第09讲 解三角形中的最值及范围问题（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第09讲解三角形中的最值及范围问题（15类核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为13-15分【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。知识讲解解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点基本不等式，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推论重要不等式（和定积最大）当且仅当时取等号当且仅当时取等号辅助角公式及三角函数值域形如，，其中，对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围三角形中的边角关系构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边在三角形中，大边对大角，小边对小角在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:即注意：在锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。考点一、面积类最值及范围问题1．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理即可得；（2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值.【详解】（1）由题意可知，，由正弦定理得，因为，所以，即.（2）由（1）可知，所以或.在中，由余弦定理得，当时，，，当且仅当时取等号，即，故的面积.当时，，，当且仅当时取等号，即，故的面积.综上所述，的面积最大值为.2．（2024·河北·模拟预测）在锐角中，，，分别是角的对边，.(1)求；(2)若，求的面积取值范围.【答案】(1);(2).【分析】（1）利用进行化简，可求，进而可求；（2）由正弦定理及三角恒等变换化简可得，结合锐角三角形得到，根据正弦函数的性质即可求解．【详解】（1）因为，所以，根据正弦定理可得.因为，所以，所以，所以，即.因为，所以，即.因为，所以，所以.因为，所以.（2）由正弦定理得，所以.所以.因为是锐角三角形，所以,即，解得，所以，所以，所以,所以的面积取值范围为.3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.

