第07讲 端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮VIP

Page第07讲端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用（2类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第18题,17分端点效应证明函数的对称性利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题利用不等式求取值范围2023年全国甲卷理数，第21题,12分端点效应求已知函数的极值利用导数研究不等式恒成立问题2023年全国甲卷理数，第21题,12分端点效应利用导数求函数的单调区间（不含参）利用导数研究不等式恒成立问题2021年全国甲卷文数，第20题,12分端点效应用导数判断或证明已知函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题2021年全国Ⅰ卷理数，第21题,12分端点效应用导数判断或证明已知函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数解决函数基本问题2能求解含参不等式的基本问题3能利用端点效应解决含参不等式恒成立问题【命题预测】求解含参不等式恒成立问题中参数的取值范围是高考中的常考题型，解决这类问题的基本方法有三种:1.分离参数、构造函数求参数取值范围；2.构造含参函数，通过讨论参数取值范围将问题转化为求函数最值问题；3.通过所构造函数在定义域端点处满足的条件，缩小参数的取值范围，求出使不等式恒成立的必要条件，再证明充分条件，得出参数的取值范围，即所谓的“端点效应”，其中端点效应需要学生重点复习掌握，也是高考热点问题知识讲解端点效应的定义恒成立问题中,我们常常能见到类似的命题:“对于任意的,都有恒成立”，这里的端点,往往是使结论成立的临界条件,因此,如果能利用好这两个值,能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法,我们称之为端点效应端点效应的核心思想利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围,而在很多情况下,该范围即为所求.端点效应的解题思路端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决。利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调(3)若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件端点效应的类型1.如果函数在区间上,恒成立,则或.2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.考点一、端点效应（先猜后证-必要性探索）的初步应用1．若对恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】【方法一】解：因为对恒成立，即对恒成立，记，，所以，令，令，，则，所以当时，所以在上单调递增，所以，即，，则所以在上是增函数，所以当，即时，在上是增函数，所以符合题意；当时，且当时，所以，使得，即当时，单调递减，此时，所以不符合题意，综上可得，即故答案为：【方法二-端点效应】因为对恒成立，即对恒成立，记，，因为，欲在恒成立，则要在单调递增即在恒成立，则，解得，再证明充分性，当，能否有对恒成立（证明略）综上可得，即1．已知函数．若在上恒成立，则a的取值范围为．【答案】【分析】由题意可知在上恒成立，将问题转化为求函数f(x)的最小值.【方法一】∵在上恒成立，且，故．当时，在上恒成立，即在上为增函数，所以，，合乎题意；当时，由，可得；当时，可得．即在上为减函数，在上为增函数，所以，，又因为，所以，不合乎题意．综上所述，．故答案为：.【方法二-端点效应】因为，所以，解得，结合已知条件，考点二、端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用1．（2024·全国新Ⅰ卷第18题·高考真题）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．【详解】（1）时，，其中，则，因为，当且仅当时等号成立，故，而成立，故即，所以的最小值为.，（2）的定义域为，设为图象上任意一点，关于的对称点为，因为在图象上，故，而，，所以也在图象上，由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.【方法一：换元法】因为当且仅当，故为的一个解，所以即，先考虑时，恒成立.此时即为在上恒成立，设，则在上恒成立，设，则，当，，故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当时，，故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当，则当时，故在上为减函数，故，不合题意，舍；综上，在上恒成立时.而当时，而时，由上述过程可得在递增，故的解为，即的解为.综上，.【方法二：端点效应一】(3)由(1)知，a≥−2.

因为f(1)=a≤−2,否则解集中含有x=1.

