相等吗？你是怎样判断的？

αβ新知探究在一副三角尺中，每块都有一个角是90o，而其他两个角的和是多少呢？12如图：∠1与∠2互为余角，也可以说∠1是∠2的余角，

或者∠2是∠1的余角.余角是成对出现的，所以不能说某个角是余角.一般地，如下图，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称为两个角互余)，即其中一个角是另一个角的余角.新知探究类似地，如下图，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角(简称为两个角互补)，即其中一个角是另一个角的补角.补角是成对出现的，所以不能说某个角是补角.如图：∠3与∠4互为补角，也可以说∠3是∠4的补角，

或者∠4是∠3的补角.43新知探究概念定义数量关系共同点互为余角（互余）互为补交（互补）如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，也可以说其中一个角是另一个角的余角.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，也可以说其中一个角是另一个角的补角.①互余、互补是两个角的关系；②互余、互补只跟角的大小有关，与位置无关.新知探究3、

1与2互补，除用符号语言表示为

1＋2＝180°外，还可以用其它形式等式表示为什么？思考：1、定义中的“互为”一词如何理解？2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？如果

1与2互余，那么

1的余角是2，2的余角是

1．互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边．

1＝180°－2，或

2＝180°－

1．新知探究思考：图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？12°30°60°78°102°120°150°168°⑧①②③④⑤⑥⑦解：互余的角有：①与④，②与③互补的角有：①与⑧，②与⑦，③与⑥，④与⑤.典例精析例1如图，已知∠1=46°，∠2=134°，∠3=44°．图中有没在互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由．解：∠1与∠3互余，∵∠1+∠3=90°，∴∠1与∠3互余．∠1与∠2互补，∵∠1+∠2=180°，∴∠1与∠2互补．典例精析例2一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度?解:设这个角为x°,则这个角的补角是(180-x)°.由题意得180-x=3x,解得:x=45,则这个角的度数为45°.方程思想典例精析例3如图，∠AOB=160°，∠AOD与∠DOC互余，∠BOD=90°，

求∠COD的度数．解：因为∠AOB=160°，∠BOD=90°，所以∠AOD=70°.因为∠AOD与∠DOC互余，所以∠AOD＋∠DOC=90°.所以∠COD=90°-∠AOD=90°-70°=20°.典例精析例4如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠AOC内的一条射线．OE是

BOC内的一条射线．回答下列问题：（1）图中

DOC的余角有______________．（2）图中

AOD的余角有______________．（3）

通过上述两小题你能得到什么结论？

AOD与

COE

DOC与

BOE

同角(等角)的余角相等∵

AOD+

COD=90°，

COE+

COD=90°，∴

AOD=

COE．（4）

AOD和

COE的补角分别是_______________．（5）通过此题，你又能得到什么结论？

BOD与

BOD同角（等角）的补角相等新知探究思考：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？12同角(等角)的余角相等.3∠2=180°-∠1∠3=180°-∠1=结论：同角(等角)的补角相等.类似地，可以得到：学习笔记新知探究同角(等角)的余角相等.同角(等角)的补角相等.几何语言：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°∴∠2=∠3几何语言：∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°∴∠2=∠3新知探究（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，

则______＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

（2）若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补，且∠3＝∠6，

则______＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.∠1∠3同角的余角相等等角的补角相等∠4∠5思考：新知探究∠α∠α

的余角∠α

的补角5°31°45°78°62°27′x°(0＜x＜90)27°33′117°33′85°175°59°149°45°135°102°12°(90－x)°(180－x)°观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.90°填表：典例精析例5如图，O

在直线

AB

上，OD

平分∠AOC，∠DOE

=

90°.（1）∠AOD

的余角是_______________，

∠COD

的余角是_______________；（2）OE

是∠BOC

的平分线吗？请说明理由．∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

∠COE、∠BOE解：OE

平分∠BOC，理由如下：因为∠DOE

=

90°，所以∠AOD

+∠BOE

=

90°.所以∠COD

+∠DOE

=

90°.所以∠AOD

+∠BOE

=∠COD

+∠DOE.因为

OD

平分∠AOC，所以∠AOD

=∠COD.所以∠COE

=∠BOE，所以

OE

平分∠BOC.新知探究思考：什么是方位角？怎样表示方位角？

在航海、探险、飞行等领域，为了表示某一地区的地理位置，常用方位角这一概念．具体做法：先在某地确定一点把它固定，然后以这点为基点，确定出东南西北四个方向，最后再根据要求画出所要的方位角．例如：以平面内O点为基点，画出北偏东60°角和南偏西25°角．学习笔记新知探究东西北南O正东：正南：正西：正北：西北方向：西南方向：东北方向：东南方向：射线OAABCD45°EGFH45°45°45°射线OB射线OC射线OD射线OE射线OF射线OH射线OG新知探究45°

思考：如图，说出下列方向：(1)射线OA表示的方向为

；(2)射线OB表示的方向为

___

_；(3)射线OC表示的方向为

；(4)射线OD表示的方向为

.北东西南CABD北偏东40°北偏西63°南偏西45°

(西南)南偏东18°40°63°72°O18°新知探究海上缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只，你能确定缉私艇的航线，并画出示意图吗？可疑船缉私艇BA67°北偏东67°北东南西典例精析例6解：如图所示，OB表示南偏东25°，OC表示北偏西60°.CB60°30°北西南东OA如图，OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：（1）南偏东25°；（2）北偏西60°.25°典例精析例7甲、乙两船同时从小岛A出发，甲的速度为30海里/时，向北偏东20°方向航行，乙沿南偏东70°的方向以40海里/时的速度航行，半小时后甲、乙分别到达B，C两处．(1)以1cm表示10海里，在图中画出B，C的位置；(2)求∠BAC的度数；(3)量出B，C的图上距离，并换算出实际距离．解：(1)如图，(2)∠BAC＝180°-20°-70°=90°.

(3)用刻度尺量出B，C的图上距离约为

2.5cm，所以实际距离约为25海里．余角和补角概念如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).性质同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等方位角定义：书写：通常要先写北或南，再写偏东或偏西随堂演练1．已知∠A＝65°，则∠A的补角等于(

)A．125°B．105°C．115°D．95°2．已知α＝36°42′，则α的余角为(

)A．57°18′B．52°18′C．53°18′D．36°43′CC随堂演练3．对于互补的下列说法中：①∠A＋∠B＋∠C＝90°，则∠A，∠B，∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个B随堂演练4.如图，下列说法正确的个数有()①射线OA表示北偏东30°；

②射线OB表示北偏西30°；

③射线OD表示南偏西45°，也叫西南方向；

④射线OC表示正南方向．

A.1个B.2个C.3个D.4个D随堂演练5.图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o随堂演练6.图中给出的各角，哪些互为补角？10o30o60o80o100o120o150o170o随堂演练7.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，

求∠B的度数.解：