第12讲 新高考新结构命题下的解三角形解答题综合训练（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page新高考新结构命题下的解三角形解答题综合训练（10类核心考点精讲精练）在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：三考题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。三重强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。三突出试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。解三角形版块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第16、17题这样的中等大题中，此时的分值将提升至15分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。考点一、面积及最值1．（2024·河南焦作·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，且，，.(1)求的值；(2)求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和余弦定理即可求得.（2）由余弦定理、向量运算、三角形面积公式和基本不等式即可求出面积的最大值.【详解】（1）因为，，则，化简得，由余弦定理得，.（2）在中，，，则，由得，，

即，所以.由基本不等式，得，即，当且仅当，即，时等号成立，所以的面积，故当，时，面积的最大值为.2．（2024·贵州铜仁·模拟预测）在中，已知，，．(1)求角；(2)若为锐角三角形，且，求的面积.【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用两角和的正切公式化简等式，利用诱导公式求出，再利用正弦定理求出角；（2）根据得到点为三角形重心，由直接求解即可.【详解】（1），在三角形中，，，，，在中，，，又，，，由正弦定理，得，，或；（2）因为为锐角三角形，所以，，点为三角形重心，所以，又，所以，所以的面积为.3．（2024·全国·模拟预测）在中，.(1)若，求；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一

