解直角三角形实际应用的三种考法（解析版）（北师大版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题02解直角三角形实际应用的三种考法类型一、仰角俯角问题例．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为和，矩形建筑物宽度，高度．则信号发射塔顶端到地面的高度（即的长）为多少？【答案】【分析】设，分别借助三角函数表示出；根据即可建立方程求解．【详解】解：设由图可知：则解得：则答：信号发射塔到地面的高度为．【点睛】本题考查三角函数与仰角、俯角问题．找到直角三角形，利用三角函数表示出相关线段长度是解题关键．【变式训练1】．“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台观景，然后再沿着坡角为的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面的垂直距离为．如下图，，，，求斜坡的长度．（结果精确到，，，，，，）

【答案】【分析】延长交于点F，过D作于G，由解直角三角形可求得，从而求得，则可得，在中由三角函数即可求得的长．【详解】解：延长交于点F，过D作于G，如图；则，∴四边形是矩形，∴；在中，，∴，∴，∴；在中，，∴即斜坡的长度为．

【点睛】本题考查了与坡角有关的解直角三角形的应用，理解题意，作出适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式训练2】．国家跳台滑雪中心位于北京2022年冬奥会张家口赛区古杨树场馆群，是我国首座符合国际标准的冬奥会跳台滑雪场地．外观结构与中国传统吉祥物“如意”的S形曲线完美融合，因此，被形象地称为“雪如意”，在它的身上，体现了现代建筑与自然山水、历史文化的交相辉映，在这里举行的跳台滑雪分大跳台和标准台，大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，大跳台与标准台水平相距米，大跳台坡角，标准台坡角．求大跳台与标准台出发点落差是多少？（参考数据：，，；，，，结果保留整数．）

【答案】大跳台与标准台出发点落差约为米．【分析】先求解，过作于，而，，可得四边形是矩形，可得，，再分别求解，，从而可得答案．【详解】解：∵大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，∴，

过作于，而，，∴四边形是矩形，∴，，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∴大跳台与标准台出发点落差约为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．【变式训练3】．投影仪，又称投影机，是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角，求光源投屏最高点与地面间的距离．（参考数据：，，，，结果精确到）【答案】光源投屏最高点与地面间的距离约为．【分析】过点A作，垂足为G，过点D作，垂足为H，则，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，进行计算即可解答．【详解】解：过点A作，垂足为G，过点D作，垂足为H，则，，，在中，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴光源投屏最高点与地面间的距离约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．类型二、方位角问题例．如图，湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东方向上，B在A的东北方向上，且在C的正南方向900米处．

(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米．参考数据：）；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在7分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）【答案】(1)湖岸A与码头C的距离约为2459米(2)快艇能在7分钟内将该游客送上救援船，理由见解析【分析】（1）过点A作交延长线于点D，根据题意得，，米，，所以，设米，在中，利用三角函数求出，即可求出解决问题；（2）设快艇在y分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，列出方程进而可以解决问题．【详解】（1）解：如图，过点A作交延长线于点D，

根据题意可知：，，米，，，，，设米，在中，，解得：（米），答：湖岸A与码头C的距离约为2459米；（2）解：快艇能在7分钟内将该游客送上救援船，理由如下：设快艇在y分钟内将该游客送上救援船，∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，，，答：快艇能在7分钟内将该游客送上救援船．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．【变式训练1】．小明在学习直角三角形的三角函数时发现：如图1，在中，所对的边分别是a、b、c，∵，（）∴．小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．

(1)如图2，在锐角三角形中，所对的边分别是a、b、c，请你运用直角三角形的三角函数的有关知识验证；(2)请你运用（1）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东的方向航行，两小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上，求此时货轮与灯塔A的距离．【答案】(1)见解析(2)货轮距灯塔A的距离为海里【分析】（1）过点A作于点D，过点B作于点H，在中表示出，在中表示出，即可求证；（2）由（1）中所得结论可推出：，据此即可求解．【详解】（1）解：过点A作于点D，过点B作于点H

在中，∵，∴，同理，∴，∴同理可得∴（2）解：由题意可得∴，∵，∴∴海里．此时货轮距灯塔A的距离为海里．【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．构造直角三角形是解题关键．【变式训练2】．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知B在C的正西方向，A在C的北偏西方向，B在A的南偏东方向1800米处．

