专题01 反比例函数的定义压轴题六种模型全攻略（解析版）

专题01反比例函数的定义压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一用反比例函数描述数量关系】 1【考点二根据定义判断是否是反比例函数】 3【考点三根据反比例函数的定义求参数】 4【考点四求反比例函数的值】 6【考点五由反比例函数值求自变量】 7【考点六求反比例函数解析式】 9【过关检测】 10【典型例题】【考点一用反比例函数描述数量关系】【例题1】（2023春·浙江·八年级专题练习）下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．其中，两个变量之间的函数关系可以用形如（k为常数，）的式子表示的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如（k为常数，）的式子表示，由此逐项判断即可．【详解】解：①矩形的面积，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如的式子表示；②耕地面积，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如的式子表示；③汽车的行驶速度，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如的式子表示；综上可知：①②符合要求，故选A．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．【变式1-1】（2023·北京门头沟·二模）如图，圆柱的侧面积为10m2．记圆柱的底面半径为m，底面周长为m，高为m．当在一定范围内变化时．和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（

）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系C．正比例函数关系，反比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系【答案】C【分析】由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，可得与的关系，根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，可得与的关系式，即可得到答案．【详解】解：由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，可得：，与的关系为：正比例函数关系，根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，可得：，，与的关系式为：反比例函数关系，故选：C．【点睛】本题主要考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数、二次函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．【变式1-2】（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量：①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间；②一个体积固定的长方体，长方体的高与底面积；③矩形面积一定时，周长与一边长；其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根据图象，可以得到两个变量之间成反比关系，即两个变量的乘积为定值，逐一进行判断即可．【详解】解：①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间的乘积为定值，符合题意；②一个体积固定的长方体，长方体的高与底面积的乘积为定值，符合题意；③矩形面积一定时，周长与一边长的乘积不是定值，不符合题意；∴变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是①②；故选A．【点睛】本题考查反比例函数．通过图象得到两个变量之间成反比关系，是解题的关键．【考点二根据定义判断是否是反比例函数】【例题2】（2023春·浙江·八年级专题练习）下列函数y是x的反比例函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用反比例函数定义对四个选项分析解答即可．【详解】解：A．由得是的正比例函数，那么A不符合题意．B．由得是的反比例函数，那么B不符合题意．C．由得是的反比例函数，那么C不符合题意．D．由得是的反比例函数，那么D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数定义，关键在于掌握形如（为常数，）的函数称为反比例函数．【变式2-1】（2023春·浙江·八年级专题练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的定义：形如的函数称为反比例函数，回答即可．【详解】解：A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；B、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；C、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是．【变式2-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）下列式子:①；②；③；④；⑤，能表示y是x的反比例函数的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据反比例函数的定义分析即可得出答案．【详解】①是正比例函数，②是反比例函数，③当时不是反比例函数，④即是反比例函数，⑤是反比例函数，共有三个反比例函数．故选B．【点睛】本题主要考查了正比例函数及反比例函数的定义，正确理解相关定义是解题的关键．【考点三根据反比例函数的定义求参数】【例题3】（2023春·八年级单元测试）已知函数（为整数），当为_____时，是的反比例函数．【答案】【分析】根据（）是反比例函数，可得答案．【详解】解：函数（为整数）是反比例函数，，且，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·全国·八年级专题练习）若函数是反比例函数，则_____．【答案】【分析】根据反比例函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵函数是反比例函数，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做反比例函数．