第01讲 数列的概念及其表示（含数列周期性单调性和数列通项公式的构造）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第01讲数列的概念及其表示（含数列周期性单调性和数列通项公式的构造）（7类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新Ⅱ卷，第19题,17分由递推关系证明等比数列求直线与双曲线的交点坐标向量夹角的坐标表示2024年全国甲卷，第18题,12分利用an与sn关系求通项错位相减法求和2023年全国甲卷（理科），第17题,10分利用与关系求通项或项错位相减法求和2022年新I卷，第17题,10分利用与关系求通项或项累乘法求数列通项利用等差数列通项公式求数列中的项裂项相消法求和2022年全国甲卷（理科），第17题,10分求数列最值利用与关系求通项或项2022年全国乙卷（理科），第4题,5分判断数列单调性数学新文化2021年全国甲卷（理科），第7题,10分判断数列单调性充分条件与必要条件2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分【备考策略】1.掌握数列的有关概念和表示方法2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习知识讲解1．数列的有关概念概念含义数列的定义按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法4．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))（1）已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．（2）Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．5．在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))6.根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．7.根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出eq\f(an,a1)与n的关系式，进而得到an的通项公式．8.形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)的数列，将其变形为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p).若p＝r，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq\f(q,p)，即可用公式求通项．9.根据形如an＋1＝pan＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公式．10.数列的周期性对于无穷数列,如果存在一个正整数,对于任意正整数恒有成立,则称是周期为的周期数列.的最小值称为最小正周期,简称周期.考点一、数列周期性的应用1．（湖南·高考真题）已知数列满足，，则（

）A． B．C． D．2．（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（

）A． B． C．1 D．23．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2024项的和为．6．1．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，，若对，则（

）A． B．1 C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，数列的首项为1，且满足．若，则数列的前2023项和为（

）A．0 B．1 C．675 D．20233．（2024·山东滨州·二模）已知函数，数列满足，，，则．考点二、数列单调性的应用1．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（

）A． B． C． D．2．（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，则“”是是递增数列的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为.4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等比数列是递减数列，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2024·陕西汉中·二模）已知正项数列的前n项和为，且，数列的前n项积为且，下列说法错误的是（

）A． B．为递减数列C． D．1．（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（

）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项考点三、用与的关系求通项或项1．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．2．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.3．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．4．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．2．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列为等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最大值．3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前100项的和.4．（2024·全国·二模）已知数列的前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和为.考点四、累加法求数列通项公式1．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列满足，（）．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：．2．（全国·高考真题）已知数列满足．(1)求；(2)证明：．3．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，且满足，，求．1．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)设数列是等差数列，记为数列的前n项和，，，求．2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1)求的通项公式；(2)若,求数列的前项和.考点五、累乘法求数列通项公式1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知数列中，，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．2．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前项和为，且（）．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和．1．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列的前项和，对任意正整数，有，且.(1)求数列的通项公式；(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和.2．（2024·全国·模拟预测）已知（常数），数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求证：．3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值．考点六、递推数列构造等差数列1．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，且，其中．(1)求的通项公式；(2)求的前项和．2．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．1．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知数列满足，且对任意都有.(1)设，证明：是等差数列；(2)设，求数列的前项和.2．（2024·山东青岛·二模）已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若，求的最小值.考点七、递推数列构造等比数列1．（重庆·高考真题）数列中，若=1，=2+3（n≥1），则该数列的通项=2．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，记．(1)求数列的通项公式；(2)已知，记数列的前项和为．求证：．3．（四川·高考真题）设数列的前n项和为，已知．(1)证明：当时，是等比数列；(2)求的通项公式．1．（2024·安徽·模拟预测）已知数列的首项，且满足．(1)求的通项公式；(2)已知，求使取得最大项时的值．（参考值：）2．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．3．（23-24高三上·重庆·期中）设数列的前项之积为，满足.(1)设，求数列的通项公式；(2)设数列的前项之和为，证明：.一、单选题1．（2023·浙江宁波·模拟预测）数列满足，，则（

）A． B． C． D．32．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列各项均为正数，，且有，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的首项，则（

）A．为等差数列 B．C．为递增数列 D．的前20项和为10三、填空题4．（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且，则.四、解答题5．（2024·四川雅安·三模）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.6．（2024·山西·模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.7．（2024·河北沧州·三模）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.8．（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列的前项和为，且满足.试求:(1)数列的通项公式;(2)记，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数.9．9．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为．(1)求．(2)若，则当取最小值时，求的值．10．（2024·河北保定·二模）已知数列的前n项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和.一、单选题1．（2024·安徽合肥·三模）已知数列的前项和为，首项，且满足，则（

）A． B． C． D．2．（2024·江苏苏州·二模）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·福建泉州·一模）已知数列满足，，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，数列是常数列C．当时， D．当时，数列单调递减三、填空题4．（2024·浙江绍兴·三模）记为正项数列的前项积，已知，则；．5．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为．四、解答题6．（2024·山东·模拟预测）设数列满足，且．(1)求的通项公式；(2)求的前项和．7．（2024·吉林·模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求实数的值和数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.8．（2024·江西宜春·模拟预测）数列满足．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．9．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.10．（2024·四川成都·模拟预测）记数列的前n项和为，已知．(1)若，证明：是等比数列；(2)若是和的等差中项，设，求数列的前n项和为．1．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（