(1)当时，求；(2)当变化时，求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理可得的值；（2）由余弦定理可得的表达式，进而求出正三角形的面积的表达式，进而求出四边形的面积的表达式，由辅助角公式及的范围，可得四边形面积的范围．【详解】（1）因为，，，由余弦定理可得：.（2）由余弦定理可得，因为为正三角形，所以，，所以，因为，所以，所以，所以，故当时，四边形面积的最大值为.4．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）已知在平面四边形中，，.(1)求的值；(2)记与的面积分别为和，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在和中利用余弦定理表示出，即可得到方程，解得即可；（2）利用三角形的面积公式表示出，然后结合上一问条件求解.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，所以，即.（2）依题意，，所以，又，所以当时取最大值（此时，该四边形符合题意），即的最大值为.1．（2024·广东茂名·一模）在中，内角的对边分别是，且.(1)求的大小；(2)若是边的中点，且，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助三角形内角与正弦定理边角转化，结合二倍角公式计算即可得；（2）借助向量线性运算与基本不等式，结合三角形面积公式计算即可得.【详解】（1），，，由正弦定理可得，，，，，，即，即；（2）依题意，，，，，即，即，当且仅当时，等号成立，即，面积的最大值为.2．（2024·江苏·模拟预测）在中，点在边上，且满足.(1)求证：；(2)若，，求的面积的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）因为，所以，由正弦定理可得，则可得，则得；（2）由，化简可得，则得，，因为，则可得，再由基本不等式可得，即，则得到的面积的最小值.【详解】（1）在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，又因为，，且，所以.（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，由（1）知，则，因为，所以，又，所以因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值为.3．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形中，.(1)若四点共圆，求；(2)求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）在、中分别利用余弦定理表示出，再由四点共圆得到，即可求出；；（2）由（1）可得，再由面积公式得到，将两式平方再相加得到，结合余弦函数的性质计算可得.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因为四点共圆，所以，因此，上述两式相加得：，所以（负值已舍去）.（2）由（1）得：，化简得，则①，四边形的面积，整理得，则②①②相加得：，即，由于，所以当且仅当时，取得最小值，此时四边形的面积最大，由，解得，故四边形面积的最大值为.4．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若，角与角的内角平分线相交于点D，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简得到，即可得解；（2）依题意，设，由三角形为锐角三角形求出，在中利用正弦定理表示，即可表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以，又，得，所以，即，由，解得；（2）由题意，，所以，设，，，又，则，，在中，由正弦定理可得：.即，，，，，，，即，所以面积的最大值为.5．（23-24高三上·江西·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β.(1)求的值；(2)若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可；（2）根据题意，由（1）知，求出取得最大值，最大值为.【详解】（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，.（2）由题意知，，所以，由（1）知，，所以，所以，所以当时，取得最大值，最大值为.考点二、周长类最值及范围问题1．（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知(1)试判断的形状；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)是直角三角形(2)【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；（2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，所以周长为，因为，可得，所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为.2．（2024·四川南充·模拟预测）在中，.(1)求；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，由余弦定理，，.（2）因为，即，，当且仅当时取等号，，即，又，所以，当且仅当时取等号，周长，即周长的最大值为3．（2024·湖南常德·一模）已知的内角的对边分别是，且.(1)判断的形状；(2)若的外接圆半径为，求周长的最大值.【答案】(1)等腰三角形(2)【分析】（1）使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明；（2）先用基本不等式证明，然后利用正弦定理与外接圆半径的关系可得到，最后说明等号可以取到，即得结果.【详解】（1）由正弦定理并结合已知有.故，从而.由于，从而，故由可知，所以一定是等腰三角形.（2）设的外接圆半径为.一方面，我们有，故；另一方面，当是边长为的等边三角形时，有，.此时，，且.所以周长的最大值是.【点睛】关键点点睛：值得一提的是，第2小问证明时并不需要使用第1小问得到的.若使用该条件，则可化为，然后再利用亦可得到结果.但这样并未从本质上减少工作量，反而使解析失去了一般性和启发性，因此本解析不采用此法.4．（2024·山西·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．(1)试判断的形状；(2)若的外接圆半径为2，求周长的最大值．【答案】(1)为等腰三角形(2)【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换可得，结合分析求解；（2）利用正弦定理可得周长，构建函数，利用导数求最值，即可得结果.【详解】（1）由题意可知：，整理得，且，则，可知，即，所以为等腰三角形.（2）由正弦定理，可得，则周长，由（1）可知：，可得，构建函数，则，因为，则，当时，，则；当时，，则；可知在内单调递增，在内单调递减，则，所以当且仅当为等边三角形时，周长取到最大值.1．（2024高三下·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)设，求周长的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）将原等式转化为角的正弦的齐次式，再利用正、余弦定理求出角A的余弦值即得.（2）利用（1）的信息，结合基本不等式求解即得.【详解】（1）在中，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，，，又，则，于是，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为.2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．(1)求角；(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．【答案】(1)或.(2)【分析】（1）由，得到，再利用正弦定理求解；（2）根据和，利用正弦定理得到外接圆的半径，然后由求解.【详解】（1）解：∵，∴，即.由正弦定理得.∵，∴，∵，∴或.（2）∵，且三角形为锐角三角形，∴.∴由正弦定理得.∴，.∴，，.又∵为锐角三角形，∴，∴，得，.∴，，∴，又∵，∴.∴的周长的取值范围为.3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在中，D为BC边的中点，且．(1)若的面积为，，求；(2)若，求的周长的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，求得，由余弦定理，求得，再由正弦定理求得，进而求得的值；（2）设，分别在和中，利用余弦定理，列出方程求得，结合，即可求解.【详解】（1）解：因为的面积为，且为的中点，可得，又因为，可得，所以在中，由余弦定理得，所以，由正弦定理，可得，因为且，可得，即为钝角，所以为锐角，所以.（2）解：设，分别在和中，由余弦定理，即，同理可得，所以，可得，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以周长的最大值为．4．（2024·贵州贵阳·三模）已知的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足.请回答下列问题:(1)证明:为等腰三角形;(2)若的外接圆直径为1，试求周长的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理可得，因此可证得该三角形为等腰三角形；（2）由（1）可得角的范围，由正弦定理可得，，的表达式，进而求出周长的表达式，利用导数求周长的取值范围．【详解】（1）证明：因为，由正弦定理可得，即，在三角形中，，所以，又因为均为三角形的内角，即，即证得为等腰三角形；（2）由（1）可得，由正弦定理可得，而，所，，，所以，设，，则，当时，，在定义域内单调递增，当时，，在定义域内单调递减．所以，，，所以．所以，周长的取值范围是．5．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的取值范围；(2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求角的取值范围；（2）由三角形的面积可求得，结合余弦定理可得，计算可得或，进而可求得的周长，设与圆内切于点，，进而分析可得的周长的取值范围.【详解】（1）由正弦定理得：，，，..，，，角的取值范围是.（2），，即，由余弦定理得：.，.，（当且仅当时取等号），,或.设与圆内切于点，则.（当且仅当时取等号）.的周长，（当且仅当时两处都取等号）.，，时，，,的周长的取值范围是.考点三、边长类最值及范围问题1．（2024·陕西西安·一模）已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；（2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.【详解】（1）因为，因为，所以，由△ABC为钝角三角形且，知，为钝角，所以，即，所以.（2）因为，所以，由余弦定理，，当且仅当时，等号成立，此时的最小值为，所以c的最小值为.2．（2024·贵州遵义·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若为锐角三角形，，求b的取值范围．【答案】(1);(2).【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.（2）利用正弦定理、和角的正弦公式化简，再利用正切函数的取值范围求解即得.【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，则，即，而，于是，又，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得，由为锐角三角形，得，解得，则，,则，所以b的取值范围是.3．（2024·山西晋中·三模）在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，在边上（不含端点）存在点，使得，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接用余弦定理求得，进而得到；（2）思路一：利用正弦定理三角恒等变换得，进一步结合正弦定理得，由即可求解；思路二：设边上的高线长为，则长度的取值范围是，从而条件等价于，最后用表示和，即可求出的范围.【详解】（1）由余弦定理得，所以.（2）方法一：因为，所以，由（1）知道，所以，所以，所以由，可得，从而（因为），所以，结合是三角形内角可知，，当时，在三角形中，设，则，由正弦定理得，故，因为，所以，在三角形中，由正弦定理得，故，因为，所以的取值范围是，所以的取值范围是.方法二：在本小问的解析中，所有“线段上”均不含端点和.由知角是钝角，所以角都是锐角，这表明点在直线上的投影在线段上.设，则由在线段上及可知，对线段上的点，长度的取值范围是，所以条件等价于.而我们有，故.由于，故我们又有.所以条件等价于，即.综上，的取值范围是.1．（2024·全国·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，满足．(1)求角．(2)当面积的最大值为时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边，然后整理，利用余弦定理得答案；（2）先利用余弦定理及基本不等式求出的最值，然后代入面积公式计算即可.【详解】（1）因为，所以由正弦定理，得，所以．由余弦定理，得，

