专题08 类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用压轴题八种模型全攻略(解析版)

专题08类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】 1【类型二当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】 4【类型三若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】 7【类型四所有一元二次方程均可用公式法求解】 10【类型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 14【类型六一元二次方程的特殊解法——换元法】 16【类型七判断代数式的正负或求最值】 21【类型八利用配方法构造非负数求值】 24【典型例题】【类型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】例题：（2023·上海·八年级假期作业）用开平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先方程两边同时乘以3，变形为，再开平方得，再解一元一次方程即可求解．（2）先把方程变形为，再开平方得，再解一元一次方程即可求解．【详解】（1）解：或，，；（2）解：或，．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法是解题的关键．【变式训练】1．解方程：．【答案】【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：，，，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．解方程：．【答案】，【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：原方程化为：，即，则或，解得：，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．3．解方程：【答案】【分析】由于方程两边都是完全平方式，这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程，即可求解．【详解】解∶原方程左右开方变形为，即或，解得【点睛】此题主要考查了直接开平方法，解决本题的关键是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）用直接开平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用直接开平方法解答即可；（2）用直接开平方法解答即可．【详解】（1），移项，得，两边同时除以49，得，开方，得，则方程的两个根为，．（2）两边同时除以9，得，开方，得，即或，则方程的两个根为，．【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.5．（2023春·全国·八年级专题练习）解方程：(1)(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先移项，写成的形式，然后利用数的开方解答．（2）方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．【详解】（1）解：移项得，，开方得，，解得，．（2）方程两边直接开方得：，或，∴，或，解得：，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键．【类型二当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】例题：（2023秋·辽宁沈阳·九年级校考期末）解方程：．【答案】，【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可．【详解】解：，，配方得：，，开方得：，解得：，．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．【变式训练】1．解方程：．【答案】，【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【详解】解：，，则，解得，，．【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法正确解方程是解题的关键．2．解方程：．【答案】，【分析】用配方法解方程即可．【详解】解：或．【点睛】本题考查了解一元二次方程；根据系数特点选择恰当的方法是解题的关键．3．解方程：．【答案】，【分析】移项、配方、两边开平方即可得到答案．【详解】解：移项得，，两边同时加上得，，即，两边开平方得，，即或，∴原方程的解为：，．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握几种解法及选择适当的方法求解．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程：（用配方法）．【答案】【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：，，，，，所以．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）用配方法解方程：．【答案】，【分析】首先把移到等号右边，然后再等式两边同时加上8，可得，然后再利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：，，，则，，解得：，【点睛】此题主要考查了配方法解一元二次方程，关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．6．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：，，即，∴，解得：；（2）解：，，即，∴，解得．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．【类型三若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】例题：（2023秋·广东湛江·九年级统考期末）解下列方程：．【答案】，．【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解:∴∴或∴，【点睛】本题主要考查解一元二次方程，用合适的方法解方程是解题的关键．【变式训练】1．解下列方程：【答案】，【分析】用分解因式法解一元二次方程即可．【详解】解：移项得：，分解因式得：，∴或，解得：，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．2．解方程：．【答案】．【分析】先进行移项，在利用因式分解法即可求出答案．【详解】解：移项得，整理得，∴或，解得：．【点睛】本题考查了解一元一次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键．3．解方程：【答案】【分析】先化简，再根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：，，，或，．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．4．解方程：．【答案】或【分析】利用提公因式法对方程进行因式分解，算出答案．【详解】解：或【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解解一元二次方程，其中准确找到公因式并进行因式分解是解题的关键．5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）解方程：．【答案】，【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）解方程：【答案】，【分析】移项，然后用因式分解法解方程即可．【详解】解：移项整理得：，因式分解得：，即，∴或，解得：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．7．（2023·陕西西安·校考二模）解方程：．【答案】，【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：，．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解解方程是解题的关键．【类型四所有一元二次方程均可用公式法求解】例题：（2023春·安徽淮北·八年级校联考期末）解方程：．【答案】，【分析】先将方程化成一元二次方程的一般形式，再利用求根公式法求解即可．【详解】解：方程可化为：，∴∴，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法解一元二次方程是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023秋·广东广州·九年级广州市八一实验学校校考期末）解下列方程：【答案】，【分析】先求出，，，根据一元二次方程判别式，可得到方程有两个不相等的实数根，然后代入求根公式即可解答．【详解】解：，，，，方程有两个不相等的实数根，，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，即．2．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）解方程：【答案】，【分析】利用求根公式解答即可．【详解】解：解：方程整理得：，这里，，，∵，∴，解得：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．3．（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列方程：3x2+5(2x﹣1)＝0．【答案】＝，＝【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：化为一般式为：这里a＝3，b＝10，c＝﹣5，∵，∴x＝＝＝，解得：＝，＝．【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，牢记公式是解题关键．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）用公式法解方程：【答案】，【分析】把方程化为一般形式为，然后根据公式法可进行求解．【详解】解：化简为，∵，∴，∴，∴，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解一元二次方程是解题的关键．5．（2023春·全国·八年级专题练习）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据公式法求解即可；（2）根据公式法求解即可．【详解】（1）解：，∵，，，∴，∴，解得：，；（2），∵，，，∴，∴，解得：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是关键．6．（2023·全国·九年级假期作业）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用解一元二次方程中的公式法计算即可；（2）利用解一元二次方程中的公式法计算即可．【详解】（1）解：由公式法可知：∴即：，（2）解：移项得：由公式法可知：∴即：【点睛】本题考查了解一元二次方程的相关知识点，重点要掌握配方法，公式法，因式分解法等．【类型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】例题：（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）解一元二次方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：∴，∴或，解得，；【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．【变式训练】1．用适当的方法解一元二次方程：【答案】，【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，，【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．2．解方程：．【答案】，【分析】移项后，利用因式分解法求解即可．【详解】解：，移项得：，即：，，解得：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键．3．解方程：．【答案】，【分析】方程整理后，利用因式分解法求解即可．【详解】解：原方程可化为：，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．4．解方程：．【答案】【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴或，解得．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键．5．解方程．【答案】【分析】先整理，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：∴，∴，解得：．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：，，，，或，解得：，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．【类型六一元二次方程的特殊解法——换元法】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）请阅读下列解方程的过程．解：设，则原方程可变形为，即，得，．当，，∴，，当，，无解．所以，原方程的解为，．这种解方程的方法叫做换元法．用上述方法解下面两个方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，，【分析】（1）仿照例题方法和步骤解方程即可；（2）设，进而利用解一元二次方程的方法步骤求解即可．【详解】（1）解：设，则原方程可变形为，即，解得：，．当时，，∴，，当，，无解．所以，原方程的解为，．（2）解：设，则原方程可变形为，即，解得：，．当时，，即，∴，∴，，当时，，即，解得：．所以，原方程的解为，，．【点睛】本题考查解一元二次方程，看懂题中例题的解法，会利用类比的方法求解一元二次方程是解答的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）例：解方程解：设，则解得或当时有，解得当时有，解得∴原方程的解为或认真阅读例题的解法，体会解法中蕴含的数学思想，并使用例题的解法及相关知识解方程【答案】，【分析】利用题中给出的方法先把(2x+1)3当成一个整体t来计算，求出t的值，再解一元二次方程．【详解】解：设，则，解得或，当时有，解得，当时有，解得，∴原方程的解为，．【点睛】本题考查了一元二次方程-换元法，看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式．解：设，(1)请你用换元法对多项式进行因式分解；(2)凭你的数感，大胆尝试解方程：．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）根据题意将进行换元后分解因式即可．（2）设分解因式后得到或，带回后求未知数的值即可．【详解】（1）解：设，（2）解：设．则．解得或．当时，，即．解得．当时，，即．解得，．综上所述，原方程的解为，，．【点睛】本题主要考查利用整体思想及换元法解因式分解来求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键．3．（2023春·八年级课时练习）阅读下列材料解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为…①，解这个方程得：．当时，．∴；当时，，∴所以原方程有四个根：．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）解方程时，若设，求出x．（2）利用换元法解方程．【答案】（1），；（2），【分析】（1）直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果；（2）设把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值．【详解】解：（1）设y＝x2﹣x，原方程可变形为：y2﹣4y﹣12＝0，∴因式分解为：，∴或，∴或，对于方程，解得：，，对于方程，移项得：，∵，∴上述方程无解，∴原方程的解为：，．（2）设y＝，则，原方程变形为：，去分母，得，即，解得，，经检验，y＝1是分式方程的根．∴＝1，即：，解得：，．经检验，1±是上述分式方程的根．∴原方程的解为：，．【点睛】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．【类型七判断代数式的正负或求最值】例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）对于任意实数x，多项式的值是（