故a=−2.f(x)=f

(a)若2+3b≥0,即b≥−23时，f′(x)=(x−1)22x(2−x)+3b

即

≥(x−1)22x+2−x22+3b=(x−1)2(2+3b)≥0,

即f′(x)≥0, f(x)是(1,2)上的单调递增函数，

f(x)>f(1)=−2,符合题意；

(b)若综上可知，b的取值范围是b≥−2【方法三：端点效应二】由题意得：0<x≤1,必有f(x)≤−2,所以f(1)=−2,解得a=−2,

故f(x)=ln令ℎ(x)=f(x)+2,ℎ=2(x−1)2x(2−x)+3b(1−x)2=(1−x)22x(2−x)+3b,

令易证当b≥−23时，由2x(2−x)≥2知，h′(x)≥0,所以h(x)在(1,2)上单调递增，h(x)>h(1)=0,所以b≥-2成立。3另一方面，当b<−23时，2x(2−x)+3b=0在(1,2)必定有解，

令−23b=m(2−m),则ℎ(x)在(1,2)上必存在m(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析.(2)【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【详解】（1）令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减（2）【法一】设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.【法二】端点效应(2)由于,且的,注意到当,即时,使在成立,故此时单调递减,不成立.另一方面,当时,,下证它小于等于0.单调递减,.特上所述:.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递减(2)【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.【详解】（1）因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.（2）法一：构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.1．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当时，，，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由得，，其中，①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；②.当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调递增，，故函数单调递增，，由可得：恒成立，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.[方法二]：特值探路当时，恒成立．只需证当时，恒成立．当时，．只需证明⑤式成立．⑤式，令，则，所以当时，单调递减；当单调递增；当单调递减．从而，即，⑤式成立．所以当时，恒成立．综上．[方法三]：指数集中当时，恒成立，记，，①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以若满足，只需，即，所以当时，成立；③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，所以时，满足题意.综上，.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值.(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2），设，则，当时，，故在上为增函数，故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.3．（全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，，即当时，，此时无零点，即无零点

，使得又在上单调递减

为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，，，①当时，，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立②当时，，，，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立③当时，，，使得在上单调递减，在上单调递增时，，可知不恒成立④当时，在上单调递减