先利用同角三角函数基本关系求得，再利用正弦定理结合两角和正弦公式化简求解即可；解法二

结合已知利用余弦定理求得，然后利用同角三角函数基本关系求解即可.（2）利用余弦定理得，然后利用三角形面积公式结合二次函数性质求解即可.【详解】（1）解法一

因为，所以.在中，由正弦定理得，所以，所以，则.解法二

设，则，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，所以.（2）由（1）中解法二可知，，在中，由余弦定理得，所以，当时取等号，故面积的最大值为.4．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为．已知．(1)求．(2)若点为边的中点，且，求面积的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由二倍角公式化简已知等式，然后由正弦定理角化边再结合余弦定理求得.（2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可.【详解】（1）由二倍角公式，得，即．由正弦定理，得，即．由余弦定理，得．因为，所以．（2）因为点为边的中点，所以，所以，即，解得，当且仅当时，等号成立．所以，所以面积的最大值为．5．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)若，，求b；(2)若，求的面积S的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据正弦定理，由得到，进而求得，再由，求得角B，A，得到，再由正弦定理求得b；（2）根据正弦定理角化边得到，用余弦定理求得A，再根据基本不等式求得，然后利用三角形面积公式，即可求得S的最大值.【详解】（1）∵，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以，所以B为锐角，所以，，所以，故，又，所以.（2）因为，由正弦定理得，即，所以，又，所以.因为，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时取等号，所以S的最大值是.考点二、周长及最值1．（23-24高三·河北沧州·模拟）的内角，，的对边分别为，，，．(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理边化角求解即得.（2）利用三角形面积公式求出，再余弦定理列方程求解即得.【详解】（1）依题意，，在中，由正弦定理得，因此，而，则，又，所以.（2）由的面积为，得，解得，由余弦定理得，而，则，解得，，所以的周长为.2．（2024·河南新乡·二模）已知的内角的对边分别为．(1)求的值；(2)若的面积为，且，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而得到的值；（2）由若的面积为，求得，再由余弦定理，求得，进而求得的周长.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，可得，即，因为，可得，所以，即，所以.（2）解：由（1）知，因为若的面积为，可得，即，解得，又因为，由余弦定理得，整理得，解得，所以，所以的周长为.3．（2024·陕西·模拟预测）的内角的对边分别为．(1)求；(2)若，求的周长最小值．【答案】(1)(2)9【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，利用余弦定理求角的值；（2）根据（1）中等式结合基本不等式求周长的最小值.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理知，且，所以．（2）由（1）可知：，整理得，且，当且仅当时，等号成立，则，即，可得，所以的周长最小值.4．（2024·全国·模拟预测）已知函数.(1)求的最小正周期与图象的对称中心；(2)在中，，求周长的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解；（2）由结合正弦定理得到外接圆的半径，从而有周长，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）解：由题意得，，所以的最小正周期；令，则，故图象的对称中心为.（2）由，得，又，所以，所以，则，则.设的内角所对的边分别为，由正弦定理得，，，则周长，，因为，所以，故，因此.5．（2024·陕西汉中·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．）①记的面积为S，且；②已知．(1)求角A的大小；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）选①，利用数量积的定义及三角形面积公式求解；选②，利用正弦定理边化角，再利用差角的余弦化简即得.（2）利用正弦定理化为角B的函数，再利用三角恒等变换及正弦函数性质求出范围.【详解】（1）选条件①，由，得，整理得，而，所以.选条件②，由及正弦定理，得，而，则，整理得，而，所以.（2）由（1）知，由正弦定理得，因此由为锐角三角形，得，解得，因此，则，于是，，所以周长的取值范围是.考点三、边长、线段及最值1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面四边形中，，，，.(1)若，求的面积.(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意计算出、及，借助面积公式即可得；（2）借助中定长，定角，则外接圆圆心到点的距离为定值，再计算出圆心到点的距离，由三角形三边关系即可得.【详解】（1）由，，，则，即，有，故，由，，则为正三角形，即有，，则；（2）由，，作出外接圆，令圆心为，则外接圆半径，即有，，则，则，即有，即，则，当且仅当、、三点共线时等号成立，即的最大值为.2．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)证明：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；（2）由是锐角三角形，可求出，进而求出，由正弦定理结合两角和的正弦定理可得，令，，由的单调性即可求出答案.【详解】（1）由，结合正弦定理得，即，所以，所以或（舍去），所以.（2）在锐角中，，，，即，所以..令，，，因为在上单调递增，所以，，所以.3．（2024·江苏扬州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且的面积为.(1)求角；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助余弦定理与面积公式可得，结合二倍角公式可得，即可得解；（2）结合题意借助向量，可得，结合模长与数量积的关系计算即可得，利用基本不等式即可得其最值.【详解】（1），结合余弦定理得，，，，即，又，，故；（2）由（1）知：，，，，又，当且仅当时，长取最小值，此时，长的最小值为.4．（2024·江西鹰潭·二模）的内角的对边分别为，，，满足.(1)求证：；(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）根据题意，化简得到，即可得证；（2）由（1）知且，利用正弦定理得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）证明：由，可得且，所以，因为为三角形的内角，可得，即，得证.（2）解：由（1）知，且，所以所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为5．（2024·全国·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．．(1)求角A；(2)若，，求AD．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知条件利用正弦定理角化边，化简后由余弦定理求出，得角A；（2）由，，得，有，得，有，再由即，解出的值.【详解】（1）中，，由正弦定理，有，即，得，由余弦定理，，由，得.（2），，解得，则都为锐角，有，得，锐角中，，则有，，由，则，又，得，由，得，即，，，解得.6．（2024·陕西西安·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，(1)求角的大小；(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到，由此得解；（2）利用三角面积公式推得，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以，由于，则，所以，即，又，所以.（2）因为的角平分线交于点，且，，