【变式3-2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知函数是y关于x的反比例函数，则______．【答案】【分析】根据反比例函数的定义可得且，由此求的值即可．【详解】解：∵函数y是y关于x的反比例函数，∴解得，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是，也可以写成或．解题的关键是牢记反比例函数的定义．【变式3-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）已知函数是关于的反比例函数，则的值是______．【答案】【分析】根据反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数称为反比例函数，即可求出的值．【详解】∵函数是关于的反比例函数，∴，，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．【考点四求反比例函数的值】【例题4】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）已知反比例函数经过点和点则的值为___________．【答案】【分析】根据点在函数图像上的性质，直接将点A的坐标代入表达式先求得k的值，然后再将B的坐标代入反比例函数解析式即可求得b的值．【详解】解：反比例函数经过点和点，，即，解得，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握图像经过点就是点的坐标满足表达式是解决问题的关键．【变式4-1】（2023·北京房山·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为___________．【答案】【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴．∵点在反比例函数的图象上，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键．【变式4-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一个反比例函数的图像经过点，若该反比例函数的图像也经过点，则的值为______．【答案】【分析】根据条件求出反比例函数解析式的比例系数k的值，代入，求m即可．【详解】解：设反比例函数解析式为：，代入点，解得：，代入，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是代入已知点求比例系数k的值．【考点五由反比例函数值求自变量】【例题5】（2023·福建南平·统考一模）已知点，都在反比例函数图象上，则_____．【答案】【分析】将点B坐标代入表达式，求出k值，再将点A坐标代入，可得a值．【详解】解：将代入中，得，∴，将代入，得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，属于基本问题．【变式5-1】（2023秋·河北张家口·九年级校考阶段练习）若点和点都在反比例函数的图象上，则a的值为_____．【答案】【分析】先把点代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再代入点即可得到答案．【详解】把点代入得，解得，∴反比例函数解析式为，把点代入得，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求反比例函数自变量的值，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．【变式5-2】（2023春·山西朔州·九年级校考阶段练习）已知点，在反比例函数上，则_____．【答案】【分析】此题只需将（，），（，）代入反比例函数，再令其相等就可解得的值．【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，∴，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征：反比例函数图象上的点的坐标，一定满足该函数的解析式，能够准确代入解出未知数是解题的关键．【考点六求反比例函数解析式】【例题6】（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）若反比例函数的图象过点，则的值等于___________．【答案】【分析】把点代入反比例函数，即可求出k的值．【详解】解：∵反比例函数的图象过点，∴，故答案为：．【点睛】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【变式6-1】（2023春·云南楚雄·九年级统考开学考试）若点在反比例函数的图像上，则的值为____________．【答案】【分析】根据解析式与点的坐标关系，代入计算即可．【详解】∵点在反比例函数的图像上，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【变式6-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则的值为__________．【答案】【分析】直接把点代入，即可求出的值．【详解】解：由题意，∵反比例函数的图象经过点，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质进行计算．【过关检测】一、选择题1．（2023·重庆·统考中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答．【详解】解：将代入反比例函数得到，故项不符合题意；项将代入反比例函数得到，故项不符合题意；项将x=−2代入反比例函数得到，故项符合题意；项将代入反比例函数得到，故项不符合题意；故选．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列函数中，是反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】按反比例函数的定义比较即可．【详解】A.与比较，即可知是反比例函数，故符合题意；B.不是反比例函数，故不符合题意；C.不是反比例函数，故不符合题意；D.不是反比例函数，故不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的定义，准确理解定义是解题的关键．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系；B．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系；C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系；D．