所以，所以．

因为，所以；（2）由三角形的面积公式，得．

由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，则的最大值为，

所以，解得（负值舍去）．2．（2024·四川·三模）三角形中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)若边上的中线长为2，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式化简即可得解；（2）利用向量化及余弦定理结合基本不等式即可得解.【详解】（1）由，得，即，所以，即，又，所以；（2）设的中点为，则，平方得，即，所以，当且仅当时取等号，由余弦定理得，因为，所以，即的最小值为，当且仅当时取等号.3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形的内角的对边分别为，已知．(1)求的大小．(2)若的面积为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）切化弦后角化边可得，结合余弦定理可得，可求得；（2）由面积可得，结合A的范围以及三角恒等变换可得的取值范围.【详解】（1）由已知条件可知，则由正弦定理，得．整理，得．由余弦定理知，则，所以．又，所以．（2）由（1）可知，，则．因为为锐角三角形，所以解得．由正弦定理，得，所以．因为的面积为，所以，所以．易知．又，所以，则，所以，所以．因为，所以，故的取值范围为．考点四、边长和差类最值及范围问题1．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若，且，求的最小值．【答案】(1)(2)8【分析】（1）解法一:根据正弦定理，化简得到，再利用余弦定理得，根据角的范围求出即可；解法二：根据正弦定理，化简得到，根据角的范围求出即可；解法三：由题意及正弦定理得，，化简得到，根据角的范围求出即可（2）解法一：利用向量表示，根据列方程，整理得，然后利用基本不等式求最值即可，解法二：设，利用余弦定理可得，然后利用基本不等式求最值即可【详解】（1）解法一：由题意及正弦定理得，；由余弦定理得，，整理得，所以．又，故．解法二：由题设可得，，即，整理得．又因为，所以．又，故，解法三：由题意及正弦定理得，，所以，整理得．又因为，所以．又，故．（2）解法一：因为，则，所以．因为，所以，整理得．因为，所以，即．故，当且仅当时，等号成立．故的最小值是8．解法二：因为，所以设．设，在中，由余弦定理得①；在中，由余弦定理得，即②．，得．因为，所以．在中，由余弦定理得，即，则，代入整理得．所以，即．则，当且仅当时，等号成立．故的最小值是8．2．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，．(1)求角，并计算的值；(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．【答案】(1)或；当时，；当时，(2)【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可；（2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由，得，则，又，所以或.当时，；当时，.（2）若为锐角三角形，则，有，解得.由正弦定理，得，则，所以，其中，又，所以，则，故当时，取到最大值1，所以的最大值为.3．（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可.【详解】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范围为.1．（2024·湖北·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，．(1)求A；(2)者，，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助正弦定理、三角形内角和与两角差的正弦公式计算即可得；（2）借助向量的模长与平方的关系，结合数量积公式计算可得，借助三角函数的性质，可令，，结合余弦定理计算可得，即可得解.【详解】（1）由正弦定理得，则，则，，．即或，解得或．因为，所以，所以舍去，即；（2）由得，则，则，则，则，即．令，，因为，，所以．因为，所以，解得．由（1）得，则，又因为．所以，所以，解得，所以，解得，所以．令，则，则．因为，所以，即．2．（2024·江西·模拟预测）在中，角，，所对的边分别记为，，，且．(1)若，求的大小．(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，再利用两角和差的正余弦公式化简，进而可求得的关系，即可得解；（2）利用正弦定理求出，再根据的关系结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）因为，所以，即，即，所以，即，而，所以或，所以或（舍去），又因为，所以，所以；（2）由（1）得，因为，所以，，则，又由，得，所以，所以，所以.3．（2024·山西吕梁·一模）设的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)设的角平分线交于点，求的最小值．【答案】(1)(2)9【分析】（1）首先根据正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换，即可求解；（2）首先根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式，求得，再结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由题意可得，即当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.4．（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角所对的边分别为，已知__________.在①，②，③，这三个条件中任选一个填在上面的横线上，并解答问题.(1)求角；(2)若的面积为，求的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）选择①，由，求得，即可求解；若选②：由正弦定理得，进而求得，即可求解；若选③：化简求得，结合余弦定理，求得，即可求解.（2）由（1）和面积公式，求得，结合，即可求解.【详解】（1）解：若选①：由，可得，所以，即，解得，因为，所以.若选②：因为，由正弦定理得，又因为，所以，即，因为，所以，可得，又因为，所以.若选③：因为，可得，即，由余弦定理得，又因为，所以.（2）解：由（1）知，所以，可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.考点五、边长积商类最值及范围问题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角的三内角的对边分别是，且，(1)求角的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理将化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；（2）利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】（1），由余弦定理可得，化简整理得，又，，又，所以.（2）因为三角形外接圆半径为，所以，，，由（1）得，所以，因为是锐角三角形，且，所以，，，，即.所以的取值范围为.2．（2024·宁夏固原·一模）在锐角中，内角的对边分别是，且．(1)求证：；(2)求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用二倍角公式与正弦定理的变换边换，结合余弦定理与三角形内角和的关系即可得解；（2）利用三角函数的和差公式与正弦定理的变换边换，将所求转化为关于角的表达式，再利用三角函数的值域即可得解.【详解】（1）因为，所以，则，由正弦定理可得，即，所以，又，故，由，故；（2）由（1）得，因为，所以由正弦定理得，又锐角中，有，解得，所以，则，所以，即，故的取值范围为.3．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足．(1)若，求的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据题中已知条件利用正切函数化简或逆用余弦函数两角和差公式从而可求解.（2）由（1）及正弦定理把边化成角，再利用辅助角公式及函数求导求出范围从而求解.【详解】（1）方法一：，由为锐角三角形且，所以．方法二：．由为锐角三角形且，所以．（2）由（1）知，由正弦定理知：，所以．令，则，所以，其中．又由为锐角三角形，，，，因为，所以，所以，则，，所以在上单调递减，则．即的取值范围是．1．（2024·陕西安康·模拟预测）记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）借助二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形内角和的关系计算即可得；（2）借助正弦定理将边化为角后，借助三角函数的值域计算即可得.