根据三角形面积公式可得，等式两边同除以可得，则，则，当且仅当，即时，等式成立，故的最小值为.考点四、三角函数值及最值1．（2024·上海·三模）已知在中，角所对的边分别为，且满足．(1)若，求的面积；(2)求的最大值，并求其取得最大值时的值．【答案】(1)或；(2)最大值，.【分析】（1）首先由余弦定理求出c，再结合三角形面积公式即可求解；（2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解．【详解】（1），，，又，，．又在中，，，，因为，所以，又在中，，，再由三角形的余弦定理得：，，即，解得或，当时，，当时，，（2），，．．其中，，，，在中，，，当时，取到最大值，此时，．2．（2024·全国·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，若．(1)求的值；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式化简，再由正弦定理以及余弦定理公式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理可得，构造函数，求导即可得到其值域.【详解】（1）因为，所以，即，由正弦定理及余弦定理的推论得，所以．（2）由（1）知，即，所以．因为是锐角三角形，所以解得．令函数，则，令，得，令，得，则函数在上单调递减，在上单调递增，当时，有极小值，即最小值为，当时，，当时，，所以，故的取值范围为．3．（2024·广东广州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.(1)求证：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为，结合诱导公式及可证.（2）根据及，结合诱导公式和二倍角余弦公式将化为，先求出角A的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【详解】（1）因为，由正弦定理得，，由余弦定理得，所以，又，所以.又，，所以或，所以或，又，所以，所以，得证.（2）由（1）知，所以，又，所以，因为，所以，所以，因为函数在单调递增，所以，所以的取值范围为.4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可.（2）利用为锐角三角形，求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值.【详解】（1）由题，由正弦定理：，所以，整理，所以，或（舍）,.（2）为锐角三角形,解得：,所以，且由（1）问，，令，则，所以因为,当时，所求的最大值为.5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．(1)若，，求的面积；(2)求的最小值，并求出此时的大小．【答案】(1)(2)的最小值是5，此时【分析】（1）结合余弦定理与面积公式即可得；（2）结合三角恒等变换与三角形内角和，将原式中多变量换成单变量，再结合基本不等式即可得.【详解】（1）由题意得，因为，所以，故，又，所以．因为、是的内角，所以为钝角，所以，所以，所以是等腰三角形，则，所以．（2）由（1）可知，在中，，即为钝角，则，因为，，所以，设，则，由，故，当且仅当，即，结合为钝角，即当时等号成立，所以的最小值是5，此时．考点五、内切圆、外接圆半径问题1．（22-23高一下·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为，在以下条件中选择一个条件：①；②；③．求解以下问题．（选择多个条件的，以所选的第一个计分）(1)求角；(2)若，且，求的内切圆半径．【答案】(1)(2)1【分析】（1）选①．由已知得，由正弦定理得化边为角，进而得，结合的范围可得．选②．由正弦定理化角为边得，则，可得．选③．由已知得，即，则，可得．（2）因为，所以，由余弦定理求得，求得的面积，利用面积法求得内切圆半径．【详解】（1）选①．因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以．选②．，则，所以，即，所以，因为，所以．选③．因为，所以，又，所以，因为，所以．（2）因为，由（1）可知，所以，又，则，所以，又的面积，设的内切圆半径为，则，所以，解得．2．（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，的对边分别是，，，．(1)求角的大小；(2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式得，由，得到，得到;（2）利用余弦定理及基本不等式求得，利用等面积法求得的最大值，利用正弦定理求得，求出【详解】（1）由及正弦定理，得，故，即，即．由，则，故，即．因为，所以．（2）由（1）和余弦定理可得，，故，，即，当且仅当时等号成立．故．由利用等面积法求得的最大值，易知，故，故，利用正弦定理，所以的最小值为2．3．（2022·湖北·三模）在中，内角所对的边分别为，，，已知，．(1)求角的大小；(2)求外接圆半径的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由平面向量数量积的定义结合三角形的面积公式化简即可得出答案.（2）由余弦定理结合均值不等式可得，所以外接圆半径的最小值，代入即可得出答案.【详解】（1）因为，所以，整理得，所以，又，所以．（2）因为，，所以，故，即，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4．所以.4．（2024·吉林·二模）已知的三个内角的对边分别为的外接圆半径为，且.(1)求;(2)求的内切圆半径的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化为边，再由余弦定理求解即可；（2）根据等面积法可得出的表达式，利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围.【详解】（1）由正弦定理可得，，即，所以，由可知，，所以，故.（2）因为的内切圆半径，所以，即，又因为，所以，所以，由正弦定理，又，则，所以，故，所以.5．（2023·广西南宁·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．(1)求的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦边角关系可得，应用余弦定理即可求，进而确定其大小；（2）由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合（1）及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.【详解】（1）因为，由正弦边角关系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，则.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面积法可得，则，∵，∴，故，则，所以，故.6．（2023·山东·一模）如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；(2)求内切圆半径的取值范围．【答案】(1)有，(2)【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理结合条件得，所以，，所以四点共圆，则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．由正弦定理即可求出；(2)由三角形面积公式得到，则，由正弦定理得，，化简得，因为，所以，即可得到的取值范围，从而得到半径的取值范围．【详解】（1）在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以．因为，所以，所以四点共圆，则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．又，所以．（2）由（1）可知：，则，，则．在中，由正弦定理，，所以，，则，又，所以，所以，，即，因为，所以．考点六、中线、角平分线、高线问题1．（2024·四川成都·三模）在中，．(1)求的长；(2)求边上的高．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入运算得解；（2）求出，由等面积法求解.【详解】（1）由题，，，，由余弦定理得，，解得，即.（2）在中，，，设边上的高为，则，即，解得.所以边上的高为.2．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）记的内角的对边分别为，面积为，且．(1)求的外接圆的半径；(2)若，且，求边上的高．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理、三角形面积公式求解即得.（2）结合（1）的信息，求出边a，再利用余弦定理结合已知面积关系求解即得.【详解】（1）在中，，解得，由正弦定理得的外接圆的半径.（2）由（1）知，，由余弦定理得，则，令边上的高为，则，即，所以边上的高为.3．（23-24高三上·黑龙江·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求角；(2)若，求边上高的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）用正弦定理边化角即可求解；（2）用余弦定理结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由正弦定理及，得.因为，所以，所以，所以.因为，所以.因为，所以.（2）由（1）及余弦定理得：，所以，所以，当且仅当时等号成立，设边上的高为，又因为，所以.即边上高的最大值为.4．（2023·广东广州·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围【详解】（1）由余弦定理得，即，由正弦定理得，，即，.（2）由余弦定理得：，则.由正弦定理得所以，因为是锐角三角形，所以，即，则.中线长的取值范围是.5．（2023·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且，(1)求；(2)求边上中线长的取值范围．【答案】(1)6(2)【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可；（2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根据，结合向量的相关运算求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，且，则，可得，即，且，则，由正弦定理，其中为的外接圆半径，可得，又因为，所以.（2）在中，由余弦定理，即，则，当且仅当时，等号成立，可得，即设边上的中点为D，因为，则，即，所以边上中线长的取值范围为.6．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.(1)求；(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选择条件①，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；选择条件②，利用正弦定理将边化角，再由同角三角函数的基本关系将切化弦，结合两角和的正弦公式计算可得；选择条件③，利用诱导公式求出，即可得解；（2）由面积公式求出，再由，将两边平方，结合数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】（1）选择条件①，，则，由正弦定理可得，即，所以，由，所以.选择条件②，，由正弦定理可得即，由，所以，，显然，所以，由，所以.选择条件③，，即，所以，则，由，，则，所以，则.（2）由，解得.又，所以，所以，当且仅当时等式成立，所以取最小值是.7．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．(1)若，求边上的角平分线长；(2)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理结合两角和的正弦求出，再根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；（2）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【详解】（1）由及正弦定理得，即，即，所以，因为，所以.因为，所以.由余弦定理得，又，所以，由得，所以，所以，解得.（2）因为为的中点，所以，则，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即边上的中线的取值范围为.8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角，，的对边为，，，且，(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，且，求底边上中线的长：②求内角的角平分线长的最大值．【答案】(1)；(2)①；②【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，即可由同角关系求解，（2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式即可求解，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以；（2）①由（1）知，因为的面积为，所以，解得，且，解得，由于，所以，所以；②因为为角的角平分线，所以，由于，所以，由于，所以，由于，又，所以由于，当且仅当时，等号取得到，故，故，考点七、三角形中的证明问题1．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.