圆的周长与直径成正比例关系．【答案】D【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案．【详解】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误，不符合题意；B、车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成正比例关系，不符合题意；；C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系,错误，不符合题意；D、圆的周长故与直径成正比例关系,符合题意．故选：D【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数关系，正确得出函数关系是解题关键．4．（2023·云南楚雄·统考二模）已知反比例函数的图象过点，则代数式的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数的性质，即图象经过的点的坐标满足函数表达式，进行求解即可．【详解】解：∵函数的图象过点，∴．故选：A．【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握图象经过的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．5．（2023春·江苏·八年级专题练习）若函数为反比例函数，则＝（）A．1 B．0 C．0或﹣1 D．﹣1【答案】D【分析】根据反比例函数的定义解答即可．【详解】∵函数为反比例函数，∴，解得：或，又∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握此定义是解题的关键．二、填空题6．（2023春·浙江·八年级专题练习）反比例函数的比例系数是____．当时，y=__________．【答案】【分析】将函数解析式变为，根据反比例函数的定义即可得出答案，再将代入反比例函数解析式求解即可．【详解】解：∵，∴反比例函数的比例系数是，当时，；故答案为：，．【点睛】本题考查了反比例函数的定义．形如为常数，的函数称为反比例函数，其中x为自变量，y为函数，k为反比例系数，还考查了反比例函数的函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2023·陕西西安·校考三模）若点在反比例函数的图像上，则m的值为_____．【答案】1【分析】将点代入反比例函数，即可求出m的值．【详解】解：将点代入反比例函数得，．故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，所有反比例函数上的点横纵坐标都符合函数的解析式．8．（2023春·江苏·八年级期末）函数是关于的反比例函数，则______．【答案】【分析】根据反比例函数的定义可得2m-4=-1且m+1≠0，由此求m的值即可．【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数，∴2m-4=−1且m+1≠0，解得：m=；故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是（k≠0），也可以写成（k≠0）或xy=k（k≠0）．解题的关键是牢记反比例函数的定义．9．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）已知函数是反比例函数，则m的值为___________.【答案】2【分析】根据题意得，进行计算即可得．【详解】解：∵函数是反比例函数，则解得，，故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义．10．（2023春·江苏·八年级专题练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦和⑧中，是y关于x的反比例函数的有：__________（填序号）．【答案】②③⑧【分析】根据反比例函数的定义：形如的函数，由此可直接进行求解．【详解】解：由题意得：函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦和⑧中，是y关于x的反比例函数的有②③⑧；故答案为②③⑧．【点睛】本题主要考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题的关键．三、解答题11．（2023春·浙江·八年级专题练习）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们各属于什么函数．(1)电压为16V时，电阻R与电流I的函数关系；(2)食堂每天用煤1.5t，用煤总量W（t）与用煤天数t（天）的函数关系；(3)积为常数m的两个因数y与x的函数关系；(4)杠杆平衡时，阻力为800N，阻力臂长为5cm，动力y（N）与动力臂x（cm）的函数关系（杠杆本身所受重力不计）．【答案】(1)，故是反比例函数关系(2)，故是正比例函数关系(3)，故是反比例函数关系(4)，故是反比例函数关系【分析】（1）利用，进而得出答案；（2）利用煤总量W（t）＝用煤天数t（天），进而得出答案；（3）利用，进而得出答案；（4）动力大小×动力臂＝阻力臂大小×阻力进而求出即可．【详解】（1），故是反比例函数关系；（2），故是正比例函数关系（3），故是反比例函数关系（4），故是反比例函数关系【点睛】此题主要考查了正比例和反比例函数的定义，正确得出函数关系式是解题关键．12．（2023春·全国·八年级专题练习）设面积为的三角形的一条边长为，这条边上的高线长为．(1)求h关于a的函数表达式和自变量a的取值范围．(2)h关于a的函数是不是反化例函数？如果是，说出它的比例系数．(3)求当边长时，这条边上的高线长．【答案】(1)，自变量a的取值范围为(2)是反比例函数，比例系数为20(3)这条边上的高线长为8cm【分析】（1）根据平行四边形的面积公式可得，进而得出与的函数关系式，结合的意义确定其取值范围；（2）根据反比例函数的定义和一般形式解答即可；（3）将代入（1）中的函数表达式求解的值即可．【详解】（1）解：根据题意得，，∵为三角形的边长，∴．（2）答：关于的函数是反比例函数，它的比例系数是20．（3）解：当时，这条边上的高．【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．13．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知函数，(1)当m，n为何值时是一次函数？(2)当m，n为何值时，为正比例函数？(3)当m，n为何值时，为反比例函数？【答案】(1)且(2)(3)【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得m、n的值；（2）根据正比例