可知不恒成立综上所述：【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若对任意的恒成立，求的范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导后分和讨论导数的正负即可；（2）当时，代入函数求出，当时，分离参数并构造函数，求导后再次构造函数，再求导分析单调性，最终求出即可；【详解】（1），当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，符合题意，此时；当时，因为恒成立，即恒成立，令，则，再令，则恒成立，则在单调递增，所以，所以在上单调递增，所以当时，，所以2．（2024·河南·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)，，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导得，分是否小于0进行讨论即可求解；（2）显然时，不等式恒成立，所以原题条件等价于，在上恒成立，构造函数，，利用导数求得其最大值即可得解.【详解】（1）的定义域为，，当时，，所以在上单调递增；当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，显然成立，此时可为任意实数；当时，由，在上恒成立，得，令，，则，设，由（1）可知，在上单调递增，所以，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；则，所以，综上，实数的取值范围为.3．（2024·广西·三模）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若对任意，求的取值范围.【答案】(1)的极小值为，无极大值.(2)【分析】（1）求导函数的零点，即为的极值点，然后解不等式，，确定极大值和极小值；（2）构造函数，将恒成立问题转化为最值问题，在求最值过程中，注意对参数a的分类讨论.【详解】（1），得，当时，，函数在单调递减，当时，，函数在单调递增，所以的极小值为，无极大值.（2）对任意，即，设，①当时，在单调递增，单调递增，，成立；②当时，令在单调递增，在单调递增，，成立；③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立.综上可知.4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数．(1)当时，求函数在区间上零点的个数；(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)1个零点(2)【分析】（1）根据题意，求导可得在单调递减，结合零点存在定理即可得到结果；（2）根据题意，由端点效应可得，然后证明当时，，均有即可.【详解】（1）当时，，令，则，当时，，在单调递减，即在单调递减，且，，，使，在单调递增，单调递减；，，在有1个零点；（2），注意到，要使，则须满足，即，得．下证：当时，，均有．当时，此时在单调递减，此时．当时，，必存在，使在单调递增，那么均有，矛盾．综上所述：要使成立的的取值范围为：．5．（2024·云南昆明·一模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）由题意，将问题转化为（）恒成立，利用导数讨论函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由于，则切点坐标为，因为，所以切线斜率为，故切线方程为，即．（2）当时，等价于，令，，恒成立，则恒成立，，当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；当时，由，得，时，，函数单调递减，，不符合题意；当时，，因为，所以，则，所以函数在上单调递增，，符合题意．综上所述，．6．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据导数的几何意义即得切线方程；（2）先将不等式变形，将条件转化为对恒成立，再通过导数研究的单调性即知的取值范围.【详解】（1）当时，，可得，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由条件知，即，即，即，当时，不等式恒成立；当时，我们有．所以命题等价于对恒成立，令，则：，而当时，，故，当时，，故在区间上单调递增；当时，，故在区间上单调递减，所以．综上所述，实数的取值范围为．7．（2024·山西·三模）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)当时，恒成立，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）直接代入求导，计算出切线方程，求出截距计算面积即可；（2）首先研究函数在上的最小值大于0，再分离参数得，最后设新函数研究其最大值即可.【详解】（1）当时，，曲线在点处的切线方程为，即，直线在轴，轴上的截距分别为，因此所求三角形的面积为.（2）当时，不等式恒成立，即恒成立.令，则，设令，解得.当时，单调递减；当时，单调递增；所以.所以在上单调递增，且，所以当时，恒成立.所以当时，恒成立.令，则.由于时，恒成立，即，所以，则，当时，单调递增；当，单调递减；因此当时，取得极大值也是最大值，则，所以，所以，实数的取值范围是.8．（2024·四川遂宁·二模）已知函数．(1)若在区间存在极值，求的取值范围；(2)若，，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）对分类讨论研究单调性后，结合极值的定义计算即可得；（2）设，原问题即为在时恒成立，多次求导后，对时及时分类讨论，结合零点的存在性定理与函数的单调性即可得解.【详解】（1）由，得，当时，，则单调递增，不存在极值，当时，令，则，若，则，单调递减；若，则，单调递增，所以是的极小值点，因为在区间存在极值，则，即，所以，在区间存在极值时，的取值范围是；（2）由在时恒成立，即在时恒成立，设，则在时恒成立，则，令，则，令，则，时，，则，时，，则，所以时，，则即单调递增，所以，则即单调递增，所以，①当时，，故，，则单调递增，所以，所以在时恒成立，②当时，，，故在区间上函数存在零点，即，由于函数在上单调递增，则时，，故函数在区间上单调递减，所以，当时，函数，不合题意，综上所述，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于多次求导后，得到，从而通过对及进行分类讨论.9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递增．(2)【分析】（1）求导，根据导函数的正负确定函数单调性，（2）将问题转化为恒成立，构造函数，求导确定函数单调性，结合分类讨论即可求解.【详解】（1）当时，，所以，令，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，从而函数在上单调递增．（2）因为，所以，又，恒成立等价于恒成立．记，所以．令，所以．设，从而，则在上单调递增，故有，则在上单调递增，即在上单调递增，故有．当时，，此时单调递增，从而，满足题意．当时，，且在上单调递增，，，故存在满足，当，则在上单调递减，所以当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.10．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数.(1)当时，求函数极值；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)极大值，无极小值；(2).【分析】（1）把代入，并求出函数，再利用导数探讨极值即可得解.（2）变形给定不等式，证明并分离参数，构造函数，利用导数求出最小值即得.【详解】（1）函数的定义域为，当时，，求导得，由，得，由，得，由，得，因此在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，无极小值.（2）函数，，，设，，求导得，函数在上单调递减，则，即，因此，令，，求导得，令，，求导得，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，则，即，因此函数在上是增函数，，所以，即实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.1．（全国·高考真题）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.【答案】(1)f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.（2）【分析】(1)求f(x)的导函数为f′(x)＝(2ex＋a)(ex－a)，通过讨论a，求函数的单调区间即可.(2)因为f(x)≥0，所以即求f(x)的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f(x)的最小值，解关于a的不等式即可求出a的范围.【详解】(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立.②若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，故当且仅当a2≥0，即0>a≥时，f(x)≥0.综上a的取值范围是[，0].【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和学生的计算能力，属于中档题.2．（山东·高考真题）设函数，其中.（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的取值范围是.【详解】试题分析：（Ⅰ）先求，令通过对的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果这一特殊性，通过对参数的讨论确定的取值范围.试题解析：函数的定义域为令，（1）当时，，在上恒成立所以，函数在上单调递增无极值；（2）当时，①当时，，所以，，函数在上单调递增无极值；②当时，设方程的两根为因为所以，由可得：所以，当时，，函数单调递