(1)若，求和；(2)若，证明：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用正弦定理及几何关系得出，进而得出是等边三角形及边长，进而可求解.（2）在与中，利用余弦定理列出方程组，化简即可证明.【详解】（1）由，，可得.因为，所以在中，由正弦定理可得，即，则或60°，又因为，故.因此，又因为，所以是等边三角形，所以，又在中，，，故，所以.（2）证明：令，，，.因为，则.在与中，由余弦定理可得消去，得，整理得，所以，即.2．（2022·广东·二模）如图，已知△ABC内有一点P，满足．(1)证明：．(2)若，，求PC．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，即，即要证明即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；（2）由题意求得，继而求得，在中利用余弦定理求得，即可求得答案.【详解】（1）证明：在△ABP中，由正弦定理得，即，要证明，只需证明，在△ABP中，，在△ABC中，，所以，所以，所以．（2）由（1）知，又因为，，所以，由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，则，所以在△PBC中，，由正弦定理得，即，即．由余弦定理得，由题意知，故解得，所以．3．（22-23高一下·北京·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.（i）求证:；（ii）若，，求CD的长.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）由正弦边角关系得，应用余弦定理求C的大小；（2）（i）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；（ii）由正弦定理可得，进而得，设并表示出，应用余弦定理列方程求k，最后求CD的长.【详解】（1）由题设，则，故，所以，又，故.（2）（i）由题设，若上的高为，又，，所以，即.（ii）由，则，又为锐角，故，若，则，且，，由余弦定理知：，所以，可得或，当，则，，此时，则；当，则，即，不合题设；综上，.4．（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．(1)求证：．(2)若，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证；（2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证.【详解】（1）如图．在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．所以，所以．（2）因为，所，所以．由可知，均为锐角．由（1）知，．设，则，．由，得．在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．所以．5．（2022·湖北·模拟预测）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.(1)证明：(2)若，，求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，利用余弦定理求得，，再根据，化简，可求得，同理可求得，即可得证；（2）利用余弦定理求得，，再根据结合（1）求得，设，可求得，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）证明：设，由余弦定理知：，，由是外心知，而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；（2）解：由（1）知，由余弦定理知：，，代入得，设，则，因此，当且仅当时取到等号，因此的最大值为.6．（22-23高一下·山东枣庄·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分线.（i）证明：；（ii）若，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；（2）（i）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案.【详解】（1）因为中，，故，因为，故；（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，