(1)求湖岸A与码头C的距离（结果可含根号）；(2)救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为420米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）（参考数据：，，）【答案】(1)米(2)能，理由见详解【分析】（1）根据题意可知：，，，即有，，可得，即，在中，有，问题得解；（2）设快艇将游客送上救援船时间为分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程=，列出方程，求出时间，再和6分钟进行比较即可求解．【详解】（1）解：作，交延长线于点，

根据题意可知：，，，∴，，∴在中，（米），即（米），∴在中，（米）；（2）解：设快艇将游客送上救援船时间为，此时快艇与救援船行驶的总距离为：米，∵在中，米，米，∴（米），∴（米），则，解得：，6min内可以将该游客送上救援船．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．【变式训练3】．如图，渔船跟踪鱼群由西向东航行，远处有一个小岛A，在点测得小岛A在北偏东60°，航行60海里到达点，这时测得小岛在A在北偏东45°的方向上．

(1)若渔船不改变航线继续向东航行，距离A岛的最短距离是多少？（结果保留根号）(2)渔船行至点时，忽然发现油料短缺，遂就地停船休整，与此同时，在正东方向，距离点180海里的救援船前来救援，请问当小岛A、渔船和救援船所组成的三角形是直角三角形时，此时救援船距离小岛A有多远？（结果保留根号）【答案】(1)距离A岛的最短距离是海里(2)此时救援船距离小岛A为海里【分析】（1）过点作于，过点A作于，根据角的关系得出，再根据等角对等边得出，设，在中，根据勾股定理求解即可得出答案；（2）过点A作于于A，交于，易证为等腰直角三角形，再根据三角函数即可得出答案．【详解】（1）过点作于，

由题意知，∴，过点A作于，∴，∴，∴，设，由题意知，，在中，，，勾股得，∴，解得，（舍），∴答：距离A岛的最短距离是海里．（2）过点A作于于A，交于，∴，∵，∴，∴，为等腰直角三角形，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴（海里），当救援船到达点时，A、、组成的三角形为直角三角形，答：此时救援船距离小岛A为海里．【点睛】本题考查了勾股定理的应用及解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形是解题的关键．【变式训练4】．如图，是某景区一段坡度的上坡路段，为竖直（与水平面垂直）的监控立杆，点D处安装了摄像头，点A、B分别为摄像头的测速起点与终点．安装调试摄像头时，在摄像头D处测得点A的俯角为，点B的俯角为．已知米，点O、A、B、C、D、E、在同一平面内．

(1)求杆的高度；（精确到个位）(2)一辆小汽车从A点驶向B点，摄像头两次测速抓拍的时间间隔为秒．若，此路段的限速是40千米/小时，试判断这辆小汽车是否超速违章，并说明理由．（参考数据：，，，）【答案】(1)杆的高度约为9米；(2)小汽车没有超速违章，理由见解析【分析】（1）过点D作，过点B作交的延长线于点M，设为x，则为7x，由勾股定理求得米，米，进而得到为9米；（2）过点C作于点N，由推导出，进而得到米，米，米，推导出小汽车的速度为千米/小时，进而得出结论．【详解】（1）解：如图，过点D作，过点B作交的延长线于点M，

∵是坡度的公路，∴设为x米，则为7x米，由勾股定理得：，∵米，∴，∴，即（米），∵，∴（米），∴（米），答：杆的高度约为9米；（2）小汽车没有超速违章．理由如下：如图，过点C作于点N，

由题可知，，∵，∴，由（1）得米，∴（米），∵，∴（米），∴（米），∴此时小汽车的速度为（米/秒）（千米/小时），∵，∴小汽车没有超速违章．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．类型三、坡度问题例．如图某中学依山而建，校门A处有一坡度的斜坡，长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角是，离B点4米远的E处有一个花台，在E处看楼顶C的仰角是的延长线交校门处的水平面于点D．

(1)求坡顶B的高度；(2)求楼顶C的高度．【答案】(1)5米；(2)米．【分析】（1）过B作于M，由坡度设，由勾股定理即可求解；（2）在中，利用正切三角函数可分别表示，由此建立方程可求得，进而可求得的长．【详解】（1）解：过B作于M，如图，∵斜坡的坡度为，∴设，由勾股定理得：，即，解得：，∴，即坡顶B的高度为5米；

（2）解：由题意知：，且，在中，，即；在中，，即；∴，解得：，∴；∵，∴四边形是矩形，∴，∴米．【点睛】本题考查了与俯角、坡度有关的解直角三角形，分别求得并建立方程是解题的关键．【变式训练1】．如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至E处，在E处测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度，根据小颖的测量数据，求建筑物的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：）