【详解】（1）证明：由，得，即，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，故，又，故，由，故；（2）由正弦定理可得：，又锐角中，有，，解得，即，即，故.2．（2024·江苏盐城·模拟预测）在中，已知角，，所对的边分别为，，，．(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为，再利用余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得，根据锐角三角形可得的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）在中，，因为，所以，化简得，由余弦定理得，又，所以；（2）由正弦定理知，由为锐角三角形可知，而，所以得，所以，所以，即，则的取值范围为.3．（2024·山西朔州·一模）已知的内角的对边分别为，向量，且．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可得，结合余弦定理可求；（2）利用基本不等式可求最小值.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理可得即，故，所以，而为三角形内角，故.（2）结合（1）可得：,，当且仅当时等号成立，故的最小值为.考点六、中线最值及范围问题1．（2024·四川·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.(1)求；(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理进行边化角得，则得到的大小；（2）利用三角形面积公式得，再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，，故，，所以，又，故.（2），又，在中，由余弦定理，，当且仅当时取等号，的最小值为．2．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且(1)求；(2)设为边的中点，，求线段长度的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由题设条件重新组合后将证明替换成，再利用正、余弦定理即可求得；（2）利用三角形中线的向量表达式和向量数量积的定义式，可推得，根据余弦定理和基本不等式求得，代入即可计算得到.【详解】（1）由，得(*).因为，所以，由正弦定理，得，代入（*）得，.由正弦定理，得，由余弦定理的推论，得.（2）由余弦定理，得，即，所以，当且仅当时等号成立，故得.又，两边平方可得，，所以，即线段长度的最大值为.3．（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，D为的中点.(1)求A；(2)当时，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两角和差及诱导公式结条件计算即可；（2）应用余弦定理结合基本不等式即可得出最大值.【详解】（1），，即，，即.或，当时，，由，有，即时.当时，（舍）..（2）设，，由（1）及余弦定理有，即.，即，当且仅当时等号成立.由D为边的中点有，，当且仅当时等号成立.，当且仅当时等号成立.的最大值为.1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______.(1)求；(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；若选②，根据平方关系及诱导公式得到，再利用正弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得；若选③，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将边化角，即可得解；（2）由面积得，结合余弦定理和基本不等式求最值.【详解】（1）若选择①：，由正弦定理可得，又，，故，，所以，又，故.若选择②：，则，由正弦定理可得，故，又，故.若选择③；由正弦定理可得，再由余弦定理得，即，，．（2），又，在中由余弦定理，，当且仅当时取等号，的最小值为．2．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边，边的中点为，求中线长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边角互换以及余弦定理进行化简即可得解.（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，则，即，由余弦定理可得：，因为，所以.（2）因为为的中点，所以，则，又由余弦定理得，，即，所以.由得，，则，当且仅当取等号，即，所以，即中线长的最大值为.3．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若是线段上靠近点的三等分点，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和辅助角公式化简可得，即可求解；（2）方法一：由余弦定理可得①、，可分别用3种思路（思路1：利用余弦定理切入；思路2：利用正弦定理切入；思路3：利用极限思想）求出的取值范围，进而利用换元法构造函数，结合导数求解即可；方法二：可分别用2种思路（思路1：齐次化不等式处理；思路2：正弦定理函数处理）求出；方法三：如图，则，确定当A,O,D三点共线时等号成立，求出即可.【详解】（1），由正弦定理得，又，所以，由整理得，即，解得，又，所以，即；（2）由余弦定理，得①，由得，即，解得．下面用三种方法求的取值范围．思路1：用余弦定理切入．因为为锐角三角形，所以，即，将①代入得，同理，由，得，故．思路2：用正弦定理切入．因为为锐角三角形，所以解得，由正弦定理得．思路3：用极限方法求解．因为为锐角三角形，当时，；当时，；故．接下来换元构造函数求最值．设，则．设，则，由得，又，所以，由得，所以在单调递增，在单调递减，故．所以．方法二：思路1，齐次化不等式处理由得，两边平方得，令，则，则，当即时等号成立，故的最大值为．思路2：正弦定理函数处理由，得，两边平方得．又因为，则，代入得．又因为为锐角三角形，所以，解得，当即时，的最大值为，所以．方法三：设的中点为外接圆的圆心为O，则，所以，，所以，，所以，所以．所以，当且仅当A,O,D三点共线时等号成立，此时为锐角三角形．考点七、角平分线最值及范围问题1．（2023·浙江·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系；（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.【详解】（1）由题意得，由正弦定理得，因为，则，即，可得，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，整理得，又因为为锐角三角形，则，可得，所以，即.（2）在中，由正弦定理得，所以，因为为锐角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此线段长度的取值范围.2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且．(1)求证：；(2)已知点在线段上，且，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系；（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.【详解】（1）因为，即，由正弦定理可得，又，即，所以，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，即，整理得，又因为为锐角三角形，则，可得，所以，即.（2）因为点在线段上，且，即平分，又，所以，则，在中，由正弦定理得，所以，因为为锐角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此线段长度的取值范围.1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知内角的对边分别为，．(1)求A；(2)A的平分线交于点，，求的最大值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，再结合余弦定理可得，即可得结果；（2）根据题意结合面积关系可得，再利用基本不等式分析求解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，且，所以.（2）因为为A的角平分线，则，由，可得整理得，又因为，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；（2）利用余弦定理得到，由三角形面积公式和求出，表达出，利用两次基本不等式求出最值.【详解】（1）由题意知中，，故即，即，所以，而，故，故，即，又，故；（2）由余弦定理：，又，所以，所以，所以，当且仅当时，取等号，则的最小值为.3．（2023·河南·三模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．(1)求证：；(2)若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据正余弦定理边角互化可得，即可利用三函数的性质求解，（2）根据正弦定理以及角的范围即可利用三角函数的范围求解.【详解】（1）证明：由余弦定理可得，