又②，同理在中，③，④，BD是的角平分线，则，则，又，故，故①÷③得⑤，即，由②④得，，则，即；（ii）因为，故，则由⑤得，则，由以及（i）知，即，则，当且仅当，结合，即时等号成立，故，即的最大值为.【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于的证明，证明时要利用正余弦定理得到涉及到的线段之间的等量关系，然后利用分式的性质进行变形，过程比较复杂，计算量较大，因此要十分注意.考点八、图形类综合1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.

(1)求CO的长；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理得，根据同角关系以及二倍角公式可得，进而根据面积公式即可求解，（2）根据正弦定理得，进而由余弦定理得，利用和差角公式可得，即可由面积公式求解.【详解】（1）在中，由余弦定理得，解得或（舍去）.因为，所以.所以，解得（负值舍去），所以.因为，所以.所以.所以.（2）在中，由正弦定理可得，则，由于为锐角，所以.因为，所以，所以，所以，由余弦定理可得，解得.因为，所以，所以.2．（21-22高三上·广东珠海·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解，（2）根据余弦定理求解，即可由正弦定理求解，进而由锐角三角函数即可求解.【详解】（1）∵，根据正弦定理得，，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以．（2）因为，，，根据余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为，，，且．(1)求；(2)已知，为边上的一点，若，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，再结合三角函数的性质，即可求解；（2）在中，利用余弦定理，求得，得到，进而求得，进而求得，再在中，利用正弦定理，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，因为，可得，所以，即，所以，又因为，可得，所以，可得.（2）解：在中，由余弦定理得

，所以，因为且，所以，所以，又因为，所以，所以

，在中，由正弦定理得，即，解得.4．如图，在中，，，为内一点，．(1)若，求；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）中利用三角函数的定义，求出，可得，从而，

再在中算出，利用余弦定理，即可得出答案；（2）设，在中根据正弦定理建立关于的等式，解出，

利用同角三角函数的关系可得，，，，

利用余弦定理，即可得出答案．【详解】（1）在中，，，，可得，．，在中，由余弦定理得，即，；（2）设，可得，，在中，，中，由正弦定理得，即，，化简得，，因此，，，所以的面积.5．（2023·河南信阳·模拟预测）在中，，的面积为，为的中点，于点于点.

