第10讲 图形类解三角形综合（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第10讲图形类解三角形综合（核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复习知识讲解正弦定理（其中为外接圆的半径）余弦定理，，三角形的面积公式，考点一、图形类解三角形综合考查1．（江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最优解】：几何法过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．又由（1）可得，所以．[方法三]：几何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：构造直角三角形法

如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，从而．在中，．所以．【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.2．（全国·高考真题）的内角的对边分别为已知.（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且,求的面积.【答案】（1），；（2）.【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.(2)，，，，，.3．（四川·高考真题）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：（2）若求的值.【答案】（1）详见解析；（2）.【详解】（1）.（2）由，得.由（1），有连结BD，在中，有，在中，有，所以，则，于是.连结AC，同理可得，于是.所以.考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.4．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形中，.(1)若四点共圆，求；(2)求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）在、中分别利用余弦定理表示出，再由四点共圆得到，即可求出；；（2）由（1）可得，再由面积公式得到，将两式平方再相加得到，结合余弦函数的性质计算可得.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因为四点共圆，所以，因此，上述两式相加得：，所以（负值已舍去）.（2）由（1）得：，化简得，则①，四边形的面积，整理得，则②①②相加得：，即，由于，所以当且仅当时，取得最小值，此时四边形的面积最大，由，解得，故四边形面积的最大值为.5．（23-24高三上·江西·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β.(1)求的值；(2)若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可；（2）根据题意，由（1）知，求出取得最大值，最大值为.【详解】（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，.（2）由题意知，，所以，由（1）知，，所以，所以，所以当时，取得最大值，最大值为.1．（湖南·高考真题）如图，在平面四边形中，,(1)求的值；(2)求的长【答案】(1)(2)【分析】(1)在中已知两边与一角,利用余弦定理即可求出第三条边的长度,再利用余弦定理即可求出角的正弦值.(2)由(1)三角形的三条边,根据正余弦直角的关系可得角的余弦值(或者利用正余弦之间的关系也可求的),角之和为,其中两个角的正余弦值已知,则可以利用余弦的和差角公式求的角的余弦值,长度已知,利用直角三角形中余弦的定义即可求的长.【详解】如图设(1)在中,由余弦定理可得,于是又题设可知,即,解得(舍去),在中,由正弦定理可得,即.(2)由题设可得,于是根据正余弦之间的关系可得,而,所以,在中,,所以.考点：正余弦定理正余弦和差角公式直角三角形正余弦之间的关系2．（湖南·高考真题）如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.

（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．【答案】(1)(2)【详解】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得；(2)利用题意结合正弦定理可得：.试题解析：（I）在中，由余弦定理得(II)设

在中，由正弦定理，

故点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.3．（2024·青海海西·模拟预测）如图，在四边形中，．(1)求；(2)若的面积为，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据诱导公式及两角和的余弦公式求出，再由正弦定理得解；（2）由三角形面积求出，再由余弦定理求出.【详解】（1）由，则，又由，所以，又由，可得，在中，又由正弦定理得：，所以，可得；（2）由，可得，又由的面积为，有，可得，在中，由余弦定理有．4．（2024·山东菏泽·二模）已知在中，的面积为．(1)求角的度数；(2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）设，则求解即可；（2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到，根据角的范围求解即可．【详解】（1）设，则，又，因此，由为的内角，所以.（2）由（1）知，，又，则，因此，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，，显然，则有，因此当时，取到最小值，此时，即，所以的值.1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，点D在边BC上，且.

(1)求；(2)求线段AD的长.【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用余弦定理与三角函数的平方关系即可得解；（2）利用正弦定理即可得解.【详解】（1）根据题意得：，又，所以.（2）因为，所以，在中，由正弦定理可得，.2．（23-24高三上·湖北·期末）如图，在中，，点是边上一点，且，(1)求的面积；(2)求线段的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求解即可；（2）解法1：在中根据余弦定理求出，结合等腰三角形的性质求，在中勾股定理求即可；解法2：由求得.【详解】（1），而.（2）解法1：，，在中，，在等腰中，，Rt中，，.解法2：，由得，,即，解得.3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，．(1)求；(2)若的面积为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用正弦定理求出，再结合结合同角的三角函数关系即可求解；（2）先结合（1）及三角形面积公式求出，再根据余弦定理即可求解．【详解】（1）在中，由正弦定理得，即，解得，又，所以．（2）结合（1）可得，则，又，即，解得，则由余弦定理得，又，所以．4．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．