故，由正弦定理得．

所以在中，或．

若，又，故，因为，所以，故不满足题意，舍去，所以．（2）在中，由正弦定理可得，即

所以

因为是锐角三角形，且，所得，

所以．所以线段BD长度的取值范围是．

考点八、高线最值及范围问题1．（2024·全国·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，，．(1)求角；(2)设是的高，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）正弦定理将代换，再结合商数关系求出角；（2）法一：余弦定理结合基本不等式求出面积最大值，即可确定高的最大值；法二：由正弦定理将面积表示为角的函数，结合三角恒等变换，求出函数最大值，即可确定高的最大值.【详解】（1）由及，得，又，，所以，得，因为，所以．（2）解法一

由余弦定理得，则，得，当且仅当时取等号，所以，得，故的最大值为．解法二

由正弦定理得，故，．因为，所以，，所以，当时等号成立,故，得，故的最大值为.2．（2023·贵州毕节·统考一模）已知的内角，，的对边分别为，，．若．(1)求角；(2)若，求边上的高的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答.（2）由（1）可得，再利用三角形面积公式计算作答.【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，即有，而，，即，，因此，，所以．（2）令边上的高为，由，得，由（1）知，，即，则，所以边上的高的取值范围是.1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．(1)求；(2)记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求；（2）利用余弦定理得到，结合三角形面积公式求解即可．【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减，所以且，所以，可知，又由，可知，所以，故，由，可得，即．（2），化简得，因为，所以，所以，又，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，故长的最大值为．2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且．(1)求角的取值范围；(2)若，求中边上的高的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正余弦定理及三角恒等变换结合条件可得，然后根据三角形为锐角三角形进而即得；（2）根据三角形面积公式及正弦定理可得，然后根据三角恒等变换及正切函数的性质结合条件即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，，又，所以，整理可得，所以或(舍去)，所以，又为锐角三角形，所以，所以；（2）由题可知，即，又，所以，所以，由，可得，所以，所以，即中边上的高的取值范围是.3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，，．(1)求．(2)求边上的高的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形的内角和定理结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）设边上的高为，则，再利用正弦定理及三角函数求出的范围，即可得解，注意三角形为锐角三角形.【详解】（1）设的内角，，的对边分别为，，，因为，，所以，由正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，又，所以；（2）设边上的高为，则，由正弦定理，得，由为锐角三角形，得，得，则，所以，从而，故边上的高的取值范围是．考点九、其他线段类最值及范围问题1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）在中，角的对边分别为．(1)求角；(2)若为边上一点，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二倍角余弦公式化简，再利用正弦定理，余弦定理运算求解；（2）由，可得，根据余弦定理和基本不等式可求得的范围，得解.【详解】（1）因为，所以，所以，由正弦定理，得，由余弦定理，得，因为，所以．（2）因为，且，所以，化简，得，解得，由（1），得，即，由，得，解得（当且仅当时取等号），又，所以．而，且是关于的增函数，所以当时，．2．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．(1)求；(2)若，连接，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）对已知进行化简，然后利用两角和的正切公式及诱导公式进行计算可得答案；（2）方法一：根据正弦定理求出，再由余弦定理可得答案；方法二：根据正弦定理求出，对两边平方计算可得答案.【详解】（1）由题意，得，整理，得，所以，所以，解得．又，所以；（2）方法一：根据正弦定理，得，所以．由，知是边的中点，在中，由余弦定理，得；方法二：根据正弦定理，得，所以，由，得，又，所以，所以．

3．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；（2）延长交于，延长交于，则，设，且，分别求出，再根据三角恒等变换化一，结合正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，则，因为，所以；（2）延长交于，延长交于，根据题意可得．因为，所以，设，且，则，同理可得，则，因为，所以，又，所以，所以的取值范围是．【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”；（2）利用余弦定理实现“角化边”.求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.4．（2024·广东广州·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若D是边上一点（不包括端点），且，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，进而求得，即可求解.（2）设，在中，利用正弦定理，化简得到，根据题意，结合正切函数的性质，即可求解.【详解】（1），，又，可得，，，又，，可得，所以，解得或，，所以，即.（2）设，则，，，在中，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以且，则，所以，可得，所以，所以.1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知在中，，(1)求A；(2)若点D是边BC上一点，，△ABC的面积为，求AD的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由二倍角的正弦公式，降幂公式，结合三角函数值求出即可；（2）由向量的加法得到，再利用三角形面积公式得到，然后由向量的模长计算结合基本不等式求出结果即可.【详解】（1）因为，所以，因为，，则，故，所以，，（2）因为，则，所以，故，因为的面积为，所以，所以上式当且仅当，即，时取得“”号，所以AD的最小值是.2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求的大小；(2)若，D是边AB上的一点，且，求线段CD的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理可得到，进而即可求得的大小；（2）由正弦定理得到，由余弦定理得到，从而求出，进而即可求解．【详解】（1）因为，则由正弦定理得，整理得，又由余弦定理有，得，又，所以．（2）在中，由正弦定理得，所以，又，所以，，在中，由余弦定理得，又，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即线段的最大值为．3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小；（2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围．【详解】（1）因为，所以，所以，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，可得；（2）延长交于，延长交于，延长交于，，根据题意可得，，因为，所以，设，，在中，由正弦定理可得，即，可得，同理在中，可得，所以，因为，所以，所以，所以．4．（2024·河北衡水·一模）在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.(1)求角；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可；（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【详解】（1），，即，由正弦定理得，，，，，，由，得.（2）由（1）知，，因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，在中，，，，,，，，，所以的取值范围为.