）A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数【答案】C【分析】用配方法把多项式配方，再利用非负数的性质判断多项式的值的情况．【详解】解：∵，∴多项式的值是正数，故选：C．【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．熟练掌握配方法是解决此类问题的关键．【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级专题练习）不论为何实数，代数式的值（

）A．总不小于 B．总不大于 C．总不小于 D．可为任何实数【答案】A【分析】对原式进行配方处理，形成含有完全平方的形式，再运用非负性即可判断．【详解】原式＝，∵，，∴，即：原式的值总不小于，故选：A．【点睛】本题考查运用配方法形成完全平方公式判断代数式的值的范围，准确配方并理解完全平方式的非负性是解题关键．2．（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知，，下列结论正确的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．当时，为正数 D．当时，为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可．【详解】解：∵，，∴；∴当时，有最小值；当时，即：，∴，∴，∴，即是非正数；故选项错误，选项正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3．（2023春·江苏·七年级期中）阅读材料：求的最小值．解：，∵即的最小值为0，∴的最小值为4．解决问题：(1)若a为任意实数，则代数式的最小值为．(2)求的最大值．(3)拓展：①不论x，y为何实数，代数式的值．（填序号）A．总不小于1B．总不大于1C．总不小于6D．可为任何实数②已知，求．【答案】(1)(2)5(3)①A；②【分析】（1）对式子利用配方法求解即可；（2）对式子利用配方法求解即可；（3）①对式子中的利用配方法求解即可；②对式子进行配方，求得的值，然后代入求值即可．【详解】（1）解：，∵，∴的最小值为；故答案为：；（2）解：，∵，∴，∴，即的最大值为5；（3）解：①，∵，，∴的最小值为，故A正确．故选：A．②∵，∴，∴，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式变形计算，解题的关键是熟练掌握配方法的应用．【类型八利用配方法构造非负数求值】例题：（2023春·广西贵港·七年级统考期末）若，则