(1)求；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，根据面积得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，进而求出，从而求出的值；（2）在中，由正弦定理得，结合（1）中，由角的范围得到.【详解】（1）设，因为的面积为，所以，解得，所以．在中，由余弦定理得，所以．在中，，所以，所以；（2）由（1）可得，在中，由正弦定理得，所以，且．由（1）可得，又，所以．5．（2024·江西南昌·一模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，交于点.(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由锐角三角函数求出、，又，利用两角和的余弦公式求出，最后由余弦定理计算可得；（2）解法1：首先求出，再由，利用面积公式计算可得；解法2：首先得到，再由计算可得.【详解】（1）由已知，，，因为，所以，所以在中由余弦定理可得.（2）解法1：因为，又因为，所以，即，解得.解法2：因为，所以，又，，所以，又因为，所以，则，所以.6．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）已知A，B，C，D四点逆时针排列于同一个圆O上，其中的面积为，．(1)求边的长；(2)当圆心O在上时，求．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）由已知，结合三角形面积公式及余弦定理求解即得.（2）由（1）的信息，结合圆的性质求出即可得解.【详解】（1）在中，的面积为，则，解得，而，于是，由余弦定理得.（2）由（1）知，而线段为圆的直径，则，因此，所以.7．（23-24高三上·江西·阶段练习）如图，在梯形中，，，.(1)若，求的长；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可；（2）利用余弦定理进行求解即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得，则.（2）因为，所以.由余弦定理得，则，所以.8．（23-24高三上·安徽·期末）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.