考点十、外接圆及内切圆半径类最值及范围问题1．（2024·吉林·二模）已知的三个内角的对边分别为的外接圆半径为，且.(1)求;(2)求的内切圆半径的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化为边，再由余弦定理求解即可；（2）根据等面积法可得出的表达式，利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围.【详解】（1）由正弦定理可得，，即，所以，由可知，，所以，故.（2）因为的内切圆半径，所以，即，又因为，所以，所以，由正弦定理，又，则，所以，故，所以.2．（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，的对边分别是，，，．(1)求角的大小；(2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式得，由，得到，得到;（2）利用余弦定理及基本不等式求得，利用等面积法求得的最大值，利用正弦定理求得，求出【详解】（1）由及正弦定理，得，故，即，即．由，则，故，即．因为，所以．（2）由（1）和余弦定理可得，，故，，即，当且仅当时等号成立．故．由利用等面积法求得的最大值，易知，故，故，利用正弦定理，所以的最小值为2．1．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，求内切圆半径取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据正弦的二倍角公式结合两角和的余弦公式与三角形内角关系求解即可；（2）根据化简可得，再设，根据正弦函数的值域求解即可.【详解】（1）由题意得，即，，故．（2）因为，为内切圆半径，所以．设，则，又因为，，，，所以三角形内切圆半径的取值范围为．2．（2024·全国·模拟预测）在“①；②；③”这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角所对的边分别为，且______．(1)求角的大小；(2)若表示内切圆的半径，求的最大值．【答案】(1)任选一条件，都有；(2)【分析】（1）利用正弦定理，结合三角恒等变换化简计算即可求解；（2）由（1），根据余弦定理可得，利用三角形等面积可得内切圆的半径，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）选择①：由正弦定理，得，所以，即．又，所以，且．所以．又，所以．选择②：由正弦定理，得．又，所以，．所以．即．又，所以．又，所以，即．选择③：由正弦定理，得．所以，即．又，所以．所以．因为，所以．（2）由余弦定理，得，所以．设的周长为，面积为，则，．所以内切圆的半径．将式代入上式，得．因为，所以由式可得，即（当且仅当时取得等号）．所以的最大值为．考点十一、角度类最值及范围问题1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由成等比数列，可得，然后利用余弦定理表示出，进行化简后利用基本不等式求出的最小值，根据的范围以及余弦函数的单调性，即可求解.【详解】因为成等比数列，可得，则，（当且仅当时取等号），由于在三角形中，且在上为减函数，所以角的取值范围是：.故选：B.2．（2024·山东菏泽·二模）已知在中，的面积为．(1)求角的度数；(2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）设，则求解即可；（2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到，根据角的范围求解即可．【详解】（1）设，则，又，因此，由为的内角，所以.（2）由（1）知，，又，则，因此，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，，显然，则有，因此当时，取到最小值，此时，即，所以的值.1．（2023春·上海宝山·高一校考期中）如果的三边、、满足，则角的取值范围为．【答案】【分析】由余弦定理和重要不等式可求的范围，进而可求角的取值范围.【详解】因为，所以由余弦定理得，当且仅当时取等号，又，所以.故答案为：2．（2024·上海奉贤·三模）已知三角形的三个角对应的边分别为、、(1)求证：存在以为三边的三角形；(2)若以为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理和三角形任意两边之和大于第三边即可证明；（2）由题意可得均为锐角，不妨设，则可得或，然后分情况讨论即可.【详解】（1）证明：因为，所以，因为三角形的三个角对应的边分别为、、，所以，，设三角形的外接圆半径为，则由正弦定理得，，，所以，，，所以存在以为三边的三角形；（2）因为以为三边的三角形为等腰直角三角形，所以，所以都为锐角，不妨设，因为，所以，或，所以或，当时，，则，不合题意，舍去，当时，，则，因为，所以,因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以,所以,所以三角形的最小角为.考点十二、正余弦类最值及范围问题1．（2024·全国·模拟预测）记的内角所对边分别为，已知．(1)证明：；(2)求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）将已知条件利用两角和差公式与正弦定理即可计算出结果；（2）利用第一问的结果代入的余弦定理表达式，再利用基本不等式即可得到结果.【详解】（1）已知，由正弦定理得：，整理得：，……①因为……②②代入①有：，再由正弦定理得．（2）由余弦定理得：，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．2．（2024·全国·模拟预测）记的内角的对边分别是，已知．(1)证明：；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理及两角和差公式化简，再利用正弦定理化角为边即可得证；（2）先根据三角形为锐角三角形结合余弦定理求出的范围，再利用余弦定理化边为角即可得解.【详解】（1）因为，且，所以，由正弦定理得，即；（2）因为为锐角三角形，所以，得，由（1）知，故得所以，由正弦定理知，所以的取值范围为．3．（2024·河北沧州·模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求C；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的信息结合正弦定理边化角，再利用基本不等式求解即得.【详解】（1）在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得，而，因此，当且仅当时取等号，于是，解得，在中，，由，得，所以当时，取得最大值．4．（2023·全国·模拟预测）已知的内角所对的边分别为．(1)求角的大小；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）法一：利用余弦定理化角为边，进而可得出答案；法二：利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；（2）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）解法一：，由余弦定理，得，，又，；解法二：，由正弦定理得，又，，又，；（2）由余弦定理，得，由正弦定理，得，又，当且仅当时等号成立，的最小值为．