第08讲 正余弦定理解三角形（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第08讲正余弦定理解三角形（10类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第15题,13分正弦定理解三角形余弦定理解三角形三角形面积公式及其应用正弦的和差公式2024年新Ⅱ卷，第15题,13分正弦定理解三角形正弦定理边角互化的应用辅助角公式2023年新I卷，第17题,10分正弦定理解三角形三角形面积公式及其应用用和、差角的正弦公式化简、求值2023年新Ⅱ卷，第17题,10分三角形面积公式及其应用余弦定理解三角形数量积的运算律2022年新I卷，第18题,12分正弦定理边角互化的应用基本不等式求和的最小值2022年新Ⅱ卷，第18题,12分正弦定理解三角形三角形面积公式及其应用余弦定理解三角形无2021年新I卷，第19题,12分正弦定理边角互化的应用几何图形中的计算2021年新Ⅱ卷，第18题,12分正弦定理边角互化的应用三角形面积公式及其应用余弦定理解三角形无2020年新I卷，第17题,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形无2020年新Ⅱ卷，第17题,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为13-15分【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。知识讲解正弦定理基本公式：（其中为外接圆的半径）变形三角形中三个内角的关系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，余弦定理边的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面积公式考点一、正弦定理边角互化解三角形1．（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南永州·三模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则.3．（2024·四川凉山·二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则．4．（2024·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．1．（2024·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·河北沧州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且，则.3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，记角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角；(2)已知点在边上，且，，，求的面积．考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数1．（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（

）A． B．C． D．2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·广东茂名·三模）（多选）中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（

）A．若，则必有两解B．若，则一定为等腰三角形C．若，则一定为直角三角形D．若，且该三角形有两解，则的范围是1．（23-24高二下·浙江·期中）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽·模拟预测）（多选）在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（

）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.83．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）在中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（

）A．若，且有两解，则的取值范围是B．若，且，则恰有一解.C．若，且为钝角三角形，则的取值范围是D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是考点三、余弦定理求值1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．33．（2023·全国·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．4．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．1．（2021·安徽安庆·二模）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·一模）在中，内角的对边分别为，若，且，则（

）A．1 B． C． D．23．（2023·广东广州·三模）在中，点D在边上，，，，，则的长为．4．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状1．（22-23高三·吉林白城·阶段练习）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．（22-23高三上·河北·阶段练习）在中，角对边为，且，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．（2024高三·全国·专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形1．（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形2．（22-23高三·河南商丘·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．的三角形3．（22-23高三·阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形4．（2023·四川凉山·二模）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点五、三角形面积的应用1．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.2．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．3．（2024·全国·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．4．（2022·北京·高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．1．（2024·北京大兴·三模）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，.(1)求的大小；(2)若，求的面积.2．（2024·福建莆田·三模）在中，内角的对边分别为，且.(1)证明：.(2)若，，求的面积.3．（2024·浙江·模拟预测）已知中，角所对的边分别为已知.(1)求的取值范围；(2)求最大时，的面积.4．（2024·安徽滁州·三模）在中，角的对边分别为．(1)求的大小；(2)若，且边上的中线长为，求的面积．考点六、外接圆、内切圆半径问题1．（2024·贵州六盘水·三模）在中，，，，则外接圆的半径为（）A． B． C． D．2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点，，，构成的四边形中，，，，.(1)求面积的取值范围；(2)若四边形存在外接圆，求外接圆面积.3．（2023·湖北·二模）已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．(1)若，求的外接圆半径；(2)若，且，求的内切圆半径1．（2024·河南信阳·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．2．（2024·辽宁大连·一模）在中,(1)求点到边的距离:(2)设为边上一点，当取得最小值时，求外接圆的面积.3．（2024·山西晋城·一模）在中，，，．(1)求A的大小；(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．4．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，求内切圆半径取值范围．考点七、双正弦1．（2024·福建泉州·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是BC上靠近C的三等分点(1)若的面积为，求AD的最小值；(2)若，求．2．（2024·山东日照·二模）的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且．(1)求角；(2)若，，求．3．（2024·山东菏泽·模拟预测）在中，为边的中点．(1)若，，求的长；(2)若，，试判断的形状．4．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形中，，设.(1)若，求的长；(2)若，求.1．（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求证：；(2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长．2．（2024·河南·三模）已知是内一点，.(1)若，求；(2)若，求.3．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角的对边，且．(1)求A；(2)若，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针方向旋转，，旋转后相交于点D（如图所示），且，求AD．考点八、双余弦1．（2024·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，，．(1)求；(2)若点在边上，且，，求的面积．1．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形中，.(1)若四点共圆，求；(2)求四边形面积的最大值.2．（2024·河北·二模）已知中，角的对边分别为的面积为.(1)若为等腰三角形，求它的周长；(2)若，求.考点九、解三角形中的证明问题1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在中，内角所对的边分别为，满足．(1)求证：；(2)求的最大值．2．（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．(1)求证：．(2)若，求证：．3．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．(1)证明：．(2)求的取值范围．1．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且．(1)若，证明：；(2)在（1）的条件下，且，求的值．2．（22-23高一下·山东枣庄·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分线.（i）证明：；（ii）若，求的最大值.3．（23-24高三上·江苏·开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．

(1)试证明：(2)若P为重心，，求的面积．考点十、解三角形中的实际应用1．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2024·陕西西安·模拟预测）在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（

）．A． B． C． D．3．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为m．1．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（

）

A． B． C． D．2．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（

）（，精确到）A． B． C． D．3．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里一、单选题1．（2024·浙江·模拟预测）在中，分别为角的对边，若，，，则（

）A．2 B．3 C． D．2．（2024·重庆·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·重庆·三模）在中，角的对边为若，则的面积可以是（

）A． B．3 C． D．三、填空题4．（2024·山东威海·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=．5．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，则，.四、解答题6．（2024·陕西西安·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知.(1)若，求；(2)若，求的面积.7．（2024·河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角C的大小；(2)若，，求的面积．8．（2024·贵州黔东南·二模）在中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)若，求的面积.9．（2024·江西新余·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积.(1)求角B；(2)若的平分线交于点D，，，求的长.10．（2024·陕西西安·一模）在中，角所对的边分别为，，.(1)求角；(2)若，求的周长.一、单选题1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·江苏宿迁·三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（

）A． B．的取值范围为C．面积的最大值为 D．周长的最大值为三、填空题4．（2024·湖北武汉·二模）在中，角A，，所对的边分别为，，，．且，则．5．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为.四、解答题6．（2024·福建泉州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知且均为整数．(1)证明：；(2)设的中点为，求的余弦值．7．（2024高三下·全国·专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，内角，，的对边分别为，，，且______．(1)求角的大小；(2)已知，是边的中点，且，求的长．8．（2024·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为.已知．(1)求；(2)若为的中点，且，求．9．（2023·黑龙江佳木斯·三模）中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.(1)求∠A；(2)若，满足，，四边形是凸四边形，求四边形面积的最大值．10．（2024·河北·二模）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．(1)若，且满足，求的大小．(2)若为锐角三角形．（ⅰ）证明：．（ⅱ）若平分，证明：．1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则(精确到0.1度)2．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积．5．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.6．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：7．（2022·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．8．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．9．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．10．（2021·北京·高考真题）在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在