(1)求的大小;(2)若,求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）因为是的角平分线,所以,在中利用余弦定理求出的长,再次利用余弦定理即可求出的大小.（2）在中,由正弦定理求出的长,再根据四边形内角和为可得到,从而求出的值,再利用三角形面积公式求解即可.【详解】（1）因为是的角平分线,所以,在中,根据余弦定理得,所以,则,因为,所以.（2）因为,所以,在中,由正弦定理得,在四边形中,,所以,则.9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，的角平分线与相交于点，且.(1)求的大小；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中利用正弦定理结合已知条件求出，即可得解；（2）依题意可得，由求出，再在中利用余弦定理计算可得.【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，又，所以，因为，所以.因为，所以.（2）因为，所以.因为平分，所以.因为，所以，又，，所以，解得，因为，所以，所以.10．（2024·山西晋中·三模）在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，在边上（不含端点）存在点，使得，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接用余弦定理求得，进而得到；（2）思路一：利用正弦定理三角恒等变换得，进一步结合正弦定理得，由即可求解；思路二：设边上的高线长为，则长度的取值范围是，从而条件等价于，最后用表示和，即可求出的范围.【详解】（1）由余弦定理得，所以.（2）方法一：因为，所以，由（1）知道，所以，所以，所以由，可得，从而（因为），所以，结合是三角形内角可知，，当时，在三角形中，设，则，由正弦定理得，故，因为，所以，在三角形中，由正弦定理得，故，因为，所以的取值范围是，所以的取值范围是.方法二：在本小问的解析中，所有“线段上”均不含端点和.由知角是钝角，所以角都是锐角，这表明点在直线上的投影在线段上.设，则由在线段上及可知，对线段上的点，长度的取值范围是，所以条件等价于.而我们有，故.由于，故我们又有.所以条件等价于，即.综上，的取值范围是.1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，已知为锐角，边上的两条中线相交于点的面积为.(1)求的长度；(2)求的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）因为，得到，由，在由余弦定理即可得到的长度.（2）因为，所以为直角，,.在中，由勾股定理得，即得到，在中，由余弦定理即可得到的余弦值.【详解】（1）由题知，，所以，又因为，所以或.因为为锐角，所以.在中，由余弦定理知，整理得，解得.（2）因为，所以，，在中，由勾股定理得：，，所以在中，由余弦定理得.所以的余弦值为.2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角的对边，且．(1)求A；(2)若，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针方向旋转，，旋转后相交于点D（如图所示），且，求AD．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变形，即可求解；（2）由条件确定几何图形中的角的值，再根据正弦定理和余弦定理求解.【详解】（1）由正弦定理可知,又因为，所以，且，则，即，所以，因为，，所以，所以；（2）由条件可知，，，且，所以，又，所以，，，且中，，得,中，，得，中，，.3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点，，，构成的四边形中，，，，.(1)求面积的取值范围；(2)若四边形存在外接圆，求外接圆面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形的性质，求的范围，再根据余弦定理求的范围，以及的范围，最后代入面积公式，即可求解；（2）由余弦定理和有外接圆的四边形的性质，求和，最后代入外接圆面积公式，即可求解.【详解】（1）由三角形的性质可知，，即，且，即，所以，中，，所以，则，，所以面积的取值范围是；（2）中，，中，，即因为四边形存在外接圆，所以，即，即，得，，此时，即，由，四边形外接圆的面积.4．（2024·浙江绍兴·二模）在三角形中，内角对应边分别为且.(1)求的大小；(2)如图所示，为外一点，，，，，求及的面积.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，根据式子特点，变换，从而可以化简三角恒等式为，最后利用辅助角公式求出；（2）设，可知用表示，，利用正弦定理可得公共边的式子，最后可得一个关于角的三角方程求解出角的大小，然后求出求出和，最后利用面积公式即可求出面积.【详解】（1），由正弦定理边化角得：，由三角形内角和为可得：，即，即，又，即，又，，即.（2）设，在中，，，，，在中，，，，，即，，，又，，解得，，又由，于是.5．（2024·广西来宾·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，为平分线，(1)求；(2)若，上存在点，使得，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换求解即可；（2）令，，在中，利用余弦定理可求，在中，利用正弦定理可求，再由，，即可求解.【详解】（1）由，结合正弦定理得，，因为，所以，即，又，所以，因为，所以，又，所以；（2）由（1）知：，令，，则，，在中，，所以，则，故得：，，，，因为，在中，，所以，可得，因为，则，所以，又，所以.6．（2024·湖南衡阳·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且．(1)求A；(2)如图所示，D为平面上一点，与构成一个四边形ABDC，且，若，求AD的最大值．【答案】(1).(2)4【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，代入计算，即可得到结果；（2）方法一：根据题意，分别在与中由正弦定理化简，即可得到，从而得到结果；方法二：由余弦定理可得，再由正弦定理代入计算，即可得到结果；【详解】（1）因为，由正弦定理得，，所以，所以，因为，所以，因为，所以.（2）方法一：设，则：在中，，①，在中，，②：，所以，所以，所以AD的最大值是4解法二：在中，由余弦定理得，=，因为，所以四边形存在一个外接圆，所以圆的直径为因为，即，当AD为圆O直径时取等号，故的最大值为4.7．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则.(1)若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长；(2)请证明题干中的定理；(3)如图中，若，D为BC中点，，，，求的值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）余弦定理求出，再用所给式子求出中线即可；（2）左右两个三角形和分别使用余弦定理，得到两个方程，结合，相加即可证明；（3），利用三角恒等变换，求得，结合，求出．在，用面积公式求出，进而求出，再用余弦定理即可解.【详解】（1）如图所示，由余弦定理得，，代值计算得到，求得；由于，代值计算得，求得（2）在中，；在中，；两式相加，且，得到，则原式得证．（3）由于则由正弦定理，得，即，去分母整理得到，即．且，则，则．由于，且，即联立解出由于，则，解得，则（负数不满足）.由余弦定理得到，代值计算，，则，则．8．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形中，，设.(1)若，求的长；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中由正弦定理解出，再在中由余弦定理解出即可；（2）在中由正弦定理解出，再在中，由正弦定理解出，由相等关系得，最后解出即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得：，即，，因为，所以，解得，则，在中，由余弦定理得：，所以.（2）如图：由，则，因为，所以在中，由正弦定理知：，，由，因为，所以，，由，，所以在中，由正弦定理知：，由，在中，，所以，所以，又因为，即，所以，即，所以，，所以，故.9．（23-24高一下·广东茂名·期末）如图所示，在中，，AD平分，且.(1)若，求BC的长度；(2)求k的取值范围；(3)若，求k为何值时，BC最短.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在和中分别利用正弦定理结合AD平分，可得，从而可求出，进而可求出；（2）由结合三角形的面积公式及已知条件化简可得，从而可求出k的取值范围；（3）由，结合余弦定理得，令，则当最小值时，最短，化简后结合辅助角公式和正弦函数的性质可求得结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因为AD平分，所以，因为，所以，所以，因为，，所以，得，所以；（2）因为，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以；（3）由余弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以，所以，令，则，所以（其中），所以当时，取得最小值4，即当时，取得最小值4，此时，所以，因为，所以，所以，由（2）知，所以，即当时，最短.【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式和三角函数恒等变换公式的应用，第（3）问解题的关键是余弦定理结合已知条件表示出，换元后结合三角函数恒等变换公式可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.10．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点．(1)求的正弦值；(2)当点为中点时，求的余弦值．(3)当取得最小值时，设，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）解法1、先利用余弦定理求得BC，再根据与互补，由，求得，然后在中，利用余弦定理求解；解法2、由，求得，再利用的面积为面积的求解；解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式求解；（2）方法1、在中，利用余弦定理，求得，再由为重心，得到，，然后在中，利用余弦定理求解；解法2：由，求得，再利用向量的夹角公式求解；解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系，再利用向量的夹角公式求解；（3）设，由，则即时，取最小值，得到，再由，，得到，由A，，三点共线求解；【详解】（1）解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因为与互补，所以，解得，在中，由余弦定理，得，因为，所以．解法2、由题意可得，，由为边上的中线，则，两边同时平方得，，故，因为为边中点，则的面积为面积的，所以，即，化简得，．解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系则，，，所以，，所以，因为，所以．（2））解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由，分别为边，上的中线可知为重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因为为边上的中线，所以，，，即．所以．解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系：则，，，，所以，．所以．（3）设，，当即时，取最小值，，，，，，，三点共线，.1．（北京·高考真题）如图，在中，，，点在边上，且，.（1）求；（2）求的长.【答案】（1）；（2）7.【详解】试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余