5．（23-24高三上·江苏南京·期中）在中，所对的边分别为，已知.(1)若，求的值；(2)若是锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理即可求解，（2）根据余弦定理得边角关系，即可利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得，即可由三角函数的性质求解.【详解】（1）在中，，据余弦定理可得又，故，由于，故，得.（2）在中，据余弦定理可得，又，故，又，故据正弦定理，可得，，，,因为，所以，则或，即或（舍）所以,,因为是锐角三角形，所以，得，,故,故,1．（2024·陕西宝鸡·二模）中，为边的中点，.(1)若的面积为，且，求的值；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用面积公式求出，在中由余弦定理求出，再由正弦定理求出；（2）设，，分别利用余弦定理表示出、，从而得到，再由余弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为为边的中点，所以，又，即，解得，在中由余弦定理，即，所以，在中由正弦定理，即，解得.（2）设，，在中由余弦定理，即，在中由余弦定理，即，在中由余弦定理，因为，所以，则，所以，所以，所以，即.2．（23-24高三上·山东枣庄·期末）在中，角所对的边分别为.若.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用边化角及三角恒等变换公式整理计算即可;（2）通过角的转化，借助三角恒等变换公式，得到，利用的范围，即可求出结果.【详解】（1）因为，整理得，所以，由正弦定理得：，因为，所以，所以.（2）因为为锐角三角形，，所以，且，所以，解法，因为，所以，所以，即的取值范围是.解法，因为，所以，得，所以，即的取值范围是.3．（2024·河南·一模）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用和差化积公式与诱导公式进行化简，得，从而用等量关系即可得证；（2）由（1）知，锐角三角形中，利用角关系求得角的范围，再把式子用角的三角函数来表示并利用两角和差的正弦公式进行化简，进而用三角函数的取值范围即可求解.【详解】（1）证明：由条件，根据正弦定理可得，，即，，又中，进行化简得，所以，即或，即（舍去），所以.（2）若为锐角三角形，根据（1），则，得，式子，，由得，又易知函数在内单调递减，所以，因此.73．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为．(1)判断的形状，并证明；(2)求的最小值．【答案】(1)为钝角三角形，证明见解析(2)【分析】（1）由三角恒等变换可得，从而有，进而得，，，即可得结论；（2）结合正弦定理及，可得，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）为钝角三角形，证明如下：证明：因为，（二倍角公式的应用）所以，所以或（舍去），（提示：若，则，则，与题意不符）则，所以，所以为钝角三角形．（2）由（1）知，由正弦定理得，当且仅当，即时等号成立，所以当时，最小，最小值为．4．（2024·辽宁·一模）在中，内角所对的边分别为，满足.(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据条件及余弦定理得到，再利用正弦定理边转角得到，借助三角恒等变换公式化简即可得出结果；（2）利用为锐角三角形，得到，再令，将问题转化成求在上的最值，即可求出结果.【详解】（1）因为，即，由余弦定理，得到，即，所以，又，所以，又，得到或（舍），所以，命题得证.（2）由（1）知，所以，令，又因为为锐角三角形，所以，得到，所以，又，所以，又，所以，所以当时，取到最大值为.5．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其中，．(1)求角的大小；(2)如图，为外一点，，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理可得，再由余弦定理分别得到，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理，可得，整理可得，又因为，化简可得，而，则，又，则（2）在中，由可得，在中，由可得，所以，设，由余弦定理，，可得，，因此，当且仅当时，即等号成立，所以的最大值为，此时.考点十三、正切类最值及范围问题1．（2024·山东菏泽·模拟预测）在中，角所对的边分别为.已知(1)若，判断的形状；(2)若，求的最大值.【答案】(1)直角三角形(2)【分析】（1）利用平面向量数量积的定义和余弦定理化简已知，可得解；（2）根据（1）可得，利用正弦定理边化角，再借助三角函数恒等变形可得，最后利用基本不等式求最值.【详解】（1）根据题意，，即，所以，化简得，当时，得，即为直角三角形；（2）当时，根据（1），有，根据正弦定理，有，即，根据和差化积公式，得，即，化简得，所以，设则所以，当且仅当，即时，等号成立，即当时，取最大值为.1．（2024·云南·二模）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项.(1)若，判断的形状;(2)若是锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)是以为斜边的直角三角形.(2)【分析】（1）根据等差中项性质及三角形内角和性质得，再结合已知和余弦定理得，即可判断三角形形状；（2）先根据锐角三角形性质得，然后化切为弦结合三角恒等变换化简目标函数，利用正弦函数性质求解范围即可.【详解】（1）是与的等差中项，...由余弦定理得：，即，化简得.，即..，是以为斜边的直角三角形.（2）是锐角三角形，，解得，.由得，，，即.的取值范围为.考点十四、向量类最值及范围问题1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为．【答案】【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出，然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】因为周长为4的，分别是的对边，且，所以，令，∴，∴，解得，又∵，∴，∴故，又在上递减，∴，故答案为：.2．（23-24高三上·北京·阶段练习）在中，．(1)求C；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两角和正弦余弦公式化简可得，再根据诱导公式化简可得；（2）由余弦定理求出的取值范围后即可求出.【详解】（1）因为，所以，，即即，因为是的内角，所以，即，所以.（2）在中，，得，因为是的边长所以，所以，即因为，所以，所以的最小值为.3．（2024·湖南邵阳·一模）在中，内角满足.(1)求角的大小；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据辅助角公式求解；（2）根据向量的加法法则将转化为，然后结合换元法和基本不等式求解；【详解】（1）由已知..（2）