【答案】建筑物的高度约为米【分析】过作于，延长交于．则四边形是矩形，得，在中求出，再解直角三角形求出、的长，即可解决问题．【详解】解：如图，过作于，延长交于．

则四边形是矩形，，在中，米，，设，由勾股定理得，∴，即，（米），（米），在中，，是等腰直角三角形，（米），在中，，，（米），米．即建筑物的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式训练2】．如图．为测量学校旗杆的高度．小明从旗杆正前方处的点C出发沿坡度为的斜坡前进到达点D，在点D处放置测角仪．测得旗杆顶部A的仰角为量得测角仪的高为，A、B、C、D、E在同一平面内．且旗杆和测角仪都与地面垂直．

(1)求点D到地面的铅垂高度．（结果保留根号）(2)求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：）【答案】(1)米(2)米【分析】（1）延长交延长线于点，则，在中求得；（2）作，可得、，根据、可得答案．【详解】（1）解：延长交射线于点．

由题意得．在中，，．．．米，米，米．∴点的铅垂高度是米．（2）过点作于．由题意得，即为点观察点时的仰角，．，，，．四边形为矩形．米．（米）．在中，，（米）．（米）．答：旗杆的高度约为米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．【变式训练3】．如图是某校运动会主席台的侧面示意图，是主席台上的背景墙，数学兴趣小组想利用所学知识测量背景墙的高度．他们在距离主席台底端处的处竖立测角仪，从处测得背景墙顶端处的仰角为，，，，，，均在同一平面内）．已知长为，斜坡的坡度，坡长为，，测角仪高，求背景墙的高．（结果保留1位小数，参考数据：．．

【答案】背景墙的高约为21.7米【分析】延长与交于点，过点作，垂足为，延长交于点，如图所示，由坡度得到，设米，则米，在中，由勾股定理得到，在中，由正切三角函数列式求解即可得到答案．【详解】解：延长与交于点，过点作，垂足为，延长交于点，如图所示：

由题意得：，，米，米，，米，，斜坡的坡度，，设米，则米，在中，，（米，米，，，米，米，（米，在中，（米，（米，背景墙的高约为21.7米．【点睛】本题考查三角函数测高，理解坡度、掌握解三角形的实际应用是解决问题的关键．【变式训练4】．周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为，他从点A出发，沿爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为米的山坡到达点D，的坡度为，然后沿水平观景步道走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：，）(1)求山顶C到的距离（结果保留整数）；(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡、山坡段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．【答案】(1)山顶C到的距离约为1873米(2)小红先到达山顶C处，理由见解析【分析】（1）过点D作于点H，过点C作于点M，交延长线于点K．由的坡度为，得到，在和中，利用特殊三角函数值分别求出，，即可求出；（2）在中，，得到，分别计算出小明，小红所用的时间比较即可．【详解】（1）解：过点D作于点H，过点C作于点M，交延长线于点K．由题意得，，，∵的坡度为，∴，在中，，米，∴米，在中，，米，∴米，∴（米）答：山顶C到的距离约为1873米．（2）解：小红先到达山顶C处，理由如下：由题意得，在中，，∴米，∴小明到达山顶所需时间为：（分），小红到达山顶所需时间为：（分），∵，∴小红先到达山顶C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．课后作业1．某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且米．（参考数据：，，）

(1)求的长度（精确到个位）；(2)已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？【答案】(1)米；(2)应选择乘坐观光车．【分析】（1）作于M，于N，推出四边形是矩形，得到，求出（米），由锐角的正切定义求出的长，由是等腰直角三角形，得到，求出的长，即可解决问题；（2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断．【详解】（1）解：作于M，于N，

∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴（米），∵，∴（米），∵，∴是等腰直角三角形，∴（米），∴（米），∴（米）；（2）解：由勾股定理得到（米），∴（米），∴乘坐观光车的时间是（分钟），乘坐空中缆车的时间是（分钟），∴应选择乘坐观光车．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题．2．（1）如图：为测量河宽（假设河的两岸平行），在点处测得，在点处测得，且，则河宽为多少（结果保留根号）．（2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点处测得旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为．若旗杆底部点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高米，则旗杆顶点离地面的高度为多少米（结果保留根号）．【答案】（1）河宽为；（2）旗杆顶点离地面的高度为米【分析】（1）根据，，则，根据等角对等边，，在中，根据，得出的长即可；（2）作于点，构成两个直角三角形．运用锐角三角函数分别求出和，即可解答．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，在中，