(1)求的面积；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，可得，，作于点，于点，可得，，代入上式得解；（2）延长到点，使，连接，在中，利用余弦定理可得，在中由正弦定理可求得结果.【详解】（1）在四边形中，，，故，故，作于点，于点，

又为的中点，则，，故.（2）设的三条边，，分别为，，，由，知，延长到点，使，连接，则，，则在中，，，故由与可得，，则，，则，由正弦定理得，则.考点九、参数类问题1．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，，且．(1)求；(2)若，且，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合三角恒等变换即可求解，（2）根据正弦定理求解,即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质求解，即可结合特殊角的三角函数值以及不等式的性质求解.【详解】（1）由题意及正弦定理得，，，，．，又．（2）在中，，由正弦定理得．在中，由正弦定理得．，，由于．为锐角三角形，进而，且，解得．又，．又，．2．（2023·全国·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为，且.(1)求的值；(2)若，且，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简题给条件，再利用正弦定理即可求得的值；（2）先化简题给条件求得，代入题干条件进而求得，从而得到的最小值，再结合条件求出实数的取值范围.【详解】（1）依题意，，因为，所以.由正弦定理，得，故上式可化为.因为，所以，由正弦定理，得.（2）因为，由正弦定理，，因为，故，则，故，因为，故，又，故，代入中，得，即.由余弦定理，，故，则，当且仅当时等号成立，故，又，所以实数的取值范围为.3．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足，.(1)证明：外接圆的半径为；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理结合角的范围求出角，再应用正弦定理求出外接圆半径即可；（2）把已知恒成立，参数分离转化为恒成立，再求出的最大值可得范围.【详解】（1）由，得，由正弦定理得:，化简得.因为，所以.又，所以，所以外接圆的半径为.（2）要使恒成立，即恒成立，即求的最大值.由余弦定理得，所以因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以实数的取值范围为.4．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)若，求的面积;(2)若，求使得恒成立时，实数的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解；（2）根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到，再由基本不等式代入计算，即可得到，从而得到结果.【详解】（1）因为，即，所以，即，则，所以，所以，且，由正弦定理可得，则，所以，则.（2）因为，由余弦定理可得，又，则，即，所以，化简可得，因为，所以，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，故即可，所以的最小值为.考点十、解三角形与其他知识点杂糅问题1．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知，，(1)求的单调递增区间；(2)设的内角所对的边分别为，若，且，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示及三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的单调性即可求解．（2）由已知可求，求得，利用余弦定理，基本不等式可求，可得，根据，即可得解．【详解】（1）解：因为，且，所以即，令，，解得，．所以函数的单调递增区间为，，（2）解：因为，所以．因为，所以，所以，所以，又因为，所以由余弦定理，即，即．而，当且仅当时取等号，所以，即，又因为，所以，即．2．（2022·山东淄博·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．(1)求证：；(2)若，求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先将括号打开整理可得，利用同角的三角函数关系化切为弦，结合正弦的和角公式整理可得，根据正弦定理即可证明；（2）结合余弦定理与数量积的定义可得，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）证明：因为，所以，所以，即，两边同时乘，可得，即。所以，因为，所以，由正弦定理可得，即.（2）因为，所以由余弦定理可得，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．(1)求四边形ABCD的面积；(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理与面积公式求解（2）以为基底分解，由平面向量数量积的运算律求解【详解】（1）解：在中，在中，∵A，B，C，D四点共圆，∴，∴，∴，因为，所以，所以，，（2）解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为，所以，．4．（2022·浙江杭州·模拟预测）的内角的对边分别为