第04讲 平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第04讲平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（5类核心考点精讲精练）

平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识讲解如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值=1\*GB3①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得而，所以，于是=2\*GB3②若时，（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则，不妨设与的相似比为由三点共线可知：存在使得：所以（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则(的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围考点一、“x+y”或“λ+μ”型综合1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为A．3 B．2 C． D．2【答案】A【法一：系数和】，分析：如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时，最大，此时故选.【法二：坐标法】详见解析版2，（衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（）分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值；同理，设，由等和线结论，.此为的最大值.综上可知.在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为()如图，正六边形，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是____________如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设则的取值范围是____________3．在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．24．（22-23高三上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（22-23高一下·广东珠海·期末）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．考点二、“+”或“+”型综合已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是A.B.C.D.已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________1．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为A． B． C． D．2．（2023·安徽淮南·一模）已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是A． B． C． D．3．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B． C． D．4．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．考点三、“-”或“-”型综合如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？1．（2023·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（

）A． B．1 C．-1 D．考点四、“-”或“-”型综合1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形中，，∥，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是．1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是A． B． C． D．考点五、系数和（等和线）的综合应用1．如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为．5．5．2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为.3．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为．1．（2024高三·全国·专题练习）在中，三个内角分别为A，B，C，，，，H为的垂心．若，则．2．（22-23高二下·广东汕尾·期末）如图，在中，点D在线段上，且，E是的中点，延长交于点H，点为直线上一动点（不含点A），且（）．若，且，则的面积的最大值为．

3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为.1．（2023高三·全国·专题练习）在正方形中，与交于点，为边上的动点（不含端点），，则的最小值为.2．（2023高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为．3．（22-23高一下·四川眉山·阶段练习）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边相交于点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为．4．（2023高三·全国·专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为

5．（2023高三·全国·专题练习）如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，则的最小值为.

6．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为．

7．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为．8．（23-24高一下·天津·期中）如图，在中，与BE交于点，，则的值为；过点的直线分别交于点设，则的最小值为.

9．（21-22高三上·河南郑州·阶段练习）如图，在扇形中，，，点为的中点，点为曲边区域内任一点（含边界），若，则的最大值为．10．（22-23高三下·上海宝山·开学考试）如图所示，，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是11．（2024高三下·全国·专题练习）如图，平面内有三个向量，，，其中，，且，，若，则.12．（22-23高二上·上海宝山·阶段练习）设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，则的取值范围为.13．（19-20高一上·黑龙江牡丹江·期末）如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最大值为.14．（22-230高三上·浙江台州·期末）如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为.15．（22-23高三·浙江·阶段练习）已知，与所成角为，点P满足，若，则的最大值为.16．（22-23高一下·重庆万州·期中）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是．17．（21-22高三下·浙江杭州·阶段练习）已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为．18．（22-23高一下·湖北孝感·期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为