.又，.令，.当且仅当取等号.的最大值为.1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图在中，，满足.

(1)若，求的余弦值；(2)点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，在和中利用正弦定理，建立等量关系求的余弦值；（2）利用C、M、D三点共线，求得，再根据三角形的面积求得，根据向量数量积求，展开后利用基本不等式求最小值.【详解】（1）由题意可设，在中①在中②由①②可得，解得，则，解得.故.（2），且C、M、D三点共线，所以，，故．，当且仅当时；所以.2．（2024·重庆·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角A的大小；(2)若，且，求AP的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）在中，由正弦定理，可得又由知，即，得，得，得，所以；又因为，所以．（2）由，得，所以，当且仅当，即时等号成立，故AP的最小值为．考点十五、参数类最值及范围问题1．（2023·陕西榆林·统考一模）的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦、余弦定理可得，结合即可求解.【详解】因为，由正弦定理得.又，所以.因为，所以，故.故选：A.2．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，，且．(1)求；(2)若，且，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合三角恒等变换即可求解，（2）根据正弦定理求解,即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质求解，即可结合特殊角的三角函数值以及不等式的性质求解.【详解】（1）由题意及正弦定理得，，，，．，又．（2）在中，，由正弦定理得．在中，由正弦定理得．，，由于．为锐角三角形，进而，且，解得．又，．又，．1．（2023·全国·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为，且.(1)求的值；(2)若，且，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简题给条件，再利用正弦定理即可求得的值；（2）先化简题给条件求得，代入题干条件进而求得，从而得到的最小值，再结合条件求出实数的取值范围.【详解】（1）依题意，，因为，所以.由正弦定理，得，故上式可化为.因为，所以，由正弦定理，得.（2）因为，由正弦定理，，因为，故，则，故，因为，故，又，故，代入中，得，即.由余弦定理，，故，则，当且仅当时等号成立，故，又，所以实数的取值范围为.2．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足，.(1)证明：外接圆的半径为；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理结合角的范围求出角，再应用正弦定理求出外接圆半径即可；（2）把已知恒成立，参数分离转化为恒成立，再求出的最大值可得范围.【详解】（1）由，得，由正弦定理得:，化简得.因为，所以.又，所以，所以外接圆的半径为.（2）要使恒成立，即恒成立，即求的最大值.由余弦定理得，所以因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以实数的取值范围为.1．（2024·陕西宝鸡·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角A；(2)若的面积为1，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题设恒等式利用正弦定理将边化为正弦，再逆用和角公式合并化简，即可求得角A.（2）先根据面积公式求出，再代入余弦定理公式，结合基本不等式求得的最小值.【详解】（1）由已知，，由正弦定理，所以，即，又，所以，解得.（2）由题，得，又（时取“=”）所以，即的最小值是，时取等号.2．（21-22高二下·山西·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，求得，即可求解；（1）由正弦定理可得，化简，结合三角函数的性质，即可求解.，【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，因为，可得，所以，所以．（2）解：因为，，由正弦定理可得，所以，，所以，由且，可得，所以，所以，所以，即的取值范围为．3．（23-24高三上·河南·期中）在锐角中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，求周长的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，利用余弦定理化简求得，求得，即可求解；（2）由余弦定理得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由，所以，得，得，因为为锐角三角形，所以为锐角，所以，所以，即，又因为，可得．（2）解：由余弦定理知，所以，即，所以，解得，当且仅当时，等号成立，所以，即周长的最大值为．4．（22-23高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知为锐角三角形，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理化简原式得到，结合即可得到答案；（2）根据正弦定理和辅助角公式化简，结合与三角函数值域相关知识求解答案即可.【详解】（1）在中，由余弦定理得，，所以，所以，又因为为锐角三角形，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，所以的取值范围为.5．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，已知，且的面积.(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)；(2)3【分析】（1）根据面积公式求出，从而求出；（2）由基本不等式求出，进而由余弦定理得到.【详解】（1）因为，所以，又为锐角三角形，所以；（2）由余弦定理可知，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即，所以的最小值为3.6．（2023·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，∴，∴，根据正弦定理可知：，∴．又．（2）∵外接圆的半径为，∴，解得．又由（1）得，故，∴，当且仅当时等号成立∴，∴的面积最大值为．7．（2024·广西·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知.(1)证明：；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）结合面积公式，要证，即证，由余弦定理得到证明；（2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出最大值.【详解】（1）根据面积公式，可得，，，要证，即证.由可得，由余弦定理可得，整理可得，原式得证.（2）因为，由（1）知，所以，当且仅当时，等号成立，故，所以，的最大值为6.故周长的最大值为.8．（2017·安徽淮北·模拟预测）在中，角A，B，C的对角分别为a，b，c且．(1)求；(2)若D为AC边的中点，且，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可求，进而利用同角三角函数基本关系式可求的值．（2）由已知可求，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求，由三角形的面积公式即可计算得解．【详解】（1）．∴由正弦定理可得：，．由，则.（2）D为AC边的中点，且，可得：，，，可得：，，，可得：，（当且仅当时等号成立）．所以面积的最大值.9．（2023·四川绵阳·模拟预测）在斜三角形中，内角所对的边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用三角形内角和化简三角函数方程，即可证明结论；（2）由正弦定理求出的表达式，即可得出其最小值.【详解】（1）由题意证明如下，在中，，，，，又为斜三角形，则，，，∵为的内角，.（2）由题意及（1）得，在中，，，是等腰三角形，由正弦定理，则，又，即，，，令，，又因为，即，当即时，取最小值，且，∴的最小值为．10．（23-24高三上·山东威海·期末）在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)24【分析】（1）根据向量数量积公式及面积公式求出角A即可；（2）应用余弦定理结合基本不等式求出最值即得解.【详解】（1）因为，所以，可得，因为，所以.（2）由余弦定理可知，即，因为，所以，所以，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.1．（2024·青海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面积为S．周长为L，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理统一为角，再由三角恒等变换化简即可得解；（2）由余弦定理及三角形的面积公式得，再由基本不等式进行求解即可.【详解】（1）由正弦定理可得，，所以,所以，即，由，可知，所以，即，由，知.（2）由余弦定理，得，即，所以，即，因为，，所以，所以，又（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），即的最大值为.2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.(1)若，，求的大小；(2)若求四边形ABCD面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用余弦定理可得，由等腰三角形可得，然后在中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得，然后四边形面积分成即可求解.【详解】（1）在中，，，所以，由余弦定理可得，，即，又，所以，在中，由正弦定理可得，得，因为，所以，所以.（2）在中，，所以，所以，四边形ABCD的面积，当时，，即四边形ABCD面积的最大值为.3．（2024·河南·模拟预测）在中，角的对边分别为，且.

(1)求；(2)如图所示，为平面上一点，与构成一个四边形，且，若，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，将中的边化为角，再得用两角和的正弦公式和诱导公式，得到，求出角A即可；（2）由（1）和条件知四边形ABCD对角互补，所以A、B、C、D四点共圆，的最大值为该圆的直径，利用正弦定理即